В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются.573. На уровне значимости 0,05 требуется проверитьнулевую гипотезу Н^: M{X) = M{Y) о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей X м Y приконкурирующей гипотезе Н^: М (X) > М (К) по малымнезависимым выборкам, объемы которых /г==10ит==16.Получены следующие результаты:Xi 12,3 12,5 12,8 13,0 13,5; у^ 12,2 12,3 13,0п,.12421т,. 682У к а з а н и е . Предварительно проверить нулевую гипотезу Я©:D (X)=^D {Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Hi\ D (X) > D (Y) (см.
§ 2).§ 6. Сравнение выборочной среднейс гипотетической генеральнойсредней нормальной совокупностиА. Дисперсия генералькой совокупности известна. Правило 1*Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQ: а = ао о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией о^ гипотетическому (предполагаемому) значению OQ при конкурируюи^ей гипотезе Нх- а Ф а^,надо вычислить наблюдаемое значение критерия__ (x~flo) У"п^ набл"Zи по таблице функции Лапласа найти критическую точку м^р ^^У'сторонней критической области из равенстваФ("кр) = (1--а)/2.Если I ^набл I < "кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если I ^набл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. при конкурирующей гипотезе Н^: а > OQ критическуюточку правосторонней критической области находят из равенстваФ("кр) = ( 1 ~ 2 а ) / 2 .Если б^набл < ^кр — ^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если L/набл > "кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hii а < OQ сначаланаходят вспомогательную критическую точку «кр f^o правилу 2, азатем полагают границу левосторонней критической области«кр = — ^кр-Если С^набл > — " к р — « ^ ^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если t/набд <—"кр—«f/^^^i/'^ гипотезу отвергают.218Мощность критерия проверки нулевой гипотезы Н^: а=ао о равенстве генеральной средней гипотетическому значению GQ п р ии з в е с т н о м с р е д н е м к в а д р а т и ч е е ком о т к л о н е н и и анаходят в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.При конкурирующей гипотезе Hti а > OQ ДЛЯ гипотетическогозначения генеральной средней a = ai > ао мощность правостороннегокритерия1 —р = 0 , 5 ~ Ф ( U K P — M .(•)где «кр находят из равенства Ф(«кр) = (1—2а)/2, X = (ai—ао)У^К/а.При различных значениях ai функция мощности одностороннегокритерияПг ( a i ) = 0 , 5 — O (i/кр—МПри конкурирующей гипотезе Hi.
а Ф а^ для гипотетическогозначения генеральной средней a = ai мощность двустороннего критерия1 - р = 1-[Ф(|г^р-Я)+Ф(а«р+Л.)],(••)где t/кр находят из равенства <t>(u^^) = {\—а)/2, X = (ai—а©) V^li/o.При различных значениях а^ функция мощности двустороннего критерияД1(а1) = 1 - [ Ф ( 1 / к р - ^ ) + Ф ( " к р + Я . ) ] .В формулах (•) и (4(«)Xф(х)=I e'^^^^^dz—функция Лапласа.574. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 5,2извлечена выборка объема п = 1 0 0 и по ней найденавыборочная средняя х = 27,56. Требуется при уровнезначимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я©: а == ао = 26 при конкурирующей гипотезе Я^: аф2Ь.Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия:^набл = (^~ао)- / л / а + ( 2 7 , 5 6 — 2 6 ) .
/ 1 0 0 / 5 , 2 = 3.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф ад, поэтому критическая область—двусторонняя.Найдем критическую точку из равенстваФ("кр) = (1—а)/2 = (1—0,05)/2 = 0,475.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим г/кр = 1,96.Так как (/набл > "кр — нулевую гипотезу отвергаем. Другимисловами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.575. а) Из нормальной генеральной совокупностис известным средним квадратическим отклонением а = 40извлечена выборка объема п = 64 и по ней найдена выборочная средняя л: =136,5. Требуется при уровне зна219чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу HQ. а = ао == 130 при конкурирующей гипотезе Н^: а =7^ 130.б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезеН^: а> 130.в) Установлено, что средний вес таблетки лекарствасильного действия должен быть равен ао = 0,50 мг.
Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партиих = 0,53 мг. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Я^: а = ао = 0,50 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 0,50. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом, было установлено, что вестаблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,11 мг.576. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о, найдена выборочная средняяX. При уровне значимости а требуется: 1) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Н^:а = ао о равенстве генеральной средней а гипотетическомузначению а^ при конкурирующей гипотезе Н^: а > QQ]2) найти функцию мощности рассматриваемого критерия,приняв в качестве аргумента гипотетическое значениегенеральной средней a = a i ( a i > a o ) ; 3) убедиться, чтоувеличение объема выборки влечет увеличение мощностикритерия; 4) убедиться, что увеличение уровня значимости влечет увеличение мощности критерия.Р е ш е н и е .
1) Конкурирующая гипотеза имеет вид а > GQ»поэтому критическая область—правосторонняя. Используя правило 2»найдем критическую точку ^кр из равенства Ф(«^р)=(1—2а)/2. Следовательно, правосторонняя критическая область определяется неравенством и > «кр, или подробнее7==" > "кр- Отсюдаа УпПри этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергаетсяг в этом смысле х = «кр {^1 V^«) + ao можно рассматривать каккритическое значение выборочной средней.2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливостиконкурирующей гипотезы (т. е.
при a = ai), положив JC = WKP WV^)^o/Vn220UKvi<y/V^)+ao'-aiolVn^^**^ах —арolVn 'Таким образом,^=^'кр-^^. где Х = (а,--ао) V^/<yПри t/ > WKP—^ нулевая гипотеза отвергается, поэтому мощность рассматриваемого критерия при a — ai равна1 ^ Р = .
Р ( С / > а к р — М = 1 ~ Я ( ( / < I/KP—М == 1 —1Я(—00 <и <0)+Р(0<и < г/кр —Я) == 1~10,5+Ф(акр~М]=0.5-Ф(1гкр—X).Каждому значению ai соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от ai\ обозначимее через Л1 (oi).Итак искомая мощность правостороннего критерияjii(a,) = O,5~0(wKp-—^)»где Ф(д:) —функция Лапласа, A, = (ai—До) V^/cf, ^кр находят из равенства Ф (Ыкр) = (1—2«)/23) Убедимся, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности критерия. Действительно, из соотношения к == (^1—UQ) V^li/o видно, что увеличение объема выборки приводитк увеличению величины к, а значит к уменьшению величины аргумента WKD—к и тем самым к уменьшению значения функции Лапласаф(Икр — А,) (Ф(х) — возрастающая функция) и, следовательно, кувеличению мощности 1—Р=0,5—Ф (^кр—^)4) Убедимся, что увеличение уровня значимости а влечет увеличение мощности критерия.
Действительно, из соотношения0(WKP) = (1—2а)/2 видно, что увеличение а приводит к уменьшению «кр, а значит к уменьшению величины аргумента и^р—Я и витоге к увеличению мощности 1—р=0,5—Ф ("кр—к).б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^: а==а^ = 2о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао = 2 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 2.Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерияпроверки рассматриваемой гипотезы для гипотетическогозначения генеральной средней а = «1 = 3, 2) найти объемвыборки n^j при котором мощность критерия равна 0,6.Р е ш е н и е .
1) Используем формулу1—Р = 0,5—Ф(«кр—^).(•)По правилу 2 найдем критическую точку правосторонней критической области WKP = 1,65.Вычислим А,, учитывая, что, по условию, ai = 3, а© = 2 , п = 1б,а = 4:__A, = (ai —ао) }/*п/а = (3—2) |/'l6/4 = l.Подставив 1/,(р = 1,65 и Х = 1 в формулу (•), получим1—р = 0 , 5 — Ф (1,65 —1) = 0 , 5 — Ф (0.65),221По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Ф (0,65)== 0,2422. Искомая мощность 1—Э =0,5—0,2422=0,2578.2) Для отыскания снового» объема выборки /ti, при котороммощность критерия равна 0,6, найдем «новое» значение параметра X(обозначим его через Х^) из соотношения 0,6=0,5—Ф(1,65—Xi).ОтсюдаФ(Х1 —1,65) = 0 , 1 .По таблице функции Лапласа (см.
приложение 2) находим Xi —— 1,65=0,253. Следовательно, Xi=J,903.Учитывая, 4ToX|=(ai—а©) ^^/ti/o, причем, по условию, a i = 3 ,аф=2, о = 4, получим 1,903 = (3—2) V ^ / 4 . Отсюда искомый объемвыборки /ii = 58.в) По выборке объема п = 9, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза HQI а = а^=15о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао==15 при конкурирующей гипотезе а > 15.
Требуется: 1) найти мощность правостороннего критериядля гипотетического значения генеральной средней а == а^=17; 2) найти объем выборки п^, при котором мощность критерия равна 0,8.577. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а, найдена выборочнаясредняя X. При уровне значимости а требуется найтифункцию мощности критерия проверки нулевой гипотезы HQI а = а^ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезеР е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
