В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Если £/пабл <—<^кр —нулевую гипотезу отвергают.вое. За смену отказали 15 элементов устройства / ,состоящего из 800 элементов и 25 элементов устройства 2,состоящего из 1000 элементов. При уровне значимостиа ==0,05 проверить нулевую гипотезу Н^: Pi = P2=Pо равенстве вероятностей отказа элементов обоих устройствпри конкурирующей гипотезе Я^: РгФРгР е ш е н и е .
По условию, конкурирующая гипотеза имеет видР\ 9^ Pt* поэтому критическая область двусторонняя. Найдем наблюдаемое значение критерия:1/набд =/»|М|~-/П2//1аVПг-^П^\П1+П2^J\ ПхП2 JПодставив mi = 15, n i = 8 0 0 , m2=25, П2 = 1000, получим (/„абл == —0.89.Найдем критическую точку по равенствуф (акр) = (1—а)/2 = (1—0,05)/2= 0,475.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим«кр = Ь96. Так как | (У|,абл1 < "кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, вероятности отказа элемента обоихустройств различаются незначимо.607.
В партии из 500 деталей, изготовленных первымстанком-автоматом, оказалось 60 нестандартных; из 600 деталей второго станка 42 нестандартных. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу//фГ Pt = P2^Pо равенстве вероятностей изготовления нестандартнойдетали обоими станками при конкурирующей гипотезеffi' РхФР^^238608. Для оценки качества изделий, изготовленныхдвумя заводами, взяты выборки «i = 200 и/Zo = 300 изделий. В этих выборках оказалось соответственно /71^ = 20и та = 15 бракованных изделий. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу HQI р^=р^==ро равенстве вероятностей изготовления бракованного изделия обоими заводами при конкурирующей гипотезеУ к а з а н и е . Построить правостороннюю критическую область.609.
Из 100 выстрелов по цели каждым из двух орудий зарегистрировано соответственно mj^= 12 и т^=8 промахов. При уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу HQI PI= Р2 = Р О равенстве вероятностей промахаобоих орудий при конкурирующей гипотезе Hii РхФРг§ 12. Проверка гипотезы о значимостивыборочного коэффициента корреляцииПусть двумерная генеральная совокупность (X, Y) распределенанормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и поней найден выборочный коэффициент корреляции Гд ?б 0. Требуетсяпроверить нулевую гипотезу Я©- Г г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что X nYнекоррелированы; в противном случае — коррелированы.Правило.
Для того чтобы при уровне значимости а проверитьнулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Hii г^ Ф О, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента, позаданному уровню значимости а и числу степеней свободы ^ = л—2найти критическую точку i^p (о^'» ^) двусторонней критическойобласти. Если | Гнабл I < ^кр — ^^^ оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Если | Г„абл I > ^кр — нулевую гипотезу отвергают.610. По выборке объема /г = 1 0 0 , извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, F),найден выборочный коэффициент корреляции Гв=0,2.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я1:Гг=й=0.Р е ш е н и е .
Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значениекритерия:Л,абл = '^вК?Г=:2/К1 —rS = 0,2V^100—2/Vl-~0,2« = 2.02.239По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Гг 9^ О, поэтому критическая область—двусторонняя.По таблице критических точек распределения Стьюдента(см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенномув верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—2 == 100—2 — 98 находим критическую точку двусторонней критической области /кр(0,05; 9 8 ) = 1,99.Так как Гцабл > ^кр — отвергаем нулевую гипотезу о равенственулю генерального коэффициента корреляции. Другими словами,коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно,X \\ Y коррелированы.611.
По выборке объема /г = 62, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, Y),найден выборочный коэффициент корреляции Гв==0,3.Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я^гг^^т^О.612. По выборке объема п = 120, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, F),найден выборочный коэффициент корреляции Гв = 0,4.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве нулю генерального коэффициентакорреляции при конкурирующей гипотезе H^i г^=^0.613.
По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У),составлена корреляционная табл. 12.Т а б л и ц а 12Xу1 *^1 '^1 20354515575«JC11 3035'^У—6——851———6 12——5405—50——287—17———47 181952198гг-:100•6525—579—'Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую240гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе Я,; ГгФО.Решение,ным вариантама) Для упрощения вычислений перейдем к условгде Ci и Сг — ложные нули (в качестве ложного нуля выгодновзять варианту, расположенную примерно в середине вариационногоряда; в данном случае принимаем Ci = 25> С2 = 55); hi — Uf + i — м/,т.
е. разность между двумя соседними вариантами (шаг); Аз = 1'/+1—У/.Практически корреляционную таблицу в условных вариантахсоставляют так: в первой строке вместо ложного нуля Ci---^2S пишут нуль; слева от нуля пишут последовательно — I , — 2 , — 3 ,а справа от нуля записывают 1, 2, 3. Аналогично, в первом столбцевместо ложного нуля С2 = 55 записывают нуль; над нулем пишутпоследовательно — 1 , — 2 , — 3 , а под нулем I, 2, 3.
Частоты переписывают из корреляционной таблицы в первоначальных вариантах. В итоге получают корреляционную табл. 13.Т а б л и ц а 13иV-2-31"^~|012————6—2i 5—1—62———80-——5405— '5011 ——-287~-172———-47819"и57952198/1-=1001Воспользуемся формулой для вычисления выборочного коэффициента корреляции в условных вариантах:^в = ( S «яг/^У — л1/у)/(лада^).Вычислив входящие в эту «^юрмулу величины w, и, а„, а^ методом произведений или непосредственным расчетом, получим:и = - . 0 , 0 3 ; 1' = 0,35; а д = 1,153; а^,= 1,062.Пользуясь расчетной таблицей (см. задачу 535, табл.
7), найдем2/z,^^at/ = 99.Следовательно, выборочный коэффициент корреляции«па^о^"^100.1.153.1,062—"'»*^-б) Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генеральногокоэффициента корреляции.241Вычислим наблюдаемое значение критерия:}/^7Г^* набл — '0,817-У^100--2/"1--0,8172КГ г1: 14.03.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид г^ Ф О, поэтомукритическая область — двусторонняя. По таблице критических точекраспределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимостиа = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степенейсвободы Аг = /г — 2 = 1 0 0 — 2 = 98 находим критическую точку двусторонней критической области /кр(0»05; 9 8 ) = 1,99.Так как Гнабл > ^кр» 11улевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергаем.
Другими словами,коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно, К W Y коррелированы.614. По выборке объема n==IOO, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности. (X, К),составлена корреляционная табл. 14.ТаблицаИXу1 ^по712172227''и24————6120—62———8130——3502—55140——1106—17———47314664153л = 100150Пх1210iТребуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции Гг при конкурирующей гипотезе Я^: г^Фй.Указание.t'/ = (i^/-130)/10.Перейти к условным вариантам а/ = (д?/—17)/5,615.
По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, К),составлена корреляционная табл. 15.242T a 6 л и ua15XY1265—i2232~"—!«152 1—1070621 72n^621841575——2742—1580——125———2685—46—1: ——11901 1582———16951 126————91 ' 1"Требуется: a) найти выборочный коэффициент корре23Пх3415123n==100ляции; б) при уровне значимости 0,001 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции г^ при конкурирующей гипотезеУ к а з а н и е . Перейти к условным вариантам <i/=(jc/—42)/10,Vi = (i^i —в0)/5.616.
По выборке объема л =100, извлеченной издвумерной нормальной генеральной совокупности (X, Y),получена корреляционная табл. 16.Т а б л и ц а 1GкY100354451 105по115120125—6783285521 ^^—2267——231865—654—2177551243—15Пх20191525138/1=100551[ —%243требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции Гг при конкурирующ^ей гипотезеЯ,:г,фО.У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = (xi—115)/5,t'i-{i^/-45)/l0.§ 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
