В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 39
Текст из файла (страница 39)
^4 = 5, d^=l, de = 6.Найдем выборочную среднюю, учитывая, что 2jdi^3:d =«= 3/6-0,5."Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s^,учитывая, что ^di = \27 и ^ ^ / д = 3 :Найдем наблюдаемое значение критерия:Гнабл-^- }^л/5^ = 0,5. |/'67V^25J=0,24.По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости 0,05, помещенному в верхнейстроке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1=6—1=5находим критическую точку /двуст. кр (0»05; 5) = 2,57.Так как Гцабл < ^двуст.
кр — и^т оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Другими словами; средние результаты измерений различаются незначимо.582. На двух аналитических весах, в одном и том жепорядке, взвешены 10 проб химического вещества и получены следующие результаты взвешиваний (в мг):Xf 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38У1 28 31 26 52 24 36 33 35 45 40При уровне значимости 0,01 установить, значимо илинезначимо различаются результаты взвешиваний, в предположении, что они распределены нормально.227583. Физическая подготовка 9 спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу, а затемпосле недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими (в первой строке указано число баллов, полученных каждым спортсменом при поступлениив школу; во второй строке — после обучения):Xi 76 71 57 49 70 69 26 65 59У1 81 85 52 52 70 63 33 83 62Требуется при уровне значимости 0,05 установить,значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число балловраспределено нормально.584.
Химическая лаборатория произвела в одном итом же порядке анализ 8 проб двумя методами.Получены следующие результаты (в первой строкеуказано содержание некоторого вещества в процентахв каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке—вторым методом):Xf 15 20 16 22 24 14 18 20у^ 15 22 14 25 29 16 20 24Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результатыанализов, в предположении, что они распределены нормально.585. Две лаборатории одним и тем же методом, водном и том же порядке, определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты анализов (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке — второй лабораторией):xi 0,18У: 0,160,120,090,12 0,08 0,08 0,12 0,190,08 0,05 0,13 0,10 0,14х^ 0,22 0,34 0,14 0,46У: 0,24 0,28 0,11 0,420,320,300,270,31Требуется при уровне значимости 0,05 установить,значимо или незначимо различаются средние результатыанализа в предложении, что они распределены нормально.228§ 8.
Сравнение наблюдаемой относительной частотыс гипотетической вероятностью появления событияПусть по достаточно большому числу п независимых испытаний,в каждом из которых вероятность р появления события постоянна,по неизвестна, найдена относительная частота т,п. Требуется призаданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетическойвероятности роПравило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимостиа проверить нулевую гипотезу Н^: р^=р^ о равенстве неизвестнойвероятности р гипотетической вероятности Ро 'Ф'^ конкурирующейгипотезе Hi. р Ф Ро» надо вычислить наблюдаемое значение критерия___\(mln)—pQ]VnV РоЯои по таблице функции Лапласа найти критическую точку «кр "^равенстваФ(«кр)-(1—а)/2.Если |6'нзбл1<"кр — ^^'^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если I (Уиабл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Hi. р > р^^ находяткритическую точку правосторонней критической области из равенстваФ(«кр) = ( 1 - 2 а ) / 2 .Если (/цабл < ^кр — «^'^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если 6/„абл > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi: р < р^^ находятсначала ^вспомогательнуюу^ критическую точку и^^^ по правилу 2, азатем полагают границулевосторонней критической областиWhp — — "кр- Если 6/„абл > — " к р — «^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 6/набл <—"кр — нулевую гипотезу отвергают.3 а м е ч а н и е. Удовлетворительные результаты обеспечиваетвыполнение неравенства np^q^ > 9.586.
По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота т/м = 0,14. При уровне значимости0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Я©: р = Ро^-^0,20 при конкурирующей гипотезе Hi', р =5^0,20.Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия, учитывая,что до ^ 1 —Ро = 1 —0,20 = 0,80:_ ( m / n ~ P o ) . V^n ( 0 , 1 4 - 0 , 2 0 ) . УШ) _^ иабл —гУР^ЯЬ—г—"~" * »^*V^0,20.0,80По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р Ф ро» поэтому критическая область — двусторонняя.
Найдем критическуюточку w^p по равенствуф(м^р) = (1~.а)/2=-(1-~0,05)/2 = 0,475.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим229Так как |1^набл1<^кр—нет оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20.587. Решить задачу 586 при конкурирующей гипотезе Н{: р < РоР е ш е н и е . По условию, конкурирующая гипотеза имеет видр < ро.
поэтому критическая область—левосторонняя. Найдем сначала «вспомогательную» точку — границу правосторонней критической области из равенства (правило 2)ф(и^р)=:(1—2а)/2 = (1—2.0,05)72 = 0,45.По таблице функции Лапласа находим £/кр=Ьб45. Следовательно,граница левосторонней критической области щ^^ = —1,645.Так как б^пабл > "кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (правило 3).588.
Партия изделий принимается, если вероятностьтого, что изделие окажется бракованным, не превышает0,02. Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось12 дефектных. Можно ли принять партию?Р е ш е н и е . Нулевая гипотеза HQ имеет вид р = р^ = 0,02.Найдем относительную частоту брака:т / л =12/480 = 0,025.Примем в качестве конкурирующей гипотезыи уровень значимости а = 0 , 0 5 .Найдем наблюдаемое значение критерия:Nilр > 0,02^(т/п^Ро)^ Уа^(0,025—0,02).
1^480^ ^^"''^'' VPi^o1/*0,02.0,98По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р > Ро, поэтомукритическая область — правосторонняя. Найдем критическую точку i/^pправосторонней критической области из равенства (правило 2)ф («кр) =(1'—2.0,05)/2=0,45.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим«к р = 1,645.Так как ^«абл < "кр—и^т оснований отвергнуть гипотезу о том,что вероятность брака в партии не превышает 0,02. Таким образом,партию можно принять.589.
Партия изделий принимается, если вероятностьтого, что изделие окажется бракованным, не превышает0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось18 бракованных. Можно ли принять партию?У к а з а н и е . Принять нулевую гипотезу Но' р ==Ро=0,03,а в качестве конкурирующей Hii р > 0,03; уровень значимостиа=0,05.230590. Завод рассылает рекламные каталоги возможнымзаказчикам. Как показал опыт, вероятность того, чтоорганизация, получиви1ая каталог, закажет, рекламируемое изделие, равна 0,08.
Завод разослал 1000 каталоговновой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можноли считать, что новая форма рекламы оказалась значимоэффективнее первой?У к а з а н и е . Принять нулевую гипотезу Яо: р = Ро=^»08,а в качестве конкурирующей Н^\ р > 0,08; уровень значимостиа = 0,05,591. В результате длительных наблюдений установлено, что вероятность полного выздоровления больного,принимавшего лекарство Л, равна 0,8. Новое лекарство Вназначено 800 больным, причем 660 из них полностьювыздоровели.
Можно ли считать новое лекарство значимоэффективнее лекарства А на пятипроцентном уровне значимости?У к а з а н и е . Принять HQI р=:0,8; Н^: р уЬ 0,8.§ 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальныхгенеральных совокупностейпо выборкам различного объема.Критерий БартлеттаПусть генеральные совокупности Хх, Лг, . . . , Xi распределенынормально.
Из этих совокупностей извлечены независимые выборки,вообще говоря, различных объемов /г/ (некоторые объемы могут бытьодинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена, который приведенв следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выборочные дисперсии Si, Sj, . .
. , sj. Требуется при уровне значимости апроверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т. е. гипотезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:ЯогD (Хг) = D (А:.,) = . . .= D (Л:,).Введем обозначения: ki = ni—1 —число степеней свободы дисперсии sf;А? = 2^t—суммачисел степеней свободы; s^=l2^i^i )/^—сред-няя арифметическая исправленных дисперсий, взвешенная по числамстепеней свободы;V^ = 2,303 U l g s 2 - 2 ^ / l g s /;231B=V/C—случайнаявеличина (критерий Бартлетта), котораяпри условии справедливости гипотезы об однородности дисперсийраспределена приближенно как х^ с I—1 степенями свободы, еслиобъем каждой выборки Л х ^ 4 .Правило. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальныхсовокупностей^ надо вычислить наблюдаемое значение критерия Бартлетта Bnn^ji=^V/C и по таблице критических точек распределения х-,по уровню значимости а и числу степеней свободы I—1 (I—числовыборок) найти критическую точку Хкр (а*.
^—О правостороннейкритической области). Если ^набл < Хкр—нет оснований отвергнутьнулевую гипотезу. Если В„абл > Хкр—нулевую гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е 1. Не следует торопиться вычислять постоянную С. Сначала надо найти V и сравнить с Хкр* ^^^^ окажется, чтоV < Хкр. то подавно (так как С > 1) B=^V/C < Хкр и, следовательно,С вычислять не нужно. Если же V > ХКР» ТО надо вычислить С и затем сравнить В с ХкрЗ а м е ч а н и е 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителенк отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам,полученным по этому критерию, надо относиться осторожно.З а м е ч а н и е 3. При условии однородности дисперсий в качестве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степенейсвободы:_592. По трем независимым выборкам, объемы которыхn i = 9 , « , = 13 и Пз = 15, извлеченным из нормальныхгенеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу об однородности дисперсий.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
