В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ЕслиРивбл > ^кр—нулевую гипотезу отвергают,Правило 2. При конкурирующей гипотезе Hi: D (X) ф D (К)критическую точку F^p (а/2; ^i, k^) ищут по уровню значимости а/2{вдвор меньшему заданного) и числам степеней свободы ki и k^{ki—число степеней свободы большей дисперсии). Если ^дабл < ^кр —нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если /^набл > ^кр —нулевую гипотезу отвергают.554. По двум независимым выборкам, объемы которыхMl =11 и ^2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и К, найдены исправленные выборочные дисперсии sx = 0,76 и 5^ = 0,38. При уровне значимости а = 0,05, проверить нулевую гипотезу Н^: D(X) == D ( y ) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н^: D{X)> D{Y).207Решение.сии к меньшей:Найдем отношение большей исправленной диспер/"набл =0,76/0.38 = 2 .По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D {X) > D (К),поэтому критическая область — правосторонняя.По таблице приложения 7, по уровню значимости а = 0 , 0 5 ичислам степеней свободы ki=ni — 1 = 1 1 — 1 = 1 0 и/^2 = ^2—1 = 14—— 1 = 1 3 находим критическую точку/='кр(0,05; 10; 13) =2,67.Так как /^„абл < ^кр — нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.
Другими словами, выборочныеисправленные дисперсии различаются незначимо.555. По двум независимым выборкам, объемы которыхП1 = 9 и П2== 16, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей X и К, найдены исправленные выборочныедисперсии Sx =34,02 и Sy= 12,15. При уровне значимости 0,01, проверить нулевую гипотезу Н^: D(X) = D{Y)о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующейгипотезе Н^:D{X)>D{Y).556. По двум независимым выборкам, объемы которыхMl = 1 4 и Па = 1 0 , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и К, найдены исправленные выборочные дисперсии Sx = 0,84 и sy = 2,52.
При уровне значимости а = 0,1, проверить нулевую гипотезу ЯоГ D ( X ) == D{Y) о равенс1ве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Н^:0{Х)фО{У),Решение.сии к меньшей:Найдем отношение большей исправленной диспер^набл = 2 , 5 2 / 0 . 8 4 = 3 .По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D(X) т^ D{Y),поэтому критическая область — двусторонняя. В соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровеньзначимости, вдвое меньший заданного.По таблице приложения 7, по уровню значимости а/2 = 0 , 1 / 2 == 0,05 и числам степеней свободы ^х = 10 — 1 = 9 и А?2 = 14—1=13,находим критическую точкуF K P ( 0 , 0 5 ; 9; 13) =2.72.Так как /^набл > ^кр — нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем.557, По двум независимым выборкам, объемы которыхп^==9 и «2 = 6, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей X и К, найдены выборочные дисперсииJ O B ( X ) = 14,4 и Г)^(У) = 20,Ъ.
При уровне значимости 0,1проверить нулевую гипотезу H^.D {X) = D {Y) о равенстве208генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезеН,:D{X)^D{V).Указание.мулам:Найти сначала исправленные дисперсии по фор558, Двумя методами проведены измерения одной итой же физической величины. Получены следующиерезультаты:а) в первом случае Xi==9,6; JC2=10,0; А:З = 9,8;А:4==10,2; Д : 5 = 1 0 , 6 ;б) во втором случае f/i=10,4; ^2 = 9,7;ys=iO,0;t/4=10,3.Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости а = 0,1? Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.Р е ш е н и е .
Будем судить о точности методов по величинамдисперсий. Таким образом, нулевая гипотеза имеет вид HQI D(X}== D(V). В качестве конкурирующей примем гипотезу HiiD(X)^Найдем выборочные дисперсии. Для упрощения вычисленийперейдем к условным вариантам:т = IOJC,- —100, Vi = lOi^i —100.В итоге получим условные вариантыUi—40 — 2 2 6Vi4 — 303Найдем исправленные выборочные дисперсии:2 S^'-IS^/PN^"-^^^ZTi2 S^?~[2^^/?N(16 + 44-4 + 36)-2У5_,,,.5=1^^'^'(1б + 9 + 9)-4У4 _ , ,Сравним дисперсии.
Найдем отношение большей исправленнойдисперсии к меньшей (каждая из дисперсий увеличилась в 10^ раз,но их отношение не изменилось):По условию конкурирующая гипотеза имеет вид D (Х) ф D (К),поэтому критическая область двусторонняя и в соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровеньзначимости, вдвое меньший заданного.По таблице приложения 7, по уровню значимости а/2 = 0 , 1 / 2 == 0,05 и числам степеней свободы ^i = ni—1 = 5 — 1 = 4 и А^г^'^г—1=»= 4 — 1 = 3 находим критическую точку fKp(0,05; 4; 3) = 9,12.209Так как Л|абл < ^кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Другими словами, исправленные дисперсии различаются незначимо и, следовательно, обаметода обеспечивают одинаковую точность измерений.559.
Для сравнения точности двух станков-автоматоввзяты две пробы (выборки), объемы которых n i = 1 0 и^2 = 8. В результате измерения контролируемого размераотобранных изделий получены следующие результаты:х^ 1,08 1,10 1,12 1,14 1,15 1,25 1,36 1,38 1,40 1,42yf 1,11 1,12 1,18 1,22 1,33 1,35 1,36 1,38Можно ли считать, что станки обладают одинаковойточностью [HQI D{X) = D{Y)], если принять уровень значимости а = 0,1 и в качестве конкурирующей гипотезыЯ,:D{X)^D(Y)?У к а з а н и е . Для упрощения вычислений перейти к условнымвариантам а/ = 100х/—124, У/ = lOOf//—-126.§ 3. Сравнение исправленной выборочной дисперсиис гипотетической генеральной дисперсиейнормальной совокупностиОбозначим через п объем выборки, по которой найдена исправленная дисперсия s^.Правило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу Н^: а^явоо о равенстве неизвестнойгенеральной дисперсии а* гипотетическому (предполагаемому) значению Оо при конкурирующей гипотезе Hii о^ > aj, надо вычислитьнаблюдаемое значение критерияХнабл —5и по таблице критических точек распределения X*f по заданномууровню значимости а и числу степеней свободы k = n—1 найтикритическую точку Хкр(а; ^)- Если Хнабл <Хкр—нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу. Если Хнабл > Хкр—нулевую гипотезуотвергают.Правило 2.
При конкурирующей гипотезе Hii а* Ф о\ находятлевую Хлев. кр(1—сх/2; к) и правую Хправ. кр (а/2; /г) критическиеточки. Если Хлев. кр < Хнабл < Хправ. кр —нет оснований отвергнутьнулевую гипотезу. Если хИабл < Хлев, кр или х^абл > Хправ. кр —нулевую гипотезу отвергают.правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi. а* < а\ находяткритическую точку Хкр(1—а; k). Если Хнабл > Хкр(1—«; k)—нетоснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Хнабл < Хкр(1—а; к)—нулевую гипотезу отвергают.210З а м е ч а н и е .
Если число степеней свободы k > 30, то критическую точку Хкр(сх; к) можно найти из равенства Уилсона—Гильферти:Хкр(а; Л) = ^ Г 1 - 2 / 9 ^ + ^а^^(ЩЬгде z^ находят, используя функцию Лапласа (см. приложение 2),из равенстваФ(^а)=(1-2а)/2.560. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 21 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s* = 16,2. Требуется приуровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Я^:а* = ао==15, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н^: a S > 15.Решение.
Найдем наблюдаемое значение критерия:Хнабл—2Се—Гс-^1,0.^^По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а* > 15, поэтому критическая область—правосторонняя (правило 1). По таблицеприложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободыfe=n—1=21 —1=20 находим критическую точку Хкр (0,01; 20)=37,6.Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральной дисперсии гипотетическому значениюaS=15. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (16,2) и гипотетической генеральной дисперсией (15) незначимо.561. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 17 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s^ = 0,24.
Требуется приуровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я^:а* = 00 = 0,18, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н^: 0^>О,18.562. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема л = 31:варианты х^ 10,1 10,3 10,6 11,2 11,5 11,8 12,0частоты rtfI3710631Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу HQI а5 = ао = 0,18, приняв в качествеконкурирующей гипотезы Н^: а ^ > 0 , 1 8 .Указание.Принять условные варианты м/ = 10х/—ПО; вы2 ^niu]---\^niUiY/n2siчислить сначала Su=•—:, а затем Sjc = yjrj .563. Точность работы станка-автомата проверяется подисперсии контролируемого размера изделий, которая не211должна . превышать 05 = 0,1.
Взята проба из 25 случайных отобранных изделий, причем получены следующиерезультаты измерений:контролируемый размеризделий пробыАГ/ 3,0 3,5 3,8 4,4 4,5частотаП/ 26 97 1Требуется при уровне значимости 0,05 проверить,обеспечивает ли станок требуемую точность.Р е ш е н и е . Нулевая гипотеза Н^: а'===ао=0,1. Примем в качестве конкурирующей гипотезы ^i: а' > 0»1.Найдем исправленную выборочную дисперсию.
Для упрощениярасчета перейдем к условным вариантам. Приняв во внимание, чтовыборочная средняя примерно равна 3,9, положим ii/=s IOJC/—39.Распределение частот принимает видщ —9 — 4 — 1 5 6п/269 7 1Найдем вспомогательную исправленную дисперсию условных вариант:«''^7Г:гх•подставив данные задачи, получим $1^==: 19,75.Найдем искомую исправленную дисперсию:sx = si/10* «19,75/100 «0,2.Найдем наблюдаемое значение критерия:^а ^ _ ( n - ^ l ) s ' x „ ( 2 5 - l ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
