В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность р появления события Апостоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях.Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.520. В 360 испытаниях, Б каждом из которых вероятность появления события одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р с надежностью 0,95.521.
Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32 нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с надежностью 0,99 неизвестную вероятность р изготовления станком нестандартной детали.522. При испытаниях 1000 элементов зарегистрировано 100 отказов. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р отказа элементас надежностью: а) 0,95; б) 0,99.180Глава одиннадцатаяМЕТОДЫ РАСЧЕТА СВОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ§ 1 . Метод произведений вычислениявыборочных средней и дисперсииА. Равноотстоящие варианты. Пусть выборка задана в виде рас«пределения равноотстоящих вариант и соответствующих им частот,В этом случае удобно находить выборочные среднюю и дисперсиюметодом произведений по формуламгде h — шаг (разность между двумя соседними вариантами); С—ложный нуль (варианта, которая расположена примерно в серединевариационного ряда); Ui = (Xi—C)/h — условная варианта; Л! J == ( 2 niUi)/n — условный момент первого порядка; Мг = ( 2 Л|"?)/л —условный момент второго порядка.Как практически использовать метод произведений, указанов задаче 523.523.
Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 1 0 0 :варианта л:,. 12частотап^ 514 1615 5018162010224Р е ш е н и е . СоставИхМ расчетную табл. 1; для этого:1) запишем варианты в первый столбец;2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (16), котораяимеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клетке третьего столбца, которая принадлежит строке, содержащей ложныйнуль, пишем 0; над нулем последовательно записываем — 1 , — 2 ,а под нулем 1, 2, 3;4) произведения частот л/ на условные варианты а/ запишемв четвертый столбец; отдельно находим сумму (—25) отрицательныхчисел и отдельно сумму (48) положительных чисел; сложив этичисла, их сумму (23) помещаем в нижнюю клетку четвертого столбца;5) произведения частот на квадраты условных вариант, т.
е. /i/tt?»запишем в пятый столбец (удобнее перемножить числа каждой строки третьего и четвертого столбцов: w/•«/«/=/г/w]); сумму чиселстолбца (127) помещаем в нижнюю клетку пятого столбца;6) произведения частот на квадраты условных вариант, увеличенных на единицу, т. е. n/(w/+l)^, запишем в шестой контрольный столбец; сумму чисел столбца (273) помещаем в нижнюю клеткушестого столбца.В итоге получим расчетную табл. I.J81Для контроля вычислений пользуются тождествомКонтроль:S « / ( " / + О * =273, ^niu]+2'^niUi+n== 127+223+100=273.Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.Вычислим условные моменты первого и второго порядков:Л|Г = (2п/"/)/л = 23/100 = 0,23; Л1? = (2л/а?)/п = 127/100 = 1,27.Найдем шаг (разность между любыми двумя соседними вариантами): /1=14—12 = 2.Вычислим искомые выборочные среднюю и дисперсию, учитывая,что ложный нуль (варианта, которая имеет наибольшую частоту)С = 16:Хв = AfJ/i+C=0,23.2+ 16= !6,4б;Лв=[Л1.!—(Л10*]Л« = [1.27—0,2321.22 = 4,87.Таблица 1123456xiniuiniui«i«?Я/(«1+1)«125-2—102051415—1—1515—16500—25—501816116166420102204090224312366448n=1002 Л | « | = 232 л , ( а | + 1)2 = 273524.
На 1ТИ М<етодом п р оизведений выборочную Среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки:а) варианта х,- 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6304018частотап.- 4б) варианта х,- 65 70 75 80 85б 25 15частотап,182Б. Неравноотстоящие варианты. Если первоначальные вариантыне являются равноотстоящими, то интервал, в котором заключенывсе варианты выборки, делят на несколько равных, длины /z, частичных интервалов (каждый частичный интервал должен содержатьне менее 8—10 вариант). Затем находят середины частичных интервалов, которые и образуют последовательность равноотстоящих вариант.
В качестве частоты каждой середины интерпала принимаютсумму частот вариант, которые попали в соответствующий частичный интервал.При вычислении выборочной дисперсии для уменьшения ошибки,вызванной группировкой (особенно при малом числе интервалов),делают поправку Шеппарда, а именно вычитают из вычисленнойдисперсии 1/12 квадрата длины частичного интервала.Таким образом, с учетом поправки Шеппарда дисперсию вычисляют по формулеD ; = DB~(1/12)/I2.525. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 100:X,.
2 37 9 11 12,5 16 18 23 25 26п,. 3 5 10 6 10412 13 8 209Р е ш е н и е . Разобьем интервал 2—26 на следующие четыречастичных интервала длины Л = 6:2—8; 8—14; 14—20; 20—26.Приняв середины частичных интервалов в качестве новых вариантI//, получим равноотстоящие варианты: yi = 5, £/2=11, уз-= 17, у^ = 23.В качестве частоты rii варианты yi==5 примем сумму частотвариант, попавших в первый интервал: /ii = 3 + 5 + 1 0 = 18.Вычислив аналогично частоты остальных вариант, получим распределение равноотстоящих вариант:У( 5 11 17 23fii 18 20 25 37Пользуясь методом произведений, найдем 1/в= 15,86, DB = 4 5 , 1 4 .Принимая во внимание, что число частичных интервалов (4)мало, учтем поправку Шеппарда:D ; = DB —(1/12)/i2 = 45,14—62/12 = 42,14.526.
При вычислении дисперсии распределения неравноотстоящих вариант выборка была разбита на пятьинтервалов длины /i==12. Выборочная дисперсия равноотстоящих вариант (середин частичных интервалов)DB = 5 2 , 4 . Найти выборочную дисперсию, учитывая поправку Шеппарда.527. а) Найти методом произведений выборочнуюсреднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объема п=50:X,. 6 8 И 13 15,5 17,5 20 23,5 24,5 26П; 1 9 6 6 468 541183б) найти выборочную дисперсию с учетом поправкиШеппарда.У к а з а н и е .
Разбить интервал 6—26 на пять частичных интервалов длины /1 = 4.628. а) Найти методом произведений выборочнуюсреднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению неравноотстоящих вариант выборки объемап=100:лг/ 10 13 15 17 19 23 24 26 28 32 34 35л^ 246896 20 15 10 875б) найти выборочную дисперсию с учетом поправкиШеппарда.У к а з а н и е . Разбить интервал 10—35 на пять частичных интервалов длины Л = 5. Частоту варианты х = 1 5 , т. е. частоту 6, распределить поровну между первым и вторым частичными интервалами(так как варианта 15 попала на границу интервала).§ 2.
Метод сумм вычислениявыборочных средней и дисперсииПусть выборка задана в виде распределения равностоящих вариант и соответствующих им частот. В этом случае, как было указано в § 1, выборочные среднюю и дисперсию можно вычислить поформулам:^При использовании метода сумм условные моменты первого и второго порядков находят по формулам:М1 = di/n.Ail = (si + 252)/л.где di = ai—^i, Si = a i + 6 i , 52 = 02 + ^2- Таким образом, в конечномсчете надо вычислить числа ai, Л2, ^1, ^2- Как практически вычислить эти числа, указано в задаче 529.529.
Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п = 1 0 0 :варианта х^ 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84частота П; 2468 12 30 18 875"^/Р е ш е н и е . Составим расчетную табл. 2, для этого:1) запишем варианты в первый столбец;2) запишем частоты во второй столбец; сумму частот (100) поместим в нижнюю клетку столбца;3) в качестве ложного нуля С выберем варианту (63), котораяимеет наибольшую частоту (в качестве С можно взять любую варианту, расположенную примерно в середине столбца); в клеткахстроки, содержащей ложный нуль, запишем нули; в четвертом184столбце над и под уже помещенным нулем запишем еще по одномунулю;4) в оставшихся незаполненными над нулем клетках третьегостолбца (исключая самую верхнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 2; 2-f-4 = 6; 6 + 6 = 12; 12 + 8 = 20; 2 0 + 1 2 = 32;сложив все накопленные частоты, получим число 6i = 72, котороепоместим в верхнюю клетку третьего столбца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
