В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 28
Текст из файла (страница 28)
. . ,Хп точечную оценку параметра р биномиального распределениягде Х( — число появлений события в /-м опыте (/ = 1, 2,. . . , /г), т — количество испытаний в одном опыте.У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка.475. Случайная величина X (число появлений события А ъ т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределениечисла появлений события в 10 опытах по 5 испытанийв каждом (в первой строке указано число Xi появленийсобытия А в одном опыте; во второй строке указаначастота л,- — количество опытов, в которых наблюдалосьXi появлений события Л):X,.л,.О512213141Найти методом моментов точечную оценку параметра рбиномиального распределения.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 474.476. Найти методом моментов по выборке х^, Xg, . . . ,Хп точечную оценку неизвестного параметра X показательного распределения, плотность которого f{x) = Xe-'^^(х>0).477. Случайная величина X (время работы элемента)имеет показательное распределение f{x) = Xe-^ (х^О).Ниже приведено эмпирическое распределение среднеговремени работы п = 2 0 0 элементов (в первой строке при165ведено среднее время х^ работы элемента в часах; во второй строке указана частота щ—количество элементов»проработавших в среднем Х/ часов):Xi 2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5л^ 133 45 15421Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра показательного распределения.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 476.478. Найти методом моментов точечную оценку параметра р (вероятности) геометрического распределенияP(X = Xi) = {}—pY'''^-pf где X/—число испытаний, произведенных до появления события; р—вероятность появления события в одном испытании.У к а з а н и е . Принять во внимание, что М(X) = 1/р (см. задачу 222).479. Найти методом моментов оценку параметра ргеометрического распределения Р{Х = х^) = {1—ру^'^-р^если в четырех опытах событие появилось соответственнопосле двух, четырех, шести и восьми испытаний.480. Найти методом моментов по выборке х^, х,, ...»Хп точечные оценки неизвестных параметров а и р гамма-распределения, плотность которого/(^) = ра^хг\а+1)^^^"^^ ( а > - 1 . Р > 0 , х > 0 ) .Р е ш е н и е .
Для отыскания двух неизвестных параметров необходимо иметь два уравнения; приравняем начальный теоретическиймомент первого порядка Vi начальному эмпирическому моменту первого порядка Ml и центральный теоретический момент второго порядка fis центральному эмпирическому моменту второго порядка т^;Учитывая, что Vi = Ai(X), Мг^х^^ ^ia=Z>(X), m^^D^, имеемГЛ1(Х)=7,.*.Математическое ожидание и дисперсия гамма-распределения соответственно равны Л1 (Х) = (а+1)Р» D(X)=(aH-l)p* (см.
задачу 302), поэтому (^) можно записать в виде/(а+1)р=7„Ua+1)P*=I>B.Решив эту систему, окончателыю^ получим искомые JFOчeчныeоценки ненэтестяых параметров: а*=(х^)^/0,^—1, ^*=0^/х^'16в481. Случайная величина X (уровень воды в реке посравнению с номиналом) подчинена гамма-распределению,плотность которого определяется параметрами а и Э(а>—1, р>0):Ниже приведено распределение среднего уровня воды поданным /г = 45 паводков (в первой строке указан средний уровень воды х^ (см); во второй строке приведеначастота п^- — количество паводков со средним уровнемводы JC,):Xi 37,5 62,5 87,5 112,5 137,5 162,5 187,5 250 350п ^ 1 3 6 7754 8 4Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и р рассматриваемого гамма-распределения.Р е ш е н и е . Используем точечные оценки параметров гаммараспределения (см.
задачу 480):OC*=(7B)VZ)B-1,Р*=^ВМВ.ППо заданному распределению легко найдем выборочную среднююи выборочную дисперсию: х^=1&6, DB = 6782.Подставив эти числа в формулы (*), окончательно получимискомые точечные оценки неизвестных параметров рассматриваемогогамма-распределения: а* =3,06, р* =40,86.482. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.Испытания пяти элементов дали следующие наработки(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125, 250,300. Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров а и р , которыми определяется гаммараспределение.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 480. Учесть, чтообъем выборки п = 5 мал, поэтому в формулах для вычисления параметров а и р вместо выборочной дисперсии подставить исправленную дисперсию s^ = 'Lni(Xi—х^)^/(п — 1).483. Найти методом моментов по выборке лг^, Xg, .
. . ,Хп точечные оценки неизвестных параметров а и о нормального распределения, плотность которого/(л:) = —i=e-<^-«>V(2a«).У к а з а н и е . Приравнять начальный теоретический моментпервого порядка и центральный теоретический момент второго порядка соответствующим эмпирическим моментам.167484. Случайная величина X (отклонение контролируемого размера изделия от номинала; подчинена нормальному закону распределения с неизвестными параметрамиа и о.
Ниже приведено эмпирическое распределение отклонения от номинала п = 200 изделий (в первой строкеуказано отклонение х^- (мм); во второй строке приведеначастота п,- — количество изделий, имеющих отклонение Xf):Xi 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,2 2,3п^ 6926 25 30 26 21 24 2085Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и о нормального распределения.У к а з а н и е .
Использовать задачу 483.485. Найти методом моментов по выборке х^, дг^, ...»х„ точечные оценки параметров а и b равномерного распределения, плотность которого / (х) = 1/(6—а) (6 > а).У к а з а н и е . Использовать решения задач 313, 315.486. Случайная величина X (ошибка измерения дальности радиодальномером) подчинена равномерному закону распределения с неизвестными параметрами а и Ь.Ниже приведено эмпирическое распределение среднейошибки л = 200 измерений дальности (в первой строкеуказана средняя ошибка л:,-; во второй строке указаначастота п^—количество измерений, имеющих среднююошибку АГ/):л:,.
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21п^ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25Найти методом моментов точечные оценки неизвестныхпараметров а и Ь равномерного распределения.У к а з а н и е . Использовать задачу 485.487. Найти методом моментов по выборке х^, х^, . . . ,л:„ точечные оценки неизвестных параметров Х^ и Яд«двойного распределения» Пуассона1*\Х= Xf) = -оГ •Х^'е~^«;1h "о* •Х^'е~^«i— »где х^ — число появлений события в п^ испытаниях Х^ иЯа—положительные числа, причем X2>^i.Р е ш е н и е . Если случайная величина Z распределена по законуПуассона с параметром X, то ее начальные теоретические моменты168первого и второго порядка соответственно равны (см.
задачи 207,227):Vi = Af(Z)==^,Найдем начальные теоретические моменты первого и второгопорядка рассматриваемой случайной величины X, учитывая соотношения (*):Vi = M (X) = A,,/2 + X2/2=(Xi + X2)/2,V2=Af(X2) = (l/2)(^i + A?)+(l/2)(X2 + ^ l ) = V i + ( > . ? + X i ) / 2 .Отсюда/Xi + X2 = 2vb\Xf + X| = 2v2 —2vi.Решив эту систему относительно неизвестных параметров, принявво внимание, что Лг > Ki, получим:^i = vi —Kv2-—Vi —V?, X2 = V i + K Va —Vi —V?.488. Случайная величина X распределена по «двойному» закону Пуассона:1 Xfe-^*1 Ц^e-^*Р (2С = X:) == "7Г •iЬ 7Г "i•Ниже приведено эмпирическое распределение числапоявлений события в л = 327 испытаниях (в первойстроке указано число х,- появлений события; во второйстроке приведена частота n^• — количество испытаний,в которых появилось Х/ событий):X,.
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10п^ 28 47 81 67 53 24 13 8 3 2 1Найти методом моментов точечные оценки неизвестных параметров Х^ и К^ «двойного распределения» Пуассона.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 487. Вычислить повыборке начальные эмпирические моменты первого и второго порядков:Ml = ( 2 niXi)/n, Af 2 = ( 2 ^i^b/^§ 3. Метод наибольшего правдоподобияМетод наибольшего правдоподобия точечной оценки неизвестныхпараметров заданного распределения сводится к отысканию максимума функции одного или нескольких оцениваемых параметров.А. Дискретные случайные величины.
Пусть X—дискретная случайная величина, которая в результате «опытов приняла возможные значения Xi, х^, . . . , л:„. Допустим, что вид закона распределения величины X задан, но неизвестен параметр в , которым оп169ределяетсяэтотзакон;требуетсянайтиего точечную оценкуОбозначим вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение Xi через p(Xi\ 0 ) .Функцией правдоподобия дискретной 'случайной величины Xназывают функцию аргумента 0 :ЦхиХ2, ...,Хп\ 0) = p(-ti; е)'Р(Х2\ в)...р(Хп\0).Оценкой наибольшего правдоподобия параметра 0 называюттакое его значение 0*, при котором функция правдоподобия достигает максимума.Функции L и In L достигают максимума при одном и том жезначении 0 , поэтому вместо отыскания максимума функции L ищут,что удобнее, максимум функции In L.Логарифмической функцией правдоподобия называют функцию InL.Точку максимума функции InL аргумента 0 можно искать, например, так:1 и чd InL1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
