В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины К==ЗХ + 2.Р е ш е н и е . По определению функции распределения, G {у) == Р (К < у). Поскольку функция ^ = 3JC+2—возрастающая, то неравенство Y < у выполняется, если имеет место неравенство X < х^поэтому0{у)^Р {Y < у)^Р{Х < x)^f{x).(*)Из уравнения y=3jc+2 выразим х:х^(у^2)/3.Подставив (**) в (*), окончательно получим(**)0(y)^Fl(y-2)/3].398. Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X.
Найти функцию распределения G (у) случайной величины К » — ( 2 / 3 ) Х 4 - 2 .Решение.По определению функции распределения,0(y)=^P{Y <у).Поскольку функция у = — (2/3)дг+2—убывающая, то неравенствоY < у выполняется, если имеег место неравенство X > х, ПОЭТОМУ'G{y)==P(Y<y)=^P(X>x),События X < X и X > X противоположны, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице: Р {X < х)+Р (X > х)=»1.ОтсюдаР(Х > д:)=1—Р(А: < x)^l-^f(x)\следовательно,С/(//) = 1-/^(лг).(*)131Из уравнения у=:—(2/3)дг+2 выразим х:Х = 3{2^УУ2,(**)Подставив (*•) в (*), окончательно получимC(y) = l - f [3(2--у)/21.399. Задана функция распределения F (х) случайнойвеличины X. Найти функцию распределения С((/) случайной величины К, если: а) К = 4X4-6; б) К = —5Х+ 1;в) V==aX + b.§ 2.
Функция двух случайных аргументовЕсли каждой паре возможных значений случайных величин Xи У соответствует одно возможное значение случайной величины Z,то Z называют функцией двух случайных аргументов X и У и пишут2 = ф(Х, К).Если X и У—д и с к р е т н ы е независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z = X + yfнадо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложитькаждое возможное значение X со всеми возможными значениями У;вероятности найденных возможных значений Z равны произведениямвероятностей складываемых значений X и У.Если X и У — н е п р е р ы в н ы е независимые случайные величины, то плотность распределения ^(г) суммы Z=^x4-y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументовзадана в интервале (— оо, оо) одной формулой) может быть найденапо формулеосг(г)= 5fi{x)ft(z-x)dx.—»либо по равносильной формулеXйГ(г)= Jft(2-y)f^(y)dy.—Xгде /i и /-2 — плотности распределения аргументов; если возможныезначения аргументов неотрицательны, то плотность распределенияg{z) величины Z==X-\'y находят по формулеголибо по равносильной формулегg(z)^lfi{2-y)h(y)dy.ов том случае, когда обе плотности fi(x) и fziy) заданы наконечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величиныZ = X + y целесообразно сначала найти функцию распределения1320(г),а затем продифференцировать ее по г:д(г) = 0'{г).Если X и У — независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения fi(x) и fiiy)* то вероятность попадания случайной точки (Л', Y) в область D равна двойномуинтегралу по этой области от произведения плотностей распределения:Р [{X, К) с D) = \ J Л (л) /2 (у) 6х dy.iD)400.
Дискретные независимые случайные величины Xи У заданы распределениями:X13У24Р0,3 0,7 'Р0,6 0,4Найти распределение случайной величины 2 = Х + У.Р е ш е н и е . Для того чтобы составить распределение величиныZ = X-TY, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:2i = l - p 2 = 3 ; 2 2 = 1 + 4 = 5; гз = 3-|-2 = 5; 24 = 3 + 4 = 7.Найдем вероятности этих возможных значений.
Для того чтобыZ = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение Xi=l ивеличина У — значение ^ 1 = 2 . Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственноравны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X м Y независимы, то событияХ = \ и К = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события 2 = 3) по теореме умножения равна 0,3 0,6 = 0,18.Аналогично найдем:Р ( 2 = 1 + 4 = 5) ==0,3 0,4 = 0,12;Р (2 = 3 + 2 = 5) = 0 , 7 0,6 = 0,42;Я (2 = 3 + 4 = 7 ) = 0 , 7 . 0 , 4 = 0 , 2 8 .Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий 2 = ^2 = 5, 2 = 2я = 5 (0,12 + 0,42 = 0,54):2357Р0,180,540,28К о н т р о л ь : 0,18 + 0,54 + 0 , 2 8 = 1 .401. Дискретные случайные величины X и У заданыраспределениями:а) XРб) XР100.440.7120.1100,3'160,5'YРYР10.210,82.0.8'70,2-Найти распределение случайной, величины 2 = Х + У133402.
Независимые случайные величины X я Y заданыплотностями распределений:/iW = e-^ (0<АГ<оо). f,iy)^(1/2)е-У/^(0<у<оо).Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X + К .Р е ш е н и е . Так как возможные значения аргументов неотрицательны, то применима формулажgiz)=^Utix)fz(z-x)dx.Следовательно,гВыполнив элементарные преобразования, получимг(г) = е-^/М1-е-'/«1.Здесь г^О, так как Z^X-^-Y и возможные значения X н Yнеотрицательны.Итак, ^(г)=е"'^/* [1—e"^^*J в интервале (О, оо), вне этогоинтервала ^(z)==0.о»Рекомендуем для контроля убедиться, что \ g(z)dj = l.о403. Независимые случайные величины X и Y заданыплотностями распределений:/iW = (l/3)e-*/» (0<х<оо), Му) = {1/5)е-У/^{0^у<оо).Найти композицию этих законов, т. е.
плотность распределения случайной величины Z=»X + Y.404. Независимые нормально распределенные случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:ft W = (1/К2^) e--V2, f^ (у) ^ (1/J/-2H) e-^va.Доказать, что крмпозиция этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y^также есть нормальный закон.00Решение.Используем формулу g(z)^= \ /i (х) /а (г—х) dx.Тогда0D134Выполнив элементарные выкладки, получимGO— 00Дополнив показатель степени показательной функции, стоящейпод знаком интеграла, до полного квадрата, вынесем е^'^* за знакинтеграла:00— 00Учитывая, что интеграл Пуассона, стоящий в правой части равенства, равен 1^д , окончательно имеем g(z)—^^^ ^^ *У2п00Рекомендуем для контроля убедиться, что\ g(z)d2=liДля— 00этого следует воспользоваться подстановкой г=}^2•/ и принять восовнимание, что интеграл Пуассона \ e'"^*''^d/= У 2л .Заметим, что в рассматриваемой задаче легко убедиться, чтоM(Z) = M(X) + M(Y) и а ( 2 ) = / " а 2 ( Л : ) + а2(К).Можно доказать, что эти формулы справедливы и при композицииобщих нормальных законов (т.
е. если математическое ожиданиеотлично от нуля и среднее квадратическое отклонение не равноединице).405. Заданы плотности распределений независимыхравномерно распределенных случайных величин X и V:/i(jc)=l/2 в интервале (0,2), вне этого интервала/2(^) = 1/2 в интервале (0,2), вне этого интервала/a(t/) = 0.Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X + Y. Построить графикплотности распределения g{2).Р е ш е н и е . По условию, возможные значения X определяютсянеравенством О < х < 2, возможныезначения V — неравенствомО < 1/ <2. Отсюда следует, что возможные случайные точки (X; У)расположены в квадрате О ABC (рис.
9, а).По определению функции распределения,С (г) = Я (Z < Z) = Р (X4- Y < г),135Неравенству х-{-у < г удовлетворяют те точки {х; у) плоскостикоторые лежат ниже прямой х-]-у = г (эта прямая отсекает наОх и Оу отрезки, равные г); если же брать только возможныечения X и у^ то неравенство х-\ у < г выполняется толькоточек, лежащих в квадрате О ABC ниже прямой х-гу = г.хОу,осяхзнадля£ Z XЧ XРис.
9С другой стороны, так как величины X l^ Y независимы, то0{z)=^^h{x)U{y)dxdy=-j^^dxdy^где 5 — величина той части площади квадрата О ЛВС, которая лежитниже прямой х-\-у=^г. Очевидно, величина площади 5 зависит отзначения г.Если г < ; 0 , T o S = 0 , т. е. G (г) ==(1/4).0 = 0.Если О < г < 2, то (рис. 9, а) G (z) =={\'4) S^ Q^^ =\/4Z^/2=Z^/S.Если 2 < г < 4, то (рис.
9, б) G (г)==(1/4) 5^^^^^^= 1 —(4—z)V8.Площадь фигуры ОАНКС найдена как разность между площадьюквадрата О ABC, которая, очевидно, равна 2 - = 4 , и площадью прямоугольного треугольника ЯВ/С: S^f^Qf^ = HB'^/2, причем ИВ =2 —— ЛЯ = 2 — Д ^ = 2 — ( г — 2 ) = 4 —2.Если 2г > 4, то G(e) = ( l / 4 ) S o . 4 « c = i / 4 - 4 = l .Итак, искомая функция распределения такова:Опри z < 0 ,г«/8приО < г < 2,0{г)'.1 - ( 4 - г ) 2 / 8 при 2 < 2 < 4,1при 2 > 4.Найдем плотность распределения:^W=-<136О2/41 — 2/4Оприприприпри2^0,о < 2 < 2,2 < 2 < 4,2 > 4.График плотности распределения g (г) изображен на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
