В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти плотность распределения случайной величины К = ЗХ.Р е ш е н и е . Так как функция у=3хвозрастает, то применима формуладифференцируемая и строгоg(y)=/[t(y)]-l^'(y)|.где у^(у)—функция, обратная функции у = 3д:.Найдем yii(y):ур(у)=^х=у/3.Найдем /[г|)(у)];/W^(y)J=/(y/3).С)Г*)123Найдем производную ф' (у):•Wy)-(1^/3)'= 1/3.Очевидно, чтоI*'(У) 1 = 1/3.Г**)Найдем искомую плотность распределения, для чего подставим(••) и (•••) в С): ^(|/)=-(1/3)/|(у/3).Так как х изменяется в интервале (а, Ь) и у^Зх^ то За < у < ЗЬ.378. Задана плотность распределения f(x) случайнойвеличины X, возможные значения которой заключеныв интервале (а, Ь). Найти плотность распределения g(y)случайной величины К, если: а) К==—ЗХ; б)Y^AX+B.379.
Случайная величина X распределена по законуКошиf^^^"^n{\+x^)*Найти плотность распределения случайной величины К==*« Х » + 2.380. Задана плотность распределения f(x) случайнойвеличины X, возможные значения которой заключеныв интервале (О, со). Найти плотность распределения |г(у)случайной величины К, если: а) К = е""*; б) К = 1пХ;в) К = Х»; г) К«1/Х*; д) К ^ / Х .381. Задана плотность распределения f{x) случайнойвеличины X* возможные значения которой заключеныв интервале (— оо, со). Найти плотность распределения g{y) случайной величины К, если: а) К==Х*;б) К-е--^'; в) К = |Х|; г) K = cosX; д) K = arctgX;е) К=1/(1+Х«).382.
В прямоугольной системе координат хОу из точкиА (4; 0) наудачу (под произвольным углом /) проведен луч,пересекающий ось Оу. Найти плотность g(y) распределения вероятностей ординаты у точки пересечения проведенного лучас осью Оу.Р е ш е н и е . Угол t можно рассматривать как случайную вели*чину, распределенную равномерно в интервале (—л/2, л/2), причемв этом интервале плотность распределения'* ^~я/2~{—л/2) "^ я 'вне рассматриваемого интервала f{t)^0.Из рис. 7 следует, что ордината у связана с углом / следующейзависимостью: ^ » 4 t g / . Эта функция в интервале {—^л/2, л/2) монотонно возрастает, поэтому для отыскания искомой плотностя124распределения g{y) применима формулаС)g{y)^fltiy)]'\^'(y)\fгде If (у)—функция, обратная функции y = iigtНайдем ^{у):if(y)=:^«:arctg{y/4).Найдем ^' (у):it'(«^) = 4/(I6-bi^*).Следовательно,I Ф'(У) 1 = 4/(16Н-у«).(*•)Найдем / [ф{у)1.
Так как /(/)==1/я.то/1Ч5(У)1 = 1/Я.(*•*)Подставив (*•) и (***) в (*), окончательно получим ,Рмс. 7причем —00 < у < 00 (последнее следует из того, что y =и —л/2 < / < л/2).Контроль:4igt:1.— ае—воО383, Случайная величина X равномерно распределенав интервале (—я/2, л/2). Найти плотность распределения g{y) случайной величины Y = siT\X.Р е ш е н и е . Найдем плотность распределения f(х) случайнойвеличины X.
Величина X распределена равномерно в интервале(—л/2, л/2), поэтому в этом интервале1/(^) = •л/2—(—л/2)Iл •вне рассматриваемого интервалаf{x)=0.Функция у = 81пд: в интервале (—п/2, л/2) монотонна, следовательно, в этом интервале она имеет обратную функцию х = t|; (]^) =:=s=arcsinv« Найдем производную У^'(у):^'(у)^1/УТ=^.Найдем искомую плотность распределения по формулеgiy)^fl^{y)]\^'(y)\Учитывая, что f (х) = 1/л| * ' ( у ) | « 1 / К ' 1 — У * , получим.(следовательно,/ [if (у)] = 1/я)иВ(у)^1/{л}ГГ:1у^).125Так как y = sinx, причем — л/2<д?<л/2, то ^1 < у < t #Таким образом, в интервале (—1, 1) имеем ^ (у) = 1/(я К 1"~У*)*> внеэтого интервала g(y)«=0.Контроль:1111dyg(y)^y-1^l1^ 2 Лdy2 aroslny=-rо= 2/л-л/2=1.о384.
Случайная величина X распределена равномернов интервале (О, л/2). Найти плотность распределения g(y)случайной величины У «=^sinX.385. Заданаплотностьраспределения случайной величины X: f {х) «= 1/я в интервале (—я/2, л;/2); вне этогоинтервала / (х) =» О. Найтиплотность распределения g (у)случайнойвеличины Y =PN«. 8= igX.386, Случайная величина X распределена равномернов интервале (О, 2я). Найти плотность распределения g(y)случайной величины У = созХ.Решение. Найдем плотность распределения f{x) случайнойвеличины X: в интервале (О, 2л) имеем/(jc) = l/(2n-.0) = I/2n;вне этого интервала /(jc) = 0.Из уравнения y=cos.v найдем обратную функцию Д^='ф(у).Так как в интервале (О, 2д) функция y=cos;c не монотонна, торазобьем этот интервал на интервалы (О, я) и (я, 2я), в которыхэта функция монотонна (рис.
8). Б интервале (О, я) обратная функция tfi (у) = агссоз у; в интервале (я, 2я) обратная функция я|?2(у)«=—arccosy. Искомая плотность распределения может быть найденаиз равенстваg{y)=n^i{y)]-\4^(y)\+f№(у)]-|^(у)1(*)Найдем производные обратных функций:4i (у) = (arccosу)'=—1 / y i — y ^ , tjja (у) = (— arccosу)'. .1/УГ=¥'.Найдем модули производных:k'i^|=i/in^=F. \^(у)\ = 1/УТ:=^.Учитывая, что /(дс) = 1/2я, получим/1Ф1(У)1 = 1/2л, /1Фа(у)] = 1/2я.126(••)(*•*)Подставляя (**) и (***) в (*), имеем18{У)='.112я У \—у^2пУ\—у^пУГ^Так как y^cosx,причем О < л; < 2л, то —1 < у < 1. Таким обра*зом, в интервале (-^1, 1) искомая плотность распределения g ( y ) «» 1 / ( л У 1*^у^)\ вне этого интервала g{y)=b.Контроль:{8(y)^y^LJ ^^^' ^л J-1r_J^=^=.2_f_i==.==.4.arcsinl«Ух^угп\ у Т = ряО*•!= 2/л-л/2=1.387.
Случайная величина X распределена равномернов интервале (—я/2, я/2). Найти плотность распределения gf(i/) случайной величины У = cos X.Зов. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием, равным а, и средним квадратическим отклонением, равным а. Доказать, что линейная функция Y= АХ + В также распределена нормально,причемM{Y) = Aa + B, а(К) = |Л|а.Р е ш е н и е . Напишем плотность распределения случайной величины X:'а Y2nФункция \1^Ах-\-В монотонна, поэтому применима формулаg(y)=/I1'(y)]lt'(y)lПНайдем дг=з^(у) из уравнения у = Ах-^В'.^(у) = (у—В)/А.Найдем / [If (у)]:1(у-В)/А-ауГу-Ма+В)}»/[,1)0,)]=—i==.e"'''=-i^«"а У 2лНайдем ^ ' (у):''^^'•С)аУ2пV(y)=Hy-B)/AY= i/A.Найдем I ф' (у) |:I It'(у) 1 = 1/1 Л |.Подставляя (*•) и (***) в (*), имеем1у-(Аа+вп*(•*•)^^^ ( M i o s i s 'Отсюда видно, что линейная функция Y = AX+B распределенанормально, причем М(У) = Аа + В и а(У) = \ А\а, что и требовалосьдоказать»127389.
Задана плотность /(.v) =е-^'^'^, (—сх><х<оо)нормально распределенной случайной величины X. Найтиплотность распределения g(y) случайной величиныР е ш е н и е . Из уравнения у=^х^ найдем обратную функцию.Так как в интервале (— оо, оо) функция у==х* не монотонна, торазобьем этот интервал на интервалы (— оо, 0) и (О, оо), в которыхрассматриваемая функция монотонна. В интервале (—оо, 0) обратная функция t|?i((/) = — V^'f в интервале (О, во) обратная функцияИскомая плотность распределения может быть найдена из равенстваg(y)-=f [^1 (У)] 1 yp'i(y) I 4- / [я|:2 (у)] \ i?; (у) |.Г)Найдем производные обратных функций:= - 1 / ( 2 К у).Найдем модули производных:Ф1 (У)I П>; (у) I == 1/(2 VIIУчитывая, что f(x)=t i (У) = 1/(2'Vlh! ^2 (У) I = 1/(2 »^ у).е^-^'^^, ^i(y)=—y^,(*•)М'2(У)=}^^*У 2лполучимП*l(У)l = - i = - e - ^ / ^К 2я/I^,(^/)l = _ L ^ e - ^ / ^К 2л(•••)Подставляя (**) и (***) в (*), имеемТак как у — х*, причем —оо < дс < во, то О < у < оо.Таким образом, в интервале (О, во) искомая плотность распределениявне этого интервала ^(j^)=0.Контроль:Положив у = / ' и, следовательно, di/=s2/d/, получимо128оУчитывая, что интеграл Пуассона \ е"^*^^ d / = ^ " , найдемОСо390.
Задана плотность /(х)== ^ е"^*^^ нормальнораспределенной случайной величины X. Найти плотностьраспределения случайной величины К = (1/2)Х*.391. Заданаплотностьраспределения/(х)====— .Q-x^/zG» Найти плотность распределения g(y)случайной величины У=(1/4)Л'^.392. Случайная величина X задана плотностью распределения / (л:) = (1/2) sin д: в интервале (О, я); вне этогоинтервала /(л:) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины К==ср(Х) = Х*, определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.Р е ш е н и е .
Найдем сначала плотность g (у) случайной величины Y. Так как функция y=:zip(x)=^x^ для рассматриваемых значений X (О < X < л)*строго возрастающая, ю плотность g(y) будемискать по формулеg(y)^fl^(y)]\^'(y)U1Де ^(у)='}^'у—функция,обратная функции У^х . ПодставляяФ(У)=К_^ и учитывая, что / (jc) = (l/2) sin х, \}^' (t/)\ = \(VуУ\ == 1/(2 У^ у), получимg(y) = sin V^/{4VD'Найдем искомое математическое ожидание величины К, учитывая,что возможные значения Y заключены в интервале (О, л^) [так каку=д:« и О < д г < л , т о О < ^ < л*]:AMy)=j.g(.)di,=-ij"^^^7^<^^ООПользуясь подстановкой y^t^,получимл'-[M{Y)='-^С/2 s i n / d / .Интегрируя дважды по частям, окончательно имеемM{Y)=М (Л«) = (л* — J)/2.129З а м е ч а н и е . Решение, приведенное выше, преследует учебныецели.
Гораздо быстрее ведет к цели формулаяМ [X2] = I.fjc2sinxciA: = (n2 —4)/2,2 ОЭто же замечание относится и к задаче 393.393. Случайная величина X задана плотностью распределекия /(х)==со5л: в интервале (О, я/2); вне этогоинтервала /(х)==0. Найти математическое ожиданиефункции K«ф(X) = X^394. Случайная величина X задана плотностью распределения /(x)«(l/2)sinjc в интервале (О, л); внеэтого интервала /(л:)=«0.
Найти дисперсию функцииу = (р{Х) = Х^, используя плотность распределения g{y)^Р е ш е н и е . Используем формулуdдгде с и d—концы интервала, в котором заключены возможные значения Y. Подставляя ^(y) = sin V^'y/i V^, М ( К ) « ( л 2 ^ 4 ) / 2 (см.задачу 392) и учитывая, что с = 0 и d^n^ (так как у « х * и О < х < л,то О < у < я*), получимо^ ^Интегрируя сначала с помощью подстановки y = t^, а потомчетырежды по частям, имеемПодставив (•*) в (*), окончательно получимD(X2)=(n*—16л2 + 80)/4.395. Случайная величина X задана плотностью распределения /(X) = COSA: В интервале (О, я/2); вне этогоинтервала/(х) = 0.Найтидисперсию функцииУ к а 3 4 и^и е.
Предварительно найти плотность распределенияg(y)^coa V у/2 У у величины К = Х*; использовать формулуР(У)^130Jy^g{y)dy^[M{Y)]^где Л1(К) = (л2—в)/4 (см. задачу 393). При вычислении интеграласначала воспользоваться подстановкой y = t^t а затем интегрироватьпо частям.396. Ребро куба измерено приближенно, причема^х^Ь.Рассматривая ребро куба как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале(а, Ь), найти: а) математическое ожидание объема куба;б) дисперсию объема куба.Указание.Предварительно найти плотность распределения^^^^^3(Ь^а)у^^^случайной величины y=sX^. Использовать формулыM(Y)=^ yg(у) 6у,в»^(У)^1 УЧ{у) ^У-[М(К)12.а»397.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
