В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А.Показания амперметра округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделанаошибка, превышающая 0,02 А.Р е ш е н и е . Ошибку округлення отсчета можно рассматриватькак случайную величину X, которая распределена равномерно синтервале между двумя соседними целыми делениями. Плотностьравномерного распределения f{x) = l/(b—а), где {Ь—а)—длина интервала, в котором заключены возможные значения ^ X; вне этогоинтервала / ( х ) = 0 .
В рассматриваемой задаче длина интервала,в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому/(дс) = 1/0,1 = 1 0 . Легко сообразить, что ошибка отсчета превысит0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).ьПо формуле Р (а < X < Ь)^ { f (х) dx получима0,08Р (0.02 <Х< 0,08)= J 10djc = 0,6.0.02309.
Цена деления шкалы измерительного прибораравна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшегоцелого деления. Найти вероятность того, что при отсчетебудет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.106310. Автобусы некоторого маршрута идут строго порасписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будетожидать очередной автобус менее 3 мин.311. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время,которое отличается от истинного не более чем на 20 с.312. Закон равномерного распределения задан плотностью вероятности f{x) = \l{b—а) в интервале (а, 6); внеэтого интервала f{x) — 0. Найти функцию распределения F{x).313.
Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно распределенной в интервале (а, 6).Р е ш е н и е . График плотности равномерного распределения симметричен относительно прямой х=(а+^)/2, поэтому М (Х)=(а+6)/2.Итак, математическое ожидание случайной величины, равномернораспределенной в интервале (а, Ь), равно полусумме концов этогоинтервала.
Разумеется, этот же результат можно получить по формулеоM(X)=:^xf(x)dx.аВ частности, математическое ожидание случайной величины /?«распределенной равномерно в интервале (О, 1), равноiW (/?):= ( 0 + 1 ) / 2 = 1 / 2 .314. Найти математическое ожидание случайной величины Xf распределенной равномерно в интервале (2, 8).315. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномернов интервале (а, Ь).Р е ш е н и е . Используем формулуьD(X)^l x^f (X) 6х--[М (Х)]^.аПодставив / (x) = l/(b —а), Л1 (X) = (а + 6)/2 (см. задачу 313) и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсиюD(X) = (^—a)V12.Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равноквадратному корню из ее дисперсии:a(X) = (6-a)/(2V^'3).В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонениеслучайной величины/?, распределенной равномерно в интервале (О, 1),соответственно равны: D(/?)=l/12, а (/?) = !/(2 У"5).10731в.
Найти дисперсию и среднее квадратйческое отклонение случайной величины X, распределенной равномернов интервале (2, 8).317. Равномерно распределенная случайная величинахзадана плотностью распределения f(x)^ 1/(2/) в интервале(а—/, а + 1); вне этого интервала /(х) = 0. Найти математическое ожидание и дисперсию X.318. Диаметр круга х измерен приближенно, причема^х^Ь.Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, 6),найти математическое ожидание и дисперсию площадикруга.Р е ш е н и е .
1. Найдем математическое ожидание площадикруга—случайной величины У =ц>(К)=^лХ^/4—по формулеbаПодставив ф(д:) = ях*/4,/(х) = 1/(6—а) и выполнив интегрирование,получимМ (лА'«/41=л (b^ + ab + a^)/12,2. Найдем дисперсию площади круга по формулеbаПодставив ф(дг)=:лдс^/4« f{x)^=]/{b—а) и выполнив интегрирование»получимD [лЛ«/41 = (л«/720) (^—а)2 {4b^ + 7ab + 4a^).319. Ребро куба х измерено приближенно» причема^х^Ь.Рассматривая ребро куба как случайную величину Х^ распределенную равномерно в интервале (а, 6),найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.320.
Случайные величины X и V независимы и распределены равномерно: X — в интервале (а, &), Y — в интервале (с* d). Найти математическое ожидание произведения XV.У к а з а н и е . Воспользоваться решением задачи 313.321. Случайные величины X н У независимы и распределены равномерно: X — в интервале (а, Ь), У — в интервале (с, d). Найти дисперсию произведения XY.Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой0(ХУ)-=Л1 l(XK)«I-^lAf (XK)J« = Af(A«K2)-.lAf(XK)l*.Математическое ожидание произведения независимых случайныхвеличин равно произведению их математических ожиданий, поэтомуD(AK) = Af(A2)Af (К«) —(iW (Х)М(У)]*.(•)108Найдем М(Х*) по формулеb^ [ f W I = JcpW/(jr)djir.Подставляя ф(дг)=^х', f(x)^l/{b—а)и выполняя интегрирование,получимAf (Х«) = (Ь^ + аЬ + а«)/3.(*•)Аналогично найдемПодставив М(Х)^(а + Ь)/2, М (Y) = {c+d)/2, а также (••) и(•*•) в (*), окончательно получимD(XK)=:=(a« + a^4-^*)(^*+cd + d«)/9—[(a4-6)«(c+d)Viei-§ 5.
Нормдлыю^ распределениеНормальным называют распределение вероятностей непрерывнойслучайной величины X, плотность которого имеет вид/W=:-I=.e-<-«>VU<'«>,ак2ягде а—математическое ожидание, о—среднее квадратическое отклонение X.Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Р).Р(«<х<р,=ф(Р:^£)_ф(«^-).Xгде Ф(х)«==—=-1 е^'*^* 6х—функция Лапласа.^ ^ оВероятность того, что абсолютная величина отклонения меньшеположительного числа 6,Р ( | Х — а | < б) = 2Ф(6/а).В частности, при а = 0 справедливо равенствоР{\Х\ < 6 ) = 2Ф(б/а).Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределенния соответственно равны:А,^0, ^^ = 0, Мо = а, М^^а, где а^М{Х).322.
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно а^З н среднее квадратическое отклонен'ие а = 2. Написать плотность вероятности X.323. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М{Х) = 3^D(X)=16.109324. Нормально распределенная случайная величина Xзадана плотностью flx) = —i==-e-<^-^>*/*«.
Найти математическое ожидание и дисперсию X.325. Дана функция распределения нормированногоXнормального закона F (х) == -^ — \ е-^'/М/. НайтиHVIOT-ность распределения f{x).326. Доказать, что параметры а и о—плотностинормального распределения — являются соответственноматематическим ожиданием и средним квадратическимотклонением X.У к а з а н и е . При нахождении М(Х) и D (X) следует ввестиновую переменную г^(х—а)/а и использовать интеграл Пуассона00— 00327. Доказать, что функция ЛапласаXнечетна: Ф(—х) =—Ф(д:).У к а з а н и е .
Положить z = — / в равенствеУ~2л328. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайнойвеличины X соответственно равны 10 н 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (12, 14).Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойЯ(«<Х<р) = ф(&=-«)-ф(«^).Подставив а = 1 2 , Р = 14, ^==10 и 0=^2, получим Р {\2 < X < I4)=s= Ф(2)—Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф (2) = 0,4772,Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность Р (\2 < X < 14) = 0,1359.329. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной110величины X соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (15, 25).330.
Автомат штампует детали. Контролируется длинадетали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее 32 и неболее 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачувзятой детали: а) больше 55 мм; б) меньше 40 мм.У к а з а н и е . Из равенства Р (32 < X < 68) = 1 предварительнонайти а.331. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибкиизмерения X подчинены нормальному закону со среднимквадратическим отклонением а=10мм. Найти вероятностьтого, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.Р е ш е н и е .
Математическое ожидание случайных ошибок равнонулю» поэтому применима формула Р{\Х\< о) = 2Ф(6/а). Положив6=15, а=10, находим Я ( | Х | < 15)=2Ф(1,5). По таблице приложения 2 находим: Ф (1,5) =0,4332. Искомая вероятностьР(\Х\ < 15)^2.0,4332 = 0,8664.332. Производится взвешивание некоторого веществабез систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а = 20 г.
Найти вероятность того,что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.333. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонениема = 20 мм и математическим ожиданием а = 0. Найтивероятность того, что из трех независимых измеренийошибка хотя бы одного не ь^^евзойдет по абсолютнойвеличине 4 мм.334. Автомат изготовляет шарики. Шарик считаетсягодным, если отклонение X диаметра шарика от проектногоразмера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая,что случайная величина X распределена нормально сосредним квадратическим отклонением а = 0,4 мм, найти,сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.Р е ш е н и е .
Так как X—отклонение (диаметра шарика от проектного размера), то Af(X) = a = 0.IllВоспользуемсяформулойв = 0,7, а5^0,4, получимР(\Х\Р (\Х\ < 6) -^2Ф (6/а).Подставив< 0,7) = 2 ф ( ^ ) = 2 Ф ( 1 , 7 5 ) = 2.0,4599 = 0,92.Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 1СЮ окажутсягодными.335.
Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера отпроектного не превышает 10 мм. Случайные отклоненияконтролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением0=^5 мм и математическим ожиданием а = 0.
Сколькопроцентов годных деталей изготавливает автомат?336. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длинакоторого 30 м и ширина 8 м, сбросил бомбы. Случайныевеличины X н Y (расстояния от вертикальной и горизонтальной осей симметрии моста до места падения бомбы)независимы и распределены нормально со средними квадратическими отклонениями, соответственно равными 6 и4 м, и математическими ожиданиями, равными нулю.Найти: а) вероятность попадания в мост одной сброшенной бомбы; б) вероятность разрушения моста, если сброшены две бомбы, причем известно, что для разрушениямоста достаточно одного попадания.337.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
