В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Центральный момент первого порядка равен нулю:Для вычисления центральных моментов удобно воспользоватьсяформулами, выражающими центральные моменты через начальные,поэтому предварительно найдем начальные моменты:Vi^M(X) = 1 0 , 1 + 2 0 , 3 + 4.0,6 = 3,1;v, = A f ( X « ) = 1 . 0 , l + 4 0 , 3 + 1 6 0 , 6 = 1 0 , 9 ;v,=Ai(X»)=bO,l+ 8 0 , 3 + 640,6=40,9;V4 = Af(X*)= 1 0,1 + 1 6 0,3+256 0 , 6 = 158,5.Найдем центральные моменты:^, = V i ~ v ! = 10,9^3,1» = 1,29;|ji, = V8—3viv,+2v; = 40,9—3.3,1.10,9+2.3,1» = -Ю,888;f l 4 = V 4 — 4V8Vi + 6V2Vi—3Vi =«158,5-.4.40,9.3,1+6.10,9.3,1«--3.3,1*=2,7777.23b Дискретная случайная величина X задана законом распределенияX35р0,2 0,880Найти центральные моменты первого, второго, третьегои четвертого порядков.У к а з а н и е .
Найти предварительно начальные моменты и выразить через них центральные моменты.232. Доказать, что центральный момент второго порядка (дисперсия) \1^ = М[Х—M(X)Yменьше обычногомомента второго порядка iil = MlX—С]^ при любом С«?^^ФМ{Х).Р е ш е н и е . Для простоты записи введем обозначение М {Х)^т,Прибавим и вычтем т под знаком математического ожидания:^2 = M [X—С]« = М [(X—m) + (m—С)]2==« М [(X—m)2+2(m —С)(Х—m) + (m —С)2].Математическое ожидание суммы равно сумме математическихожиданий слагаемых, поэтомуji;=:Af [X —m]2 + M [2(/7i—С)(Х —m)l + M [m—CJ».Вынося постоянную величину 2(m—С) за знак математического ожи*Дания и учитывая, что математическое ожидание постоянной (т—С)*равно самой постоянной и что по определению Л1 [X—mj*=|i2,получим|г;=гц,+2(т—C).M [ X - .
m ] + ( m - C ) a .Принимая во внимание, что математическое ожидание отклоненияX—m равно нулю, имеемМ^а = Ц2 + {/п—С)2.ОтсюдаИз этого равенства заключаем, что центральный момент второгопорядка меньше обычного момента второго порядка при любом Сфт,233. Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством^A8==Vз—3viv, + 2v;.Р е ш е н и е . По определению центрального момента,цз = Л4[Х--ЛГ(Х)р.Используя свойства математического ожидания и учитывая, чтоМ(Х) есть постоянная величина, получимцз = Л1[Х»—3X«.iM(X) + 3XM«(X)—М» (Х)]==^М{Х^)—ЗМ (Х)М (Х«) + ЗЛ42 (Х)М(Х)—М[iW»(X)J == М (X»)—ЗМ (X).
М (Х^) + ЗЛ|8 (X)—Л1«(X) ==Л1 (X8)~.3M (X)-M (х«)+2Л1з (X).оПо определению начального момента,VI = Ai (X), V, = М (Х«), Va = М (X»).Г)Подставив (••) в (*), окончательно получим|i8=V3—3viVa + 2vi.81234. Доказать, что центральный момент четвертогопорядка связан с начальными моментами равенствомfii = v^—4V3 Vi + evjvj,—3vJ.235. Пусть X = Xi + X^, где X^ и X,—независимыеслучайные величины, имеющие центральные моментытретьего порядка, соответственно равные jij и ц|. Доказать, что Ц8 = И^8 + И8, где fig—центральный момент третьего порядка величины X.Р е ш е н и е .
Введем для простоты записи следующие обозначения математических ожиданий: Al(Xi)s=ai, МСХз)^^!. ТогдаМ (X) = M(Xi + Ха) = М (Хг) + М (Х,) = ai + а,.По определению центральный момент третьего порядка,lis^MlX-M(X)]^^M[(Xi+ Xt)-(a, + a^)]^^Используя свойства математического ожидания (математическоеожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,математическое ожидание произведения независимых величин равнопроизведению математических ожиданий сомножителей), получим+ М [3(JVa~aanAf [ Х х - а х ] + Л«[X^-a^P.Учитывая, что математическое ожидание отклонения (разностимежду случайной величиной и ее математическим ожиданием) равнонулю, т.
е. Л! [^1—.«1Г=0 и М [Х^—a2l=0, окончательно имеемИз = Л1 [Хг-агР+ М [ Х 2 ~ а , р = ^4+f^l-Глава пятаяЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ§ 1 . Неравенство ЧебышеваНеравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонениеслучайной величины X от ее математического ожидания по абсолютHQU величине меньше положительного числа в, не меньше чем 1—D(X)/e^:Р (IX—Л1 (X) I < е) ^ 1 -^D (Х)/е«.23в. Иcпoльзy^я неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайная величина X отклонится отсвоего математического ожидания менее чем на три средних квадратических отклонения.82237.
Доказать неравенство Чебышева в формеР (I Х—М(Х) I > е) < D (X)/8^У к а з а н и е . Воспользоваться тем, что события \Х — М {X) \ < 8и I X — М (X) I ^ е—противоположные.238. Используя неравенство Чебышева в форме, приведенной в задаче 237, оценить вероятность того, чтослучайная величина X отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на два средних квадратических отклонения.239. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что | Х — Л / ( Х ) | < 0 , 2 , если D(X) = 0,004.240.
Дано: Р ( | X —Л4 (X) | < е ) > 0 , 9 и D(X) = 0,009.Используя неравенство Чебышева, оценить е снизу.241. Устройство состоит из 10 независимо работающихэлементов^ Вероятность отказа каждого элемента завремя Т равна 0,05. С помош.ью неравенства Чебышеваоценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и среднимчислом (математическим ожиданием) отказов за время Токажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.Р е ш е н и е , а) Обозначим через X дискретную случайную величину— число отказавших элементов за время Т, ТогдаМ(Х) = пр = 10.0,05 = 0,5;D(X) = np(7= 10 «0,05 0,95 =0.475.Воспользуемся неравенством Чебышева:Р ( | Х —M(X)| < е)^1—D(X)/ea.Подставив сюда Af(X)==0,5; D(X) =0,475, 8 = 2 , получимР (I X—0,51 < 2 ) : ^ 1 —0,475/4=0,88.б) События \Х—0,5 I < 2 и \Х—0,5 | : ^ 2 противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице.
Следовательно,Р{\Х —0,5 I ^ 2 ) < 1 —0,88 =0,12.242. В осветительную сеть параллельно включено 20ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будетвключена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева,оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом(математическим ожиданием) включенных ламп за время Токажется: а) меньше трех; б) не меньше трех.243. Вероятность появления события А в каждомиспытании равна 1/2.
Используя неравенство Чебышева,83оценить вероятность того, что число X появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будетпроизведено 100 независимых испытаний.Р е ш е н и е . Найдем математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в 100независимых испытаниях:Af(X)=rnp = 100.1/2=r50; D(X)==np(7 = 100.1/2.1/2«26.Найдем максимальную разность между заданным числом появле*НИИ события и математическим ожиданием Л1(Х)ав50:е «60—50 = 10., Воспользуемся неравенством Чебышева в формеР (I Х—М (X) I < е ) ^ 1 -.D(X)/e«.Подставляя Л4(ЛГ)=50, D(X)=25, 6 = 10» получимР ( | Х — 5 0 | < 10)^1—25/10» =0,75.244.
Вероятность появления события в каждом испытании равна 1/4. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число X появлений событиязаключено в пределах от 150 до 250, если будет произведено 800 испытаний.245. Дискретная случайная величина X задана законом распределенияX0,30,6р0,20,8Используя неравенство Чебышева, оценить вероятностьтого, что |Х —Л/(Х)|<0,2.Р е ш е н и е . Найдем математическое ожидание и дисперсию величины X:Л1(Х)=0,30,2 + 0,6 0,8=0,54;D(X)=:A1(X2) —[УИ(Х)1«««(0.3« 0,2 + 0,6» 0,8)—0,54» =0,0144.Воспользуемся неравенством Чебышева в формеР (I X —Л! (X) I < е) ^ 1 —D (Х)/е«.Подставляя Л1(Х)=0,54, D(X) =0,0144, е=0,2, окончательнополучимР (I Х—ОМI< 0,2) :^ 1 —0,0144/0,04 =0,64.246.
Дискретная случайная величина X задана законом распределенияX0,10,40,6р0,20,30,5Используя неравенство Чебышева, оценить вероятностьтого, что |Х —Л1(Ху|<1/0,4.84§ 2. Теорема ЧебышеваТеорема Чебышева. Если последовательность попарно независимыхслучайных величин Xi, Х^, • . . , Х„, . . .
имеет конечные математическиеожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены {непревышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметияескому их математических ожиданий, т. е, если е — люёое положительное число, топпlim Р<е =1тЕ^.-тЕ^(^')t= li=ilВ частности, среднее арифметическое последовательности попарнонезависимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены икоторые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходитсяпо вероятности к математическому ожиданию а, т. е. еслие—любоеположительное число, тоlimPIЛ1£х,-а< е ) = 1.247.
Последовательность независимых случайных величин Xj, X jзадана законом распределения— па.О1/(2п^)1 — 1//1«па1/(2п«)Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?Р е ш е н и е . Для того чтобы к последовательности случайныхвеличин была применима теорема Чебышева, достаточно, чтобы этивеличины были попарно независимы, имели конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.Поскольку случайные величины независимы, то они подавнопопарно независимы, т. е.
первое требование теоремы Чебышевавыполняется.Проверим, выполняется ли требование конечности математических ожиданий:M ( ^ J = : —ла(1/2п2)+0(1 —1/л«) + ла(1/2л«) = 0.Таким образом, каждая случайная величина имеет конечное (равноенулю) математическое ожидание, т. е. второе требование теоремывыполняется.Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий. Напишем закон распределения Х%:Оxi1/(2п«) 1—1/п« 1/(2/»«)или, сложив вероятности одинаковых возможных значений.ОxJt1/п«1—1/п«Р85Найдем математическое ожидание М {Х%)1Af(Xn) = n V . l / n « = a « .Найдем дисперсию D{X„), учитывая» чтоТаким образом, дисперсии заданных случайных величин равномерно ограничены числом а^, т. е.
третье требование выполняется.Итак, поскольку все требования выполняются, к рассматриваемой последовательности случайных величин теорема Чебышеваприменима.248. Последовательность независимых случайных величин Xi, Х„ . . . , Х„, . . . задана законом распределениярп/{2п+1)(л + 1)/(2п+1)Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?249. Последовательность независимых случайных величин Xi9 Х2Х„, . .
. задана законом распределенияХ„п+ 1—прп/(2п+1) (п+1)/(2л+1)а) Убедиться, что требование теоремы Чебышева оравномерной ограниченности дисперсий не выполняется;б) можно ли отсюда заключить, что к рассматриваемойпоследовательности теорема Чебышева неприменима?250*.
Последовательность независимых случайных величин Хх, Х^, ...» Х„, . . . задана законом распределенияХп —паОпар 1/2« 1_1/2'»-1 1/2'»Применима ли к заданной последовательности теоремаЧебышева?Р е ш е н и е . Поскольку случайные величины Х„ независимы,то они подавно и попарно независимы, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
