В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Из двух Орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна0,8, для второго—0,9. Найти вероятности следующихсобытий: а) два попадания в цель; б) одно попадание;в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания..161. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна0,8, для второго—0,85, для третьего—0,9. Найти вероятности следующих событий: а) три попадания в цель;б) два попадания; в) одно попадание; г) ни одного попадания; д) хотя бы одно попадание.162.
Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элементаза время / равна 0,2, второго—0,25, третьего—0,3, четвертого—0,4. Найти вероятность того, что за время tоткажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) 2 элемента;г) 1 элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов.163. Две батареи по 3 орудия каждая производятзалп по цели. Цель будет поражена, если каждая избатарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5;0,6, второй—0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность пораженияцели при одном залпе из двух батарей.Часть втораяСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫГлава четвертаиДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ§ 1 . Закон распределения вероятностейдискретной случайной величины.Законы биномиальный и ПуассонаДш:/ср^тяо£2 называют случайную величину, возможные значениякоторой есть отдельные изолированные числа (т.
е. между двумясоседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величиныможно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).Законом распределения дискретной случайной величины называютперечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.Закон распределения дискретной случайной величины X может быть,задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможныезначения х/, а вторая—вероятности р/:XпХхх%»• •Xfiр рх Ра .
. • Рпгде 2 ^ ' = ' Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), торяд Pi4-P2+*** сходится и его сумма равна единице.Закон распределения дискретной случайной величины X можетбыть также задан аналитически (в виде формулы)P(X^Xi)^if(Xi)или с помощью функции распределения (см. гл. VI, § 1).Закон распределения дискретной случайной величины можноизобразить графически, для чего в прямоугольной системе координатстроят точки Мх {Хх\ Рх)* Mz (X2f Р2). • • •» ^п (Хт Рп) (д^|—-возможныезначения X, Pi—соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых.
Полученную фигуру называют многоугольникомраспределен ия.Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X—числа появлений события в п независимыхиспытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияравна р; вероятность возможного значения Х = А; (числа k появленийсобытия) вычисляют по формуле Бернулли:52Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближеннуюформулугде k—число появлений события в п независимых испытаниях, Х^=^пр(среднее число появлений события в п испытаниях), и говорят, чтослучайная величина распределена по закону Пуассона.164, Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X1 368р 0,2 0,1 0,4 0,3Построить многоугольник распределения.Р е ш е н и е .
Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения jc/, а пооси ординат—соответствующие вероятности р,-. Построим точкиMi(\; 0,2), Л12(3;0,1), Л!з(6;0,4) и Л14 (8; 0,3). Соединив эти точкиотрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения(рис. 5).165. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:а) X2456 б) X1015 20р 0,3 0,1 0,2 0,4р0,1 0,7 0,2Построить многоугольник распределения.166. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элементав одном опыте равна 0,1. Составить закон распределениячисла отказавших элементов в одном опыте.53Р е ш е н и е . Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значе*ния: д?1=0 (ни один из элементов устройства не отказал), Jt2 = l(отказал один элемент), дгз==2 (отказали два элемента) и дг4==3 (отказали три элемента).Отказы элементов незаоисимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли.
Учитывая, что, по условию, п = 3, р = 0,1 (следовательно, (/ = 1—0,1 = 0 , 9 ) , получим:Рз(0) = ^3 = 0,93 = 0,729; Р з 0 ) = йр^* = 3.0,1 0,92=0,243;Ps(2)=C3P*<7 = 3.0,ia.0,9 = 0,027; Рз(3) = рЗ = 0,1з = 0,001.К о н т р о л ь : 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1.Напишем искомый биномиальный закон распределения X:XрО0,72910,24320,02730,001167. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачуотобраны четыре детали. Написать биномиальный законраспределения дискретной случайной величины X—числанестандартных деталей среди четырех отобранных и построить многоугольник полученного распределения.168.
Написать биномиальный закон распределениядискретной случайной величины X—числа появлений«герба» при двух бросаниях монеты.169. Две игральные кости одновременно бросают двараза. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X—числа выпадений четного числа очков на двух игральных костях.170. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных.Наудачу отобраны две детали. Обставить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных *ЧР е ш е н и е . Случайная величина X—число стандартных деталейсреди отобранных деталей—имеет следующие возможные значения:jci=:0; ^ 2 = 1 ; JCs = 2.
Найдем вероятности возможных значений X поформуле (см. задачу 17, гл. 1, § 1)P(x=ife)=d-cXJiS/cXf(Л^—число деталей в партии, п—число стандартных деталей в партии, m—число отобранных деталей, k—число стандартных деталей*> Рассматриваемый закон называют гипергеометрическим. См.:Г м у р м а н В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.М., 1977, гл. VI, § 8.54среди отобранных), находим:P(X—a\—^ll£l—J—^ ^ ^ ~ doп.уL."10-9/(1-2)-45*o.__,Cg-Cg_8-7/(l-2)_28Составим искомый закон распределения:XрКонтроль:О1/45116/45228/451/45+16/45 + 28/45=1.171. В партии из шести деталей имеется четыре стандартных.
Наудйчу отобраны три детали. Составить законраспределения дискретной случайной величины X — числастандартных деталей среди отобранных.172. После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительныевопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студентответит на любой заданный дополнительный вопрос,равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределенияслучайной дискретной величины X — числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту;б) найти наивероятнейшее число ко заданных студентудополнительных вопросов.Р е ш е н и е , а) Дискретная случайная величина X — число заданных дополнительных вопросов—имеет следующие возможные значения: д?1=1, д:2 = 2, лсз==3, .
. . , ;c/fe = Aj, . . . Найдем вероятности этихвозможных значений.Величина X примет возможное значение Xf^l(экзаменаторзадаст только один вопрос), если студент не ответит на первый вопрос. Вероятность этого возможного значения равна 1—0,9 = 0,1.Таким образом, Р ( Х = 1 ) = 0 , 1 .Величина X примет возможное значение дгг'^2 (экзаменатор задаст только два вопроса), если студент ответит на первый вопрос(вероятность этого события равна 0,9) и не ответит на второй (вероятность этого события равна 0,1).
Таким образом, Р (Х=2)=0,9-0,1=0,09.Аналогично найдемР ( Х = 3) = 0,9а.0,1=0,081, . . . , Я ( Х = ^^) = 0,9Л'^.0,1, . . .Напишем искомый закон распределения:Ji.1р0,1ji0,09о0,081•«•...к.<•0,9*-10,1...55б) Наивероятнейшее число ^о заданных вопросов (наивероятнейшее возможное значение Л^), т. е. число заданных преподавателемвопросов, которое имеет наибольшую вероятность, как следует иззакона распределения, равно единице.173. Вероятность того, что стрелок попадет в мишеньпри одном выстреле, равна 0,8.
Стрелку выдаются патроныдо тех пор, пока он не промахнется. Требуется: а) составить закон распределения дискретной случайной величиныX—числа патронов, выданных стрелку; б) найти наивероятнейшее число выданных стрелку патронов.174. Из двух орудий поочередно ведется стрельба поцели до первого попадания одним из орудий. Вероятностьпопадания в цель первым орудием равна 0,3, вторым — 0,7.Начинает стрельбу первое орудие. Составить законы распределения дискретных случайных величин X и Y—числаизрасходованных снарядов соответственно первым и вторым орудием.Р е ш е н и е .
Пусть события At и В/—попадание в цель соответственно первым и вторым орудием при i-u выстреле; Л/ и Bi —промахи.Найдем закон распределения случайной величины X—числаизрасходованных первым орудием снарядов. Первое орудие израсходует один снаряд' ( Х = 1 ) , если оно попадет в цель при первомвыстреле, или оно промахнется, а второе орудие при первом выстрелепопадет в цель:Р1 = Р ( Х = 1 ) = Р^(Л1 + Л1В1) = Р(Л1) + Р(Л1Вх) == Я Н 1 ) + Я(Л1).Р(В,) = 0,3 + 0,7.0,7 = 0,79.Первое орудие израсходует два снаряда, если оба орудия припервом выстреле промахнутся, а при втором выстреле первое орудие попадет в цель, или если оно промахнется, а второе орудие привтором выстреле попадет в цель:Р2 = Р(Х = 2) = Р(А^гАг+'А^^гВг)^^= 0,7.0,3.0,3 + 0,7.0,3.0,7.0.7 = 0,21 (0,3 + 0,49) = 0,79.0,21.Аналогично получимP(X=ife) = 0,79.0,21*-i.Искомый закон распределения дискретной случайной величиныX—числа снарядов, израсходованных первым орудием:X123...*р 0,79 0,790,21 0,790,212 .
. . 0,79.0,21*-i . . .К о н т р о л ь : 2 P I =0,79/(1—0,21)=0,79/0,79= 1.Найдем закон распределения дискретной случайной величиныY—числа снарядов, израсходованных вторым орудием.Если первое орудие при первом выстреле попадет в цель, тострельба из второго орудия не будет произведена:p, = P(K = 0) = P H i ) = 0,3.56Второе орудие израсходует лишь один снаряд, если при первомвыстреле оно попадет в цель, или если оно промахнется, а первоеорудие попадет в цель при втором выстреле:P2 = P ( K = l ) = P M i B i + " 3 i B i ^ 2 ) = 0,7.0.7+0.7.0,3.0,3 = 0.553.Вероятность того, что второе орудие израсходует два снаряда,РЗ = Р (>" = 2) = Р (Л1 л;Л"2^2 + ^1^1^2^2^4з).Выполнив выкладки, найдем Рз = 0,553-0,21.Аналогично получимР (У = /?) = 0,553.0,21*-!.Искомый закон распределения дискретной случайной величиныY — числа снарядов, израсходованных вторым орудием:К О12...kр 0,3 0,553 0,5530,21 .
. . 0,553.0,21^-1 . . .К о н т р о л ь : 2 Pi=0»3 +(0,553/1--0,21) = 0 , 3 + (0,553/0,79) == 0,3 + 0 , 7 = 1 .175. Два бомбардировщика поочередно сбрасываютбомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания в цель первым бомбардировщиком равна 0,7, вторым—0,8. Вначале сбрасывает бомбы первый бомбардировщик.
Составить первые четыре члена закона распределения дискретной случайной величины X—числа сброшенных бомб обоими бомбардировщиками (т. е. ограничиться возможными значениями X, равными 1, 2, 3 и 4).176. Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров.Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно,равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.Р е ш е н и е . По условию, л = 1 0 0 000, р = 0,0001, k = 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
