В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найти вероятность того, что это грузовая машина.100. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность33того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятностьравна 0,1. При сверке перфокарт была обнаруженаошибка. Найти вероятность того, что ошиблась перваяперфораторш^ица.
(Предполагается, что оба перфораторабыли исправны.)101. В специализированную больницу поступаютв среднем 50% больных с заболеванием /С, 30%—с заболеванием L, 20%—с заболеванием М. Вероятностьполного излечения болезни К равна 0,7; для болезней Lи М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9.Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдалзаболеванием К.102. Изделие проверяется на стандартность одним издвух товароведов. Вероятность того, что изделие попадетк первому товароведу, равна 0,55, а ко второму—0,45.Вероятность того, что стандартное изделие будет признаностандартным, первым товароведом, равна 0,9, а вторым —0,98. Стандартное изделие при проверке было признаностандартным.
Найти вероятность того, что это изделиепроверил второй товаровед.103. Событие А может появиться при условии появления лишь одного из несовместных событий (гипотез)В^у В^у . . . , В „ , образующих полную группу событий.После появления события А были переоценены вероятности гипотез, т. е. были найдены условные вероятностиРА (^i) О == 1» 2, . . . , п). Доказать, что104. Событие А может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В^, В^,Б,, образующих полную группу событий.
После появления события А были переоценены вероятности гипотез,т. е. были найдены условные вероятности этих гипотез,причем оказалось, что Pj^(B^) = 0,b и P^(^2) = 0,3. Чемуравна условная вероятность PA{BZ) гипотезы В,?105. Имеются три партии деталей по 20 деталейв каждой. Число стандартных деталей в первой, второйи третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Изнаудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь,оказавшаяся стандартной.
Деталь возвращают в партиюи вторично из той же партии наудачу извлекают деталь,34которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.Р е ш е н и е . Обозначим через А событие—в каждом из двухиспытаний (с возвращением) была извлечена стандартная деталь.Можно сделать три предположения (гипотезы): В\—детали извле*кались из первой партии; Вг—детали извлекались из второй партии;^3—детали извлекались из третьей партии.Детали извлекались из наудачу взятой партии, поэтому вероятности гипотез одинаковы:Р ( В 1 ) = Р ( В 2 ) = Р(Вз) = 1/3.Найдем условную вероятность Р^^ (Л), т. е. вероятность того,что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали.
Это событие достоверно, так как в первой партии вседетали стандартны, поэтомуНайдем условную вероятность Рва(^)» т. е. вероятность того,что из второй партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:^Вг (>^) = 15/20.15/20 = 9/16.Найдем условную вероятность Р^, (Л), т. е.
вероятность того,что из третьей партии будут последовательно извлечены (с возвращением) две стандартные детали:Рвг i^) = ^0/20.10/20 = 1/4.Искомая вероятность того, что обе извлеченные стандартныедетали взяты из третьей партии, по формуле Бейеса равнар .я^^А К^з}-рРф^)РВг(А)(^^) .р^^ (^) ^ р (^^j .р^^ (^) _^р (^^) .р^^ ( ^ j - ^^/3-^/^4/29•^1/3-1+ 1/3-9/16+1/31/4""'106. Батарея из трех орудий произвела залп, причемдва снаряда попали в цель. Найти вероятность того, чтопервое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны P i = 0,4, р^ = 0у3, ;7з = 0,5.Р е ш е н и е .
Обозначим через А событие—два орудия попалив цель. Сделаем два предположения (гипотезы): Bi—первое орудиепопало в цель; В2—первое орудие не попало в цель.По условию, P ( ^ i ) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию Bi),Р(В2)== 1—0,4 = 0,6.Найдем условную вероятность PSt (Л), т.
е. вероятность того,что в цель попало два снаряда, причем один из них послан первыморудием и, следовательно, второй—либо вторым орудием (при этомтретье орудие дало промах), либо третьим (при этом второе орудиедало промах). Эти два события несовместны, поэтому применима35теорема сложения:^B,(^) = Pa-^s + Ps-^2 = 0,3.0.5 + 0,5.0,7 = 0,5.Найдем условную вероятность Яд^СЛ), т.
е. вероятность того,что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах.Другими словами, найдем вероятность того, что второе и третье орудия попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:/'в,(^) = Р2Рз = 0,3.0,5 = 0,15.Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание,по формуле Бейеса равнаР(Вг)РвАЛ)Р(Вг)'РвАЛ)+Р(В^)РвАЛ)""= 0,4 0,5/(0,4.0.5+ 0,6.0,15) = 20/29.PA(BI)-107. Три стрелка произвели залп, причем две пулипоразили мишень. Найти вероятность того, что третийстрелок поразил мишень, если вероятности попаданияв мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.108. Два из трех независимо работаюш.их элементоввычислительного устройства отказали.
Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, есливероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.Р е ш е н и е . Обозначим .через А событие—отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы):Bi—отказали первый и второй элементы, а третий элементисправен, причем (поскольку элементы работают независимо» применима теорема умножения)^ (^i) = Pi Рг-^3 = 0.2 0.4.0,7 = 0,056;В2—отказали первый и третий элементы, а второй элементисправен, причемР(В2) = Р1.рз-^2==0,2.0,3 0,б = 0,036;Bs—отказали второй и третий элементы, а первый — исправен,причемР(Вз) = Р2Р8<71 = 0,4.0,3 0,8 = 0,096;^4—отказал только один элемент; В^—отказали все три элемента; Be—ни один из элементов не отказа^.Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как приэтих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности РвА^)* Рв&{^) и Рвб(^) равны нулю,следовательно, равны нулю и произведения Р (B4)-PBi{A), Р{В^)ХXPBS(^)И Р {В^)-РВЛА)[СМ.
ниже соотношение (*)] при любыхзначениях вероятностей гипотез В^, В^ ^ В^.Поскольку при гипотезах Bi, ^2, В., событие А достоверно, тосоответствующие условные вероятности равны единице:РвЛА)^Рвг{А)=^РвЛА) = \.36П о формуле полной вероятности, вероятность того, что отказалидва элемента,Р{А)^Р(Вг)РвАЛ)+ Р(В2)РвЛЛ) + Р(Вэ)'РвЛЛ) ++ Р{В,)РвЛЛ) + Р{Вь)РвАЛ) +Р(В,).РвАА)^= 0,056.1 + 0,036.1 + 0,096.1 = 0,188.(•)По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказалипервый и второй элементы,Р{Вг)РвАЛ)0,056РА (Вг) ==р^з4)== "оЛвв"^^'^•109*. Две из четырех независимо работающих лампприбора отказали. Найти вероятность того, что отказалипервая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственноравны: pi = 0,l, р2 = 0,2у Ps = 0»3 и р^ = 0,4.Глава третьяПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ§ 1 .
Формула БернуллиЕсли производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов другихиспытаний, то такие испытания называют независимыми'^относительно события А. В § 1—4 этой главы рассматриваются независимыеиспытания, в каждом из которых вероятность появления событияодинакова.Формула Бернулли.
Вероятность того, что в п независимыхиспытаниях, в каждом из которых вероятность появления событияравна р(0 < р < I), событие наступит ровно k раз (безразлично,в какой последовательности), равнаилигдеq=\^p.Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, —находят соответственно по формулам:Я„(0) + Р„(1) + ... + Р„(Л~1);Pn(k)+Pnif^+l) + ^.' + Pnin)\P«(0) + P„(l) + . .
. + P „ W .ПО. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех37или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?Р е ш е н и е . Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша qтакже равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрышапостоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.Найдем вероятность того, что две партии из четырех будутвыиграны:р^ (2) = C ! P V = 4.3/(1.2).(1/2)2.(1/2)2 = 6/16.Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии изшести:Ре ( 3 ) = C j / 7 V ==65.4/(1 23).(1/2)3.(1/2)5=5/16.Так как Р^ (2) > Pg (3), то вероятнее выиграть две партии изчетырех, чем три из шести.111.
Два равносильных противника играют в шахматы.Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или двепартии из четырех? б) выиграть не менее двух партийиз четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьиво внимание не принимаются.112. Монету бросают пять раз. Найти вероятностьтого, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менеедвух раз.ИЗ. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одномиспытании равна 0,4;б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события 5 , если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятностьпоявления события А равна 0,8.114.
Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, еслиоткажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятностьбезотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента.Предполагается, что резервные элементы работают втом же режиме, что и основные, вероятность отказакаждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.38115.
В семье пять детей. Найти вероятность того,что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двухмальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двухи не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1.На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найтивероятность того, что две из них окажутся левее точкиС и две—правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезкаи не зависит от его расположения.117.
На отрезок АВ длины а наудачу брошено пятьточек. Найти вероятность того, что две точки будутнаходиться от точки А на расстоянии, меньшем д:, атри — на расстоянии, большем х. Предполагается, чтовероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.118.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
