В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Общее число равновозможных исхо­дов равно 6-6==36 (каждое число очков, выпавших на одной кости,может сочетаться со всеми числами очков, выпавших на другой кости).Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода(в скобках указаны числа выпавших очков); (1; 2) и (2; !)• О|едовательно, искомая вероятность Р (Л)--2/36-^= 1J8.5. Брошены две игральные кости. Найти вероятностиследующих событий: а) сумма выпавших очков равна семи;б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность —четырем; в) сумма выпавших очков равна восьми, еслиизвестно, что их разность равна четырем; г) сумма выпав­ших очков равна пяти, а произведение — четырем.е.

Куб, все грани которого окрашены, распилен натысячу кубиков одинакового размера, которые затем тща­тельно перемешаны. Найти вероятность того, что науда­чу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну;б) две; в) три.7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того,что хотя бы один раз появится «герб».8. В коробке шесть одинаковых, занумерованных ку­биков.

Наудачу по одному извлекают все кубики. Найтивероятность того, что номера извлеченных кубиков по­явятся в возрастающем порядке.9. Найти вероятность того, что при бросании трехигральных костей шестерка выпадет на одной (безраз-лично какой) кости, если на гранях двух других костейвыпадут числа очков, не совпадающие между собой (ине равные шести).Р е ш е н и е . Общее число элементарных исходов испытания рав*но числу сочетаний из шести ачементов по три, т. е. Cj.Число исходов, благоприятствующих появлению шестерки наодной грани и различного чис«та очков (не равного шести) на граняхдвух других костей, равно числу сочеганий из пяти длемен1Х>в подва, т. е. С|.Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствухнцих интересующему нас событию, к общему числу воз­можных алементарных исходов: р:ж:С|/Св=^1/2.10.

В пачке 20 перфокарт, помеченных номерами 101,102, . . . , 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероят­ность того, что извлечены перфокарты с номерами 101и 120.11. В ящике 10 одинаковых деталей, помеченных но­мерами 1. 2» — , 1 0 . Наудачу извлечены шесть дета­лей. Найти вероятность того, что среди извлеченных дета­лей окажутся: а) д<еталь № 1; б) детали № 1 и № 2.Р е ш е н и е , а) Общее число возможных элементарных исходовиспытания равно числу способов, которыми можно извлечь шесгь де­талей из десяти, т.

е. Cfo*Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нассобытию: среди отобранных шести деталей есть деталь № 1 и, сле­довательно, остальные пять деталей имеют другие номера. Числотаких исходов, очевидно, равно числу способов, которыми можноотобрать пять деталей из оставшихся девяти, т.е. Cf.Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благопри­ятствующих рассматриваемому событию, к общему числу возможныхэлементарных исходов:Р^c\/Ci^^Cl/Cto^6f6.б) Число исходов, благоприятствующих интересующему нас со­бытию (среди отобранных деталей есть детали № 1 и № 2, следо->вательно, четыре детали имеют другие номера), равно числу способов,которыми можно извлечь четыре детали из оставшихся восьми, т. е.

С$*Искомая вероятность P » C S / C i o » l / 3 .12. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Най­ти вероятность того, что извлеченные детали окажутсяокрашенными.13. В конверте среди 100 фотокарточек находитсяодна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.1014. В ящике 100 деталей, из них 10 бракованных. На­удачу извлечены четыре детали. Найти вероятность того,что среди извлеченных деталей: а) нет бракованных; б)нет годных.15.

Устройство состоит из пяти элементов, из которыхдва изношены. При включении устройства включаютсяслучайным образом два элемента. Найти вероятность того,что включенными окажутся неизношенные элементы.16. Набирая номер телефона, абонент забыл последниетри цифры и, помня лишь, что эти цифры различны,набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набра­ны нужные цифры.17. В партии из Л^ деталей имеется п стандартных. На­удачу отобраны т деталей. Найти вероятность того, чтосреди отобранных деталей ровно k стандартных.Р е ш е н и е .

Общее число возможных элементарных исходов ис­пытания равно числу способов, которыми можно извлечь т деталейиз Л' деталей, т. е. CJy—числу сочетаний из N элементов по т .Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующемунас событию (среди т деталей ровно k стандартных): Л стандартныхдеталей можно взять из п стандартных деталей С^ способами; приэтом остальные m—k деталей должны быть нестандартными; взятьже т—k нестандартных деталей из ^—п нестандартных деталейможно C^Z^ способами. Следовательно, число благоприятствующихисходов равно C^C'J^z'^^Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благо­приятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:18.

В цехе работают шесть мужчин и четыре жен­щины. По табельным номерам наудачу отобраны семь че­ловек. Найти вероятность того, что среди отобранныхлиц окажутся три женщины.19. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 изних изготовлены Львовским заводом. Найти вероятностьтого, что среди пяти взятых наудачу кинескопов ока­жутся три кинескопа Львовского завода.20.

В группе 12 студентов, среди которых 8 отлич­ников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найтивероятность того, что среди отобранных студентов пятьотличников.21. В коробке пять одинаковых изделий, причем трииз них окрашены. Наудачу извлечены два изделия.Найти вероятность того, что среди двух извлеченныхИизделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) дваокрашенных изделия; в) хотя бы одно окрашенноеизделие.22. В «секретном» замке на общей оси четыре диска,каждый из которых разделен на пять секторов, на ко-^торых написаны различные цифры.

Замок открываетсятолько в том случае, если диски установлены так, чтоцифры на них составляют определенное четырехзначноечисло. Найти вероятность того, что при произвольнойустановке дисков замок будет открыт.23. Отдел технического контроля обнаружил пятьбракованных книг в партии из случайно отобранных 100книг. Найти относительную частоту появления брако­ванных книг.Р е ш е н и е . Относительная частота события А (появление бра­кованных книг) равна отношению числа испытаний, в которых по51вилось событие Л» к общему числу произведенных испытаний:Г(у«)=:5/100=0,05.24. По цели произведено 20 выстрелов, причем заре­гистрировано 18 попаданий. Найти относительную час­тоту попаданий в цель.25. При испытании партии приборов относительнаячастота годных приборов оказалась равной 0,9.

Найтичисло годных приборов, если всего было проверено 200приборов.§ 2. Г«омвтрич«€КИО е^роятиостиПусть отрезок / составляет часть отрезка L. На отрезок L на«удачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попа*Дания точки на отрезок /• пропорциональна длине этого отрезка ине зависит от его расположения относительно отрезка L, то веро­ятность попадания точки на отрезок / определяется равенствомР = Длина //Длина L.Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры О.На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что ве­роятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональнаплощади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относи­тельно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки, в фигуру gопределяется равенствомР = Площадь ^/Площадь G.Аналогично определяется вероятность попадания точки в про­странственную фигуру V, которая составляет часть фигуры V:Р=^ Объем f/Объсм V.1226.

На отрезке L длины 20 см помещен меньший от­резок / длины 10 см. Найти вероятность того, что точка,наудачу поставленная на больший отрезок, попадеттакже и на меньший отрезок. Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональнадлине отрезка и не зависит от его расположения.27. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачупоставлена точка В{х). Найти вероятность того, чтоменьший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую,чем L/3. Предполагается, что вероятность попаданияточки на отрезок пропорциональна длине отрезка и независит от его расположения на числовой оси.28. В круг радиуса R помещ,ен меньший круградиуса г.

Найти вероятность того, что точка, наудачуброшенная в большой круг, попадет также и в малыйкруг. Предполагается, что'вероятность попадания точкив круг пропорциональна площади круга и не зависитот его расположения.29. Плоскость разграфлена параллельными прямыми,находящимися друг от друга на расстоянии 2а. Наплоскость наудачу брошена монета радиуса г <^а.

Найтивероятность того, что монета не пересечет ни одной изпрямых.30. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов состороной а наудачу брошена монета радиуса г < а / 2 .Найти вероятность того, что монета не пересечет ни однойиз сторон квадрата. Предполагается» что вероятность по­падания точки в плоскую фигуру пропорциональна пло­щади фигуры и не зависит от ее расположения.31. На плоскость, разграфленную параллельными пря­мыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, на­удачу брошен круг радиуса I см. Найти вероятностьтого, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предпо­лагается, что вероятность попадания точки на отрезокпропорциональна длине отрезка и не зависит от егорасположения.32. На плоскости начерчены две концентрическиеокружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно.Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачув большой круг, попадет также и в кольцо, образованноепостроенными окружностями.

Предполагается, что веро­ятность попадания точки в плоскую фигуру пропорцио­нальна площади этой фигуры и не зависит от ее распо­ложения.1333. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка.Найти вероятность того, что точка окажется внутри впи­санного в круг: а) квадрата; б) правильного Tpeyrowibника. Предполагается, что вероятность попадания точкив часть круга пропорциональна площади этой части ине зависит от ее расположения относительно круга.34. Быстро вращающийся диск разделен на четноечисло равных секторов, попеременно окрашенных в белыйи черный, цвет. По диску произведен выстрел.

Характеристики

Список файлов книги