В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Теоремы сложения и умножения вероятностейТеорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий^ безразличкакого, равна сумме вероятностей этих событий:Р{А +В)^Р(А)+Р(В).С л е д с т в и е . Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме верятностей этих событий:P(Ax+At+...18+ An)^P{A{i+P(A^+...+P{An).Теорема сложення верояттктеИ совместных событий. Вероят"ность появления хотя бы одного из двух совместных событий равнасумме вероятностей этих событий без вероятности их совместноепоявления:Р (А\-В)^^Р (А) + Р ( В ) ~ Р (АВ).Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий.
Например, для трех совместных событийР (Ah В + С)^Р {А)+Р (В) ++ Р(С) — Р (АВ)—Р (АСу—Р (ВС) + Р (ABC).Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного по^явления двух событий равна произведению вероятности одного U9них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении^что первое событие уже наступило:Р{АВ)==Р(А)РА{В).в частности, для независимых событийР(АВ)^Р(А)'Р(В),т. е. вероятность совместного появления двух независимых событийравна произведению вероятностей этих событий.С л е д с т в и е . Вероятность. совместного появления несколькихсобытий равна произведению вероятности одного из них на условныевероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предложении, что все предыдущие собы*тия уже наступили:PiAiAtAs...Ап) = Р iAi)PAt(A2)PA,AM8)•••РАгАш...А„^г(ЛпЬгде Р А\А%.,.
Лп-1 ^^п)—вероятность события Апу вычисленная в предположении, что события Л|, Ла, .••» An-^i наступили.В частности, вероятность совместного появления несколькихсобытий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:Р(А,Аг . . . Ап)^Р(Аг)Р(А2). . . Я (Л;,).46. На стеллаже библиотйки в случайном порядкерасставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете.
Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найтивероятность того, что хотя бы один из взятых учебниковокажется в переплете (событие А).Р е ш е н и е . Первый с п о с о б . Требование—хотя бы одиниз трех взятых учебников в переплете—будет осуществлено, еслипроизойдет любое из следующих трех несовместных событий: В—одинучебник в переплете, С—'Два учебника в переплете, D—три учеб*вика в переплете.Интересующее нас событие А можно представить в виде суммысобытий: i4 = B + C + D. По теореме сложения,Р (А)^Р (В)^Р (С)+Я (D).(•)19Найдем вероятности событий В, С н D (см. решение задачи 17.гл.
I. § 1):Р (В)=d•Cfo./CJs = 45/91, Р ( С ) « С | CWch --= 20/91,P ( 0 ) = C|/Cl5 = 2/9bПодставив эти вероятности в равенство (*), окончательно поЛ V*4HMР (Л) = 45/91 Ч-20/91 +2/91 ==67/91.В т о р о й с п о с о б . События А (хотя бы один из взятых трехучебников имеет переплет) и А (ни один из взятых учебников неимеет переплета) — противоположные,поэтому Р (А) Ч- Р (А) - - I(сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице).Отсюда Р (Л) « 1 —Р (Л)._Вероятность появления события А (ни один из взятых учебниковне имеет переплета)Р(Л)=:С!о/С?5=«24/91.Искомая вероятность^Р [А) = 1--.Р (Л) = 1—24/91 =67/91.47.
В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены.(!^орщик наудачу взял три детали. Найти вероятностьтого, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.48. Доказать, что если событие А влечет за собойсобытие В, тоР{В)^Р(А).Р е ш е н и е . Событие В можно представить в виде суммы несовместных событий А w АВ:В^А^г^В.По теореме сложения вероятностей несовместных событий получимp ( B ) « p ( л + лa)=P(Л)-^P(Лi5).Так как Р(АВ)^0, то Р(5):^Р(Л).49. Вероятности появления каждого из двух независимых событий Ai и Л2 соответственно равны р, и р,.Найти вероятность появления только одного из этихсобытий.Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: Bf—появилось толькособытие Ai; В%—появилось только событие А%._Появление события Bi равносильно появлению события AiAz(появилось первое событие и не появилось второе), т. е.
Вг^^ АхА^,Появление события В^ равносильно появлению события А^А^ (появилось второе событие и не появилось первое), т. е. В%^=^А^А2:Таким образом» чтобы найти вероятность появления толькоодного из событий Ах и А%^ достаточно найти вероятность появленияодного, безразлично какого, из событий Вх и В%. События Bi н В%20несовместны, поэтому применима теорема сложения:Остается найти вероятности каждого из событий Bf и Bt- СобытияAi и А^ независимы, следовательно, независимы события At и Hi,а также Аг и Лз» поэтому применима теорема умножения:Р (Вг) = Я ( Л г J a ) - РШ-АШ^РгЯ^,Р Ф2)^Р (АгАг)^Р (Л,).Р (Аг)^Я1Р%^Подставив эти вероятности в соотношение (4>), найдем искомуювероятность появления только одного из событий Ах и Л^:P ( S i + ^2) = PWa + <7iP,.50. Для сигнализации об аварии установлены дванезависимо работающих сигнализатора.
Вероятность того,что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 дляпервого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только одинсигнализатор.51. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятностьпопадания в мишень при одном выстреле для первогострелка равна 0,7, а для второго—0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадаеттолько один из стрелков.62. Вероятность одного попадания в цель при одномзалпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятностьпоражения цели при одном выстреле первым из орудий,если известно, что для второго орудия эта вероятностьравна 0,8.53.
Отдел технического контроля проверяет изделияна стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из двухпроверенных изделий только одно стандартное.54. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка,превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведенытри независимых измерения.
Найти вероятность того,что только в одном из них допущенная ошибка превыситзаданную точность.55. Из партии изделий товаровед отбирает изделиявысшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятоеизделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий толькодва изделия высшего сорта.2156. Устройство состоит из трех элемеято», работающихнезависимо. Вероятности безотказной работы (за время t)первого, второго и третьего элементов соответственноравны 0,6; 0,7; 0,8.
Найти вероятности того, что завремя t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.57. Вероятности того, что нужная сборщику детальнаходится в первом, втором, третьем, четвертом ящике,соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8; 0,9.
Найти вероятности того« что деталь содержится: а) не более чем в трехящиках; б) не менее чем в двух ящиках.58. Брошены три игральные кости. Найти вероятностиследующих событий: а) на каждой из выпавших гранейпоявится пять очков; б) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.59.
Брошены три игральные кости. Найти вероятностиследующих событий: д) на двух выпавших гранях появится одно очко, а на третьей грани—другое число очков;б) на двух выпавших гранях появится одинаковое числоочков, а на третьей грани—другое число очков; в) навсех выпавших гранях появится разное число очков.во. Сколько надо бросить игральных костей, чтобыс вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, чтони на одной из выпавших граней не появится шестьочков?Р е ш е н и е .
Введем обозначения событий: А—нн на одной извыпавших граней не появится 6 очков; Ai—на выпавшей грани /-йкости ( / = 1 , 2 » . . . , /|) не появится 6 очков.Интересующее нас событие А состоит в совмещении событийВероятность того, что на любой выпавшей грани появится числоочков, не равное шести, равна Р(Л|*) = 5/6.События Ai независивш в совокупности, поэтому примениматеорема умножения:Р(АУ^Р(АгА^ ... A„)==P(At)P(At). . . Р М„) = (б/в)»».По условию, (5/6)« < 0,3. Следовательно, п log (5/6) < log 0,3.Отсюда, учитывая, что log (5/6) < О, найдем: п > 6,6.
Таким образом,искомое число игральных костей п ^ 7 .61. Вероятность попадания в мишень стрелком приодном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов долженпроизвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4,можно было ожидать, что не будет ни одаого промаха?62. В круг радиуса R вписан правильный треугольник.Внутрь круга наудачу брошены четыре точки. Найти22вероятности следующих событий: а) все четыре точкипопадут внутрь треугольника; б) одна точка попадетвнутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый» сегмент. Предполагается, что вероятностьпопадания точки в фигуру пропорциональна площадифигуры и не зависит от ее расположения.63.
Отрезок разделен на три равные части. На этототрезок наудачу брошены три точки. Найти вероятностьтого, что на каждую из трех частей отрезка попадаетпо одной точке. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезкаи не зависит от его расположения.64. В читальном зале имеется шесть учебников потеории вероятностей, из которых три в переплете.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
