В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Вероятность появления события в каждом из10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такоеположительное число е, чтобы с вероятностью 0,98 аб45солютная величина отклонения относительной частотыпоявления события от его вероятности 0,75 не превысила е.142,. Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что детальстандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число т стандартныхдеталей среди проверенных.Р е ш е н и е .
По условию, п = 900, р=0,9, ^ = 0,1. Следовательно,2Ф(гУ 900/(0,90,1)) = 0,95, или Ф(100е) =0,475.По таблице приложения 2 найдем Ф( 1,96) = 0,475, значит100е= 1,96. Отсюда е « 0,02.Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительнойчастоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяетнеравенствуI т/900—0,91^0,02, или 0,88 < т/900 < 0,92.Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах:792<т<828.143. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак.
Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы,в которых будет заключено число т бракованных изделий среди проверенных.144. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число твыпадений шестерки.§ 4. Наивероятнейшее число появлений событияв независимых испытанияхЧисло ^0 (наступления события в независимых испытаниях,в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим^ если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k^ раз, превышает (или, по крайней мере, неменьше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.Наивероятнейшее число k^ определяют из двойного неравенстваnp--q<ko < пр + р,причем:а) если число пр—д—дробное, то существует одно наивероятнейшее число k^;б) если число пр—д—целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: ATQ и ^o+Uв) если число пр—целое, то наивероятнейшее число k^^^np.145.
Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит46испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее числоэлементов, которые выдержат испытание.Р е ш е н и е . По условию, п = 15,р=0,9, (7=0,1. Найдем наивероятнейшее число ко из двойного неравенстваnp^q<ko< пр + р.Подставив данные задачи, получим150,9—0,l<*o < 15-0,9+0,9, или 13,5<*о< IM.Так как ^о—целое число и поскольку между числами 13,4 и14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число ко ==14.146.
Отдел технического контроля проверяет партиюиз 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна,равна 0,75. Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.147. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признангодным к продаже, равна 0,6.
Найти наивероятнейшеечисло образцов, которые товаровед признает годнымик продаже.Р е ш е н и е . Пр условию, п=:24;р==:0,6; ^=0,4. Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойногонеравенства пр—д<^ко < пр'\'р. Подставляя данные задачи, получим24-0,6—0,4<Ао < 24-0,6+0,6, или Н<ко< 15.Так как пр—j&=14—целое число, то наивероятнейших чиселдва: ко==14 и Ао+1 = 15.148. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, есливероятность того, что перфокарта набита неверно,равна 0,1.149.
Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей длялюбого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.Р е ш е н и е . Известно, что если произведение числа испытаний пна вероятность р появления события в одном испытании есть целоечисло, то наивероятнейшее числоВ рассматриваемой задаче число испытаний п равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероят*ности выигрыша в одной партии, т. е. р^1/2 (по условию противНИКИ равносильны).Поскольку произведение пр^2ЫЛ12^Ы—целое число, то искомое наивероятнейшее число ко выигранных партий равно N.47150. Два стрелка стреляют по мишени.
Вероятностьпромаха при одном выстреле для первого стрелка равна0,2, а для второго—0,4. Найти наивероятнейшее числозалпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 з|1лпов.Р е ш е н и е . Промахи стрелков есть независимые события, поэтому применима теорема умножения вероятностей независимых событий.
Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся,р = 0,2.0,4=0,08.Поскольку произведение лр = 25.0,08 = 2—целое число, то наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания,Аго = лр = 2.151. Два стрелка одновременно стреляют по мишени.Вероятность попадания в мишень при одном выстреледля первого стрелка равна 0,8, а для второго—0,6. Найтинаивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелкапопадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.152.
Сколько надо произвести независимых испытанийс вероятностью появления события в каждом испытании,равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?Р е ш е н и е . По условию, )^0 = 25; р==0,4; q^Ofi.зуемся двойным неравенствомВоспольnp—q<k^ < лр + р.Подставляя данные задачи, получим систему неравенств дляопределения неизвестного числа:0,4л—0,6 < 25, 0,4/1 + 0,4 > 25.Из первого неравенства системы найдем / t < 25,6/0,4 == 64.Из второго неравенства системы имеем п > 24,6/0,4 = 61,5.Итак, искомое число испытаний должно удовлетворять двойному неравенству 6 2 < n < 6 4 .153.
Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний п, при котором наивероятнейшее число появленийсобытия в этих испытаниях будет равно 30.154. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний /I, при котором наивероятнейшее число появленийсобытия равно 20.155.
Чему равна вероятность р наступления событияв каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытанияхравно 30?48Р е ш е н и е . По условию, л = 49, ^о==30. Воспользуемся двойным неравенством пр—д<к^ < пр-\-р. Подставляя данные задачи,получим систему неравенств для определения неизвестной вероятности р:49р + р > 30, 49р—(1 —р) < 30.Из первого неравенства системы найдем р > 0,6. Из второго неравенства системы найдем р < 0 , 6 2 .Итак, искомая вероятность должна удовлетворять двойному неравенству 0,6 < р < 0,62.156.
Чему равна вероятность р наступления событияв каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытанияхравно 25?157. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту.Вероятность попадания в объект при одном выстрелеравна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий;б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) вероятность того, что объект будет разрушен, если дляэтого достаточно хотя бы двух попаданий.Р е ш е н и е . По условию, л = 6; р = 0,3; ^ = 0,7. а) Найдемнаивероятнейшее число попаданий по формулел р — ^ < ^ o < пр + р.Подставив данные задачи, получим6.0,3—0,7<Ло < 6.0,3 + 0,3 или 1 . К * о < 2,ЬОтсюда ко = 2.б) Найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий поформуле БернуллиP e ( 2 ) - C 5 p V = ^ 0 . 3 a .
0 , 7 * = 0,324.в) Найдем вероятность того, что объект будет разрушен. Поусловию, для этого достаточно, чтобы было или 2, или 3, или 4, или5, или 6 попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятностьразрушения объекта равна сумме вероятностей этих событий:Р = Рв(2) + Яа(3) + Яв(4) + Рв(5) + Рв(6).Однако проще сначала найти вероятность Q противоположного события (ни одного попадания или одно попадание):Q = Pe(0) + Pe(l) = (7e + Cip^* = 0,7e + 6.0,3.0,7^=0.42.Искомая вероятность того, что объект будет разрушен,Р = 1—(2 = 1—0,42 = 0,58.158.
Прибор СОСТОИТ из пяти независимо работающихэлементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее49число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказалихотя бы четыре элемента.§ 5. Производящая функцияВ предыдущих параграфах этой главы рассматривались испытания с о д и н а к о в ы м и вероятностями появления события; рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события р а з личны.Пусть производится п независимых испытаний, причем в первомиспытании вероятность появления события А равна pi, во втором —Ptt ...» в п-м испытании—р„; вероятности непоявления события Асоответственно равны fli, (/2» --м^л; Ря (*)~вероятность появлениясобытия А ъ п испытаниях ровно к раз.Производящей функцией вероятностей Рп {к) называют функопределяемую равенством4>п (2) = (Piz + qi) {pzz + <72)..
ЛРпг + qnhВероятность Pn(k) того, что в л независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна Pi, во втором раИ т. д., событие А появится ровно k раз, равна коэффициентупри г^ в разложении производящей функции по степеням г. Например, если п=^2, тоФ2 (г) = (piZ + qi) {ргг + ^2) == PiP^z^ + (Pi<72 + Р^Ях) г + gi<7«.Здесь коэффициент рхРг при г' равен вероятности Р% (2) того,что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент Pi<72+P2^i при z^ равен вероятности Р%{\) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при 2^, т. е.
свободныйчлен q\q^ равен вероятности Р% (0) того, что событие А не появитсяни одного раза.Заметим, что если в различных испытаниях появляются р а з л и ч н ы е события (в первом испытании событие Лх» во втором —событие At и т. д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z. Например, в приведенном выше разложении коэффициент р\р% определяет вероятность появления двухсобытий Ах и i4a.159. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время t) соответственно равны: pi=:0,7; р, = 0,8;р, = 0,9.
Найти вероятности того, что за время i будутработать безотказно: а) все элементы; б) два элемента;в) один элемент; г) ни один из элементов.Р е ш е н и е . Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: p i = 0 , 7 ; Pi==0,8; P8==0f9» поэтому вероятноститого, что элементы откажут, <7i=0»3; ^2 ==0,2; 1/3=0,1.50Окггавим производящую функцию:Ч>8 (г) = (Р£г + Яг) (Р%г + q^) {р^г + q^) =»=:(0,7г+0,3) (0,82+0,2) (0,9г+0,1)=«= 0,504z»+0,3982» + 0,092z + 0,006.а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно,равна коэффициенту при z»: Рз(3) = 0,504.б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z*: Ps (2) = 0,398.в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно,равна коэффициенту при г^: Рз(1) =0,092.г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работатьбезотказно, равна свободному члену: РзСО) =0,006.К о н т р о л ь : 0,504 + 0 , 3 9 8 + 0 , 0 9 2 + 0 , 0 0 6 = 1 .160.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
