В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 11
Текст из файла (страница 11)
События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число п велико, а вероятность р мала, поэтому воспользуемся распределением ПуассонаЯ„(Л)=Я*е-^Л.Найдем л:Я, = п р = 100 000 0,0001 = 10.Искомая вероятностьЯюоооо (5) = 10».е-10/5 =10».0,000045/120 = 0.0375177. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказалюбого элемента в течение времени Т равна 0,002.
Найтивероятность того, что за время Т откажут ровно триэлемента.Указание.Принять е-^ = 0,13534.57178. Станок-автомат штампует детали. Вероятностьтого, что изготовленная деталь окажется бракованной,равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно четыре бракованных.179. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найтивероятности того, что в пути будет повреждено изделий:а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя быодно.Р е ш е н и е . Число « = 5 0 0 велико, вероятность р=0,002 малаи рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому имеет место формула Пуассонаа) Найдем X:Х^пр = 5 0 0 0,002 = 1.Найдем вероятность того, что будет повреждено ровно 3 (k = 3)изделия:Pj^^Q (3) = е - V 3 ! =0,36788/6 = 0,0613.б) Найдем вероятность того, ято будет повреждено менее трехизделий:P6oo(0) + P5oo(0 + /'50o(2) = e - i + e ' - i + ^ - V 2 «= (5/2)^-1 = (5/2).
0,36788 = 0,9197.в) Найдем вероятность Р того, что будет повреждено более трехизделий. События «повреждено более трех изделий» и «поврежденоне более трех изделий» (обозначим вероятность этого события через Q) — противоположны, поэтому Р 4*4 = 1. ОтсюдаP = l ^ Q = l-«[P,^o(0) + P60o(I) + ^60o(2)+P5oo(3)].Используя результаты, полученные выше, имеемР = 1 — [0,9197 + 0,0613] =0,019,г) Найдем вероятность Pf того, что будет повреждено хотя быодно изделие.
События «повреждено хотя бы одно изделие» и«ни одно из изделий не повреждено» (обозначим вероятность этх>гособытия через Qi)—противоположные, следовательно, Pi + Qi = l.Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя быодно изделие, равнаPi = l_(3i==l^P5oo(0) = l—6-1=1—0,36788=0,632.180. Магазин получил 1000 бутылок минеральнойводы.
Вероятность. того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того,что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две;б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.Указание.58Принять е-"^ = 0,04979.181. а) Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой)вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найтисреднее число отказавших за время Т элементов, есливероятность того, что за это время откажет хотя быодин элемент, равна 0,98.Р е ш е н и е . Из условия задачи следует (поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказакаждого элемента мала), что число отказов распределено по законуПуассона, причем требуется найти параметр А, (среднее число отказов).Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по условию равна 0,98, следовательно (см.
задачу 179, п. г), 1 — е~^ = 0,98.Отсюдае-^== 1—0,98=0,02.По таблице функции е"* находим Х = 3 , 9 . Итак, за время Т работыустройства откажет примерно четыре элемента.б) Найти среднее число X бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя быодно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что числобракованных изделий в рассматриваемой партии распределено позакону Пуассона.Указание.Принять е*^ =0,05.182. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события в независимых испытаниях, вычисленныхпо закону Пуассона, равна единице. Предполагается, чтоиспытания производятся бесчисленное количество раз.Решение.В силу закона ПуассонаP„(^fe)=X*e""V^!.Используем разложение функции е^ в ряд Маклорена:e^ = l + ; t / n + ; c V 2 ! + .
Известно, что этот ряд сходится при любом значении х, поэтому,положив ;с==Я, получимOPНайдем искомую сумму вероятностей 2 Рп (^)» учитывая, что е"не зависит от ^ и, следовательно, может быть вынесено за знаксуммы:59З а м е ч а н и е . Утверждение задачи следует немедленно изтого, что сумма вероятностей событий^ образующих полную группу,равна единице. Приведенное доказательство преследует учебные цели.183.
Вероятность выигрыша по одному лотерейномубилету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобывыиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р,не меньшей, чем 0,95?Р е ш е н и е . Вероятность выигрыша мала, а число билетов»которое нужно купить, очевидно, велико, поэтому случайное числовыигрышных билетов имеет приближенно распределение Пуассона.Ясно, что события «ни один из купленных билетов не являетсявыигрышным» и «хотя бы один билет—выигрышный» — противоположные. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:Рп(0) + Р=^и или Р = 1 ~ Р „ ( 0 ) .(•)А.Положив А5=0 в формуле Пуассона Pn{k) = K^e Jk\, получимЯп(0) = е - \Следовательно, соотношение («) примет видР = 1 —е~\По условию, Р : > 0 , 9 5 , или 1—е"^^0,95.
Отсюдае'^<0,05.(••)По таблице функции е""* находим е " ' = 0 , 0 5 . Учитывая, чтофункция е"-^—убывающая, заключаем, что неравенство («•) выполняется при Х ^ З , или при пр^З.Следовательно,п^3/р=^= 3/0,01 =300. Итак, надо купить не менее 300 билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них.§ 2. Простейший поток событийПотоком событий называют последовательность событий, которыенаступают в случайные моменты времени.Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, которыйобладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью.Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени зависит только отчисла А; и от длительности / промежутка времени и не зависитот начала его отсчета.
Другими словами, вероятность появления kсобытий за промежуток времени длительностью t есть функция, зависящая только от А; и t.Свойство €отсутствия последейстзия!^ состоит в том, что вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависитот того, появлялись или не появлялись события в моменты времени,предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другимисловами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.Свойство ординарности состоит в том, что появление двух илиболее событий за малый промежуток времени практически невоз60можно.
Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.Интенсивностью потока X называют среднее число событий,которые появляются в единицу времени.Если постоянная интенсивность потока % известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время / определяется формулой ПуассонаЗ а м е ч а н и е . Поток, обладающий свойством стационарности,называют стационарным-, в противном случае—нестационарным.184. Показать, что формулу Пуассона, определяющуювероятность появления k событий за время длительностью tможно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать,что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.Р е ш е н и е .
Из формулы (*) видно, что вероятность появленияk событий за время длительностью /, при заданной интенсивности А.,является функцией только k и t, что отражает свойстзо стационарности простейшего потока.Формула (*) не использует информации о появлении событийдо начала рассматриваемого промежутка времени, что отражаетсвойство отсутствия последействия.Покажем, что рассматриваемая формула отражает свойство ординарности. Положив ^ = 0 и k=l,найдем вероятность непоявления событий и вероятность появления одного события:p^(0) = e"^^ Р ^ ( 1 ) = Х / е - ЧСледовательно, вероятность появления более одного событияР^(Л>1) = 1--[Р^(0)+РИ1)] = 1 ~ [ е - ^ Ч Я / е " - ^ ' 1 .Используя разложение функции е"^^ в ряд Маклорена, после элементарных преобразований получимPt(k>1) = ( X 0 V 2 + .
. . .Сравнивая Pt(l) и Pi(k> 1), заключаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимомала по сравнению с вероятностью наступления одного события,что отражает свойство ординарности.Итак, формула Пуассона отражает все три свойства простейшегопотока, поэтому ее можно рассматривать как математическую модельэтого потока.61185. Среднее число заказов такси, поступающих надиспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найтивероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыревызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырехвызовов.Р е ш е н и е . По условию, Х = 3 , / = 2, Л = 4. Воспользуемсяформулой Пуассонаа) Искомая вероятность того, что за две 2 мин поступит четыревызоваР ш g'-e^' 1296р0,0025 = 0,135./^2(4)=—jy—=б) Событие «поступило менее четырех вызовов» произойдет, еслинаступит одно из следующих несовместных событий: 1) поступилотри вызова; 2) поступило два вызова; 3) поступил один вызов;4) не поступило ни одного вызова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
