В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Отдел технического контроля проверяет изделияна стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. В каждой партии содержится пятьизделий. Найти математическое ожидание дискретнойслучайной величины X — числа партий, в каждой изкоторых окажется ровно четыре стандартных изделия,—если проверке подлежит 50 партий.201.
Доказать: 1) M{Y) = aM{X) + b, если V = aX+b;п2) M{Y)=^atM{Xt)п+ b, если К=2(а/Х/) + 6.202. События i4i, Л^, . . . , Л„ несовместны и образуютполную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны /?!, /7j, . . . , рп- Если в итоге испытанияпоявляется событие Л/ (i = 1, 2, .
. . , п), то дискретнаяслучайная величина X принимает возможное значение х^,равное вероятности pi появления события Л/. Доказать,что математическое ожидание случайной величины X имеетнаименьшее значение, если вероятности всех событийодинаковы.Р е ш е н и е . Возможные значения величины X по условиюравны вероятности р/ событий Л,-; вероятность возможного значения Pi, очевидно, также равна р/. Таким образом, X имеет следующее распределение:X Pi Pt *•• PttР Pi Pa •** PnНайдем математическое ожидание X:67Рассматриваемые события образуют полную группу, поэтому P i + P s +Из дифференциального исчисления известно, что если сумманезависимых переменных постоянна, то сумма квадратов этих переменных имеет наименьшее значение в случае равенства переменных.Применительно к рассматриваемой задаче это означает: сумма (*),т.
е. математическое ожидание М (X), имеет наименьшее значение,если вероятности всех событий, образукицих полную группу, равнымежду собой, что и требовалось доказать.203. Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим ее возможными значениями.Р е ш е н и е . Пусть X—дискретнаяная законом распределения:XХ\случайная величина, заданх% • . • XfiР PiPf'PnОбозначим наименьшее и наибольшее возможные значения X соответственно через т н М.
ТогдаМ {X)^XiPi+x^p2+.. .+XnPn<Mpi+ Mp2+ ... +Mp„ =Итак,М{ХХМ.С)Аналогично легко вывести, чтоМ(Х)^т.(•*)Объединяя (*) и (•*), окончательно получимпКМ(ХХМ.204. Дискретная случайная величина X принимает kположительных значений jc^, х,, ...^Xf^c вероятностями,равными соответственно Pi, р^, . • . , р/^. Предполагая, чтовозможные значения записаны в' возрастающем порядке,доказать, чтоР е ш е н и е .
Принимая во внимание, что68получим....''М(?.)"'1;+-+(^'Г-^+-1= Umг. ita (•£•')"'+...+2i^ ita= ^л'Pkn^io\XkJPkn-*co\Xk)(!^Y"+iPk n-*-> \ Xk JP * П - » \ Jf* У''Так как по условию возможные значения X записаны в возрас*тающем порядке, т. е. лг/< Xk («' = 1, 2, ...,Аг—1), тоIta f ^ y * ' = 0и lira ( ^ V = 0 .Следовательно,n^i'^ Л1(х-) --^*205. Доказать, что если случайные величины Xi, X,,. . . , Х„ независимы, положительны и одинаково распределены, то^ 1Хг + Х2 + \..+Хп\ """ЯГ •Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение случайные величины^^ = Х^^Хг^\..Л-Хп'^^^Хг + ХгЛ-'..+Xn*'»='Xi + ^2+ • • • + ХпЗаметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю,поскольку величины X/ (/ = 1, 2, .
. , , п) положительны.По условию, величины X/ одинаково распределены, поэтому ивеличины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеютодинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:М (Гх) = М (К.) = . . .
= Л! (YnY(••)Легко видеть, что У 1 + ^ « + • • • + ^ i i = l . следовательно.Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтомуМ (КО+М (К,) + . . . +М (Yn)^\.В силу (••) имеем пМ (}'I)=B1. Отсюда М (Кх) = 1/п.Учитывая (*), окончательно получим^1М Xx^Xt+...+Xn\J п6920в. Доказать, что если случайные величины Х^, Х,,Х^, Х^, Х^ независимы, 'положительны и одинаково распределены, то^^ L Хг + Хг + Xs + X^ + X^ J 5 •У к а з а н и е . Представить дробь» стоящую под знаком математического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоватьсярешением задачи 205.207. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:XО12 ...k ...реJJ21 ••• Л! •••Р е ш е н и е . П о определению математического ожидания д л яслучая, когда, число возможных значений X есть счетное множество.Учитывая, что при ^ = 0 первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения k единицу:Положив k—l=m,получимПринимая во внимание, что \ \ тТ^^^^' окончательно имеемmsOИтак,Af (Х)=Х.е-^.е^=Л.Af (Х)==Х,т.
е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения К.208. Случайные величины X и V независимы. Найтидисперсию случайной величины Z = 3X + 2V, если известно, что D(X) = 5, D{Y) = 6.Р е ш е н и е . Так как величины X н Y независимы, то независимы также и величины ЗХ и 2К. Используя свойства дисперсии(дисперсия суммы независимых случайных величин равна суммедисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знакдисперсии, возведя его в квадрат), получимD (Z) = D (ЗХ+2У) = D (3X)+D (2K)=9D (X) + 4D(K)r=9.5+4.6=69.70209. Случайные величины X и У независимы.
Найтидисперсию случайной величины Z = 2 X + 3 K , если известно, что D(X) = 4, D(K) = 5.210. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданнойзаконом распределения:X —5234р0,40,3 0,10,2Р е ш е н и е . Дисперсию можно вычислить исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулойкоторая быстрее ведет к цели*Найдем математическое ожидание X:Л1(Х) = —5.0.4 + 2 0 . 3 + 3.0.14-4.0.2 = ~.0,3.Напишем закон распределения Х^:Х«254916р0,4 0,30.10,2Найдем математическое ожидание Х^:Л1(Х2)=25.0.4 + 4.0,3 + 9.0,1 + 1б.0,2=15,3,Найдем искомую дисперсию:D(X) = Af(A:2) — [M(X)l2 = 15,3—(—0,3)* ==15,21.Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:а (X) == I/'DTX) = У^15Ж=3,9.211.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданнойзаконом распределения:а) X 4,3 5,1 10,6. б) X131140160 180.р 0,2 0,30,5'р0,050,10 0,25 0,60212. Дискретная случайная величина X имеет толькодва возможных значения х^ и Xj, причем равновероятных.
Доказать, что дисперсия величины X равна квадрату пол у разности возможных значений:Р е ш е н и е . Найдем математическое ожидание X, учитывая,что вероятности возможных значений Xi и Х2 равны между собой и,следовательно, каждая из них равна V2:М (X) = лгх. (1 /2) + ^2 • (1 /2) = {XI + х,)/2.Найдем математическое ожидание X*:M(X^)^xl(l/2)+ xl{\/2)^{xl+ xl}/2.71Найдем дисперсию X:213. Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий Ав каждом испытании равна 0,2.Р е ш е н и е . Дисперсия числа появлений события в независимыхиспытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:D(X)=^npq.По условию, л = 5; р = 0 , 2 ; <7 = 1—0,2 = 0,8.Искомая дисперсияD (Х) = прдг = 5.0,2.0,8 = 0,8.214.
Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа отказов элемента некоторого устройства вдесяти независимых опытах, если вероятность отказаэлемента в каждом опыте равна 0,9.215э Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события вэтих испытаниях одинаковы и известно, что Л1(Х) = 1,2.Р е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б . Возможные значения величины X таковы: Xi = 0 (событие не появилось), д:2 = 1 (событие появилось один раз) и дсз = 2 (событие появилось два раза)..Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:Я,(0) = (7*; P2(l) = Clpq^2pq;Ра(2) = р2.Напишем закон распределения X:возможные значения О12вероятностид^ 2pqр^Найдем М (X):M(X)^2pq+2p^^2p{q+p)^2p.В силу условия Л1(Х)==1,2, т.
е. 2 р = 1,2. Отсюда р = 0,6 и, следовательно, 7==1—0,6 = 0,4.Искомая дисперсияЩХ) = лр^ = 2 0 , 6 . 0 , 4 = 0,48.Второй способ.Воспользуемся формулой М (X) = пр.По условию, Л1(Х) = 1,2; л = 2. Следовательно, 1,2 = 2р. Отсюдар = 0,6 и, значит, <7 = 0»4.Найдем искомую дисперсию:D(X) = /ip^ = 2.0,6.0,4 = 0,48.Разумеется, второй способ быстрее ведет к цели.7221в.
Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события вэтих испытаниях одинаковы и известно, что Л4(Х)=0,9.217. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждомиспытании. Найти вероятность появления события Л, еслидисперсия числа появлений события в трех независимыхиспытаниях^ равна 0,63.218. Дискретная случайная величина X имеет толькодва возможных значения: х^ и х^, причем х^ > х^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
