В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вероятность того, что X примет значение Xi, равна 0,6.Найти закон распределения величины X, если математическое ожидание и дисперсия известны: Л1(Х)=1,4;D(X) = 0,24.Р е ш е н и е . Сумма вероятностей всех возможных значенийдискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятностьтого, что X примет значение JC2, равна 1—0,6 = 0,4.Напишем закон распределения X:XХхХ2Р0,60,4Г)Для отыскания Xi и Х2 надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическоеожидание и дисперсию через Xi и Х2.Найдем М (Х):А! (X) = 0,6;ci + 0,4je2.По условию, /И(Х) = 1,4, следовательно,0,6Л:Х + 0,4А:2 = 1.4.Г*)Одно уравнение, связывающее Xi и Х2, получено.
Для того чтобыполучить второе уравнение, выразим известную дисперсию через Xiи Х2-Напишем закон распределения Х^:Х^ х\ х1р 0,6 0,4Найдем М{Х^):Л!(Х2)=0.6л:|+0,4;с2.Найдем дисперсию:D(X) = M(X2)—[Ai(X)]2 = 0,6;c?+0,4;cl —1,42.Подставляя D(X) = 0,24, после элементарныхполучим0,6;с1 + 0 , 4 4 = 2.2.преобразованийС**)73Объединяя (**) и (*•*), имеем систему уравненийf0,6jci+0.4jc,= l,4,10,6x1+0,4x1 = 2.2.Решив эту систему, найдем два решения:Xi=l; ^2 = 2 и Xi=l,8; д:2 = 0,8.По условию Х2 > Хи поэтому задаче удовлетворяет лишь первоерешение:xi = l;Х2 = 2 .(••••)Подставив (****) в (*), получим искомый закон распределения:X1 2р0,6 0,4219.
Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: х^ и jc,, причем х^ < х,.Вероятность того, что X примет значение х^, равна 0,2.Найти закон распределения X, зная математическоеожидание М {X) == 2,6 и среднее квадратическое отклонение а(Х) = 0,8.220. Дискретная случайная величина X имеет толькотри возможных значения: Xi = l, х^ и JCJ, причем х^ <<х-2<Хз. Вероятности того, что X примет значения х^и ^2 соответственно равны 0,3 и 0,2. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание Л1(Х) = 2,2 и дисперсию D(X)=^0,76.221. Брошены п игральных костей. Найти дисперсиюсуммы числа очков, которые могут появиться на всехвыпавших гранях.Р е ш е н и е . Обозначим через X дискретную случайную величину—сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, черезХ{ (1 = 1, 2, .
. . , п)—число очков, выпавших на грани i-й кости.ТогдаX = Xi -f- ^2 + • . . + Хп»Очевидно, все величины X/ имеют одинаковое распределение,следовательно, одинаковые числовые характеристики^^и, в частности,одинаковые дисперсии, т. е.D(Xi) = D ( X 2 ) = . . . = D ( X „ ) .ПТак как рассматриваемые случайные величины независимы, тодисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:D(X) = D(Xi + X 2 + .
. . + X „ ) = D(Xi) + D ( X 2 ) + . . . + D ( X „ ) .В силу (•) получим0(Х)^пВ(Хг).С*)Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины Xi, т. е. дислерсию числа очков, которые могут выпасть на74«первой» кости. Сделаем это. Напишем закон распределения Xi:Xi123456р1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Найдем М (X,):М №) = 1 4 + 2 • Т+3 • Т+^ • 4+5 • Т+« • Т=ТНапишем законXiрНайдем М (xl)распределения Xi:149161/6 1/6 1/6 1/6и D (Хг):251/6361/6Л^(ХЬ = 1 4+4 4+^ 4+^^ 4+25 4+^^ 4 = Т 'D(Xi) = Al(Xi) — [Af(Xi)]« = 91/6—(7/2)2 = 35/12.(*•*)Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):D(X)=:(35/12)n.222*.
Вероятность наступления события в каждомиспытании равна р ( 0 < р < 1). Испытания производятсядо тех пор, пока событие не наступит. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величиныX—числа испытаний» которые надо произвести до появления события; б) дисперсию величины X.Р е ш е н и е , а) Составим закон распределения величины X —числа испытаний, которые надо произвести» пока событие не наступит:ррЯР q^P...q^-^P .
. .(•)Здесь ^ = 1—р—вероятность непоявления рассматриваемого событияНайдем М(Х)1Л! (Х) = 1.р + 2 . ( 7 Р + 3 . < 7 * Р + . . . + Л - ^ * - ^ Р + - - . =^p(\+2q+Zq^+...+kqf^-^+...)=^p.j^^^=p.l^^L^Итак, Ai(X) = l/p.П о я с н е н и е . Покажем, что 1 + 2 ^ + 3 ^ * 4 - • . • + ^ ^ * " ^ + * - . ==1/(1—q)^. Так как О < <7 < 1» то степенной ряд (относительно q)S^\^q+ q^ +...+qJ^+...^\/(\-q)можно почленно д»!фференцировать и сумма производных членовряда равна производной от суммы ряда, т.
е.S'==l+a7 + 3 < 7 « + . . . + V - i + . . . = l/(l-(7«).(*•)б) Будем искать дисперсию величины X по формулеD(X)^M (JV2) — [М (X)]».Учитывая, что Л1(Х)=1/р, получимD(X)^M (Х*) — 11р\(*••)75СХггается найти М {X*). Напишем закон распределения X», используя распределение (*):НайдемХ« 1« 2« 3« . .
. А*...Рр qp q*p . . . <7*~*р . . .М{Х*у.Л1(Х») = 1«.р+2*.9Р+3«<7*р+.-. + **-«7*-*Р+---=== р (1«+2«-«?+3».^»+ ... +А''(7*-Ч- •. .) =„ J±5__„ 1+0-Р) _2-р= " • (Г=:^»-'' * —7*153ИТАКAi(X«) = (2-.p)/p«.(-•^Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (•***) в (••*):П о я с н е н и е . Покажем, чтоДействительно,я\ ( P + 2 V + 3 V + • • • + / f V " * + ...)rffl^==«^(1+2^+31/»+..•+Л^*-1+...)==<7/(1-^)*Дифференцируя обе части равенства по (/, получим[см.
О ] .i«+2«^+3V+...+*V"-^+..- = (i+^)/(i-^)*.223. Производятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элементне откажет. Найти: а) математическое ожидание дискретной случайной величины X—числа опытов, которые надопроизвести; б) дисперсию X. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,1.У к а з а н и е .
Воспользоваться результатами задачи 222.224, Доказать неравенство М [X—(х/+A:^)/2J* > D (Х)^где лг/ и Xj^—любые два возможных значения случайнойвеличины X.Р е ш е н и е . 1) Допустим, что (xi+Xk)l2^M{X). Тогда2) Допустим, что (ж/+Д^л)/2 9& М (Л). Докажем, что в этом случаеЛ| Г х - ^ Ц ^ ] * > D(X).7вПреобразуем левую часть неравенства, используя Свойства математического ожидания:М [x-ii±i^]'=Af (Х«)-2*ф^*. М(Х)+ [^Ц^]\Вычитая и прибавляя [Af (Х)]^ в правой части равенства, получимМ [ ; c - . i ^ i ± ^ ] ' - D W + [м(Х) ^ £ i + £ * j 4 D(X).Г)Объединяя (•) и (*•), окончательно имеем225.
Доказать, что если случайная величина X имеетнаименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные а и 6, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата пол у разности междуэтими значениями:D(X)<r(6-a)/2J^Р е ш е н и е . Воспользуемся неравенством (см. задачу 224)D ( X ) < i M [ X ~ ( a + ^)/2]2.(*)Докажем теперь» чтоМ [ Х - ( а + Ь)/2]а<;[(6-а)/2]а.(Отсюда и из (*) следует справедливость доказываемого неравенства.)С этой целью преобразуем математическое ожидание:Af [(^—a)/2]« = M[X —(а + ^)/2+(6—Л')]2 == Л1 [X —(а + 6)/2]2 + Л1 [(б—Х) (X—а)].Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (этоследует из того, что b—наибольшее и а — наименьшее возможныезначения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:М [X —(а + ^)/2]* < М [(6—а)/2]^Учитывая, что математическое ожидание постоянной величиныравно самой постоянной, окончательно получимAi [X —(a + &)/2ia<;[(6-~a)/2]a.226.
Доказать, что если X и Y — независимые случайные величины, тоD {XY)^D{X)'D(К) +пЮ {Х)+тЮ (К),где т = Л1(Х) и /г = Л1(У).Р е ш е н и е . По формуле для вычисления дисперсииD (XY)^ М [(XY)^]^[M{XY)]\Учитывая, что X и Y — независимые величины и, следовательно,X' и К^ также независимы и что математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению ихмате77матических ожиданий, получимD(XK) = Al[Xa.K«] —[Л1(Х).Л1(К)]2=:= М (Х«) М (Г2)—m2/i«.По определению дисперсии,0 ( Х ) = Л1(Л*)-~т2, D(K) = Af(K2)-./i2.ОтсюдаМ (Х^) = D (X) + т», М (К2) ==.£> (К) + л2.(•)(••)Подставив (*^) в (*), после упрощений окончательно имеемD (XV) ^D(X)D (Y) + пЮ (X) + тЮ (К).227.
Найти дисперсию дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:XР012k4k\Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойD(X) = Af(X«)—[Л1(Л)]«Так как АЦХ) =-X (см. задачу 207), тоD(X) =M(X*)—X:оНапишем распределение случайной величины X*, учитывая, чтовероятность того, что X ' примет значение ^^, равна вероятноститого, что X примет значение к (это следует из того, что возможныезначения X неотрицательны):Л*О»1*2«...Л»Ре"^Хе-^/1!Я,2е-^2!...К^е'^/МНайдем математическое ожидание Х^:Учитывая, что при Аг=0 первый член суммы равен нулю, получимJlrstПоложив k—la=m,l-fcslимеемl-msO78^sl«1=0JJПринимая во внимание, что00тт= О00^^*= Х (см. задачу 207),00Е^--^Е^=-^«^-'.ml^Zd ,от=0Zdm=0имеемM(X2) = X(A. + 1) = X« + X.Подставим (••) в (•):(••)D(X) = (X«4-M—А'^ = ^.Итак, дисперсия распределения Пуассона равна параметру к,§ 4. Теоретические моментыНачальным моментом порядка k случайной величины X называютматематическое ожидание величины Х^:v^ = M(X*).В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:Vi = M(X).Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины [X—М{Х)]^:^1л = Л1[Х-Л1(Х)]Л.В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:fii = M[A:—М(Х)]=0;центральный момент второго порядка равен дисперсии:Центральные моменты целесообразно вычислять, используя фор*мулы, выражающие центральные моменты через начальные:fAa = Va—VI,fAs==V3—3viV2 + 2vi,Ц4 = V4—4viV3 + 6V1V2—3vi.228.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X 13р 0,4 0,6Найти начальные моменты первого, второго и третьегопорядков.Р е ш е н и е . Найдем начальный момент первого порядка:VI = M ( A : ) = 1.0,4 + 3 0,6 = 2,2.79Напишем закон распределения величины Х^:X*19р0,40,6'Найдем начальный момент второго порядка:Va = A^(Xa)=b0.4 + 9.0,6 = 5.8.Напишем закон распределения величины Х^:Х»127р0,40.6Найдем начальный момент третьего порядка:V3 = Af(X»)=l 0 , 4 + 2 7 0 , 6 = 16,6.229.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X235р0,1 0,4 0,5Найти начальные моменты первого, второго и третьегопорядков.230. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:X124р0,1 0,3 0,6Найти центральные моменты первого, второго, третьегои четвертого порядков.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
