В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных со*бытии:Яз (k < 4) = Р , ( 3 ) + Я , (2) + Я, (1) + Я, (0) =б ^ е - * б^-е-* б е - *= 0,0025.61 =0,1525.в) События «поступило менее четырех вызовов» и «поступилоне менее четырех вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 2 мин поступит не менее четырех вызовов,Я ( Л ^ 4 ) = 1—Я(;^< 4) = 1—0,1525 = 0,8475.186. Среднее число вызовов, поступающих на АТСв одну минуту, равно двум.
Найти вероятность того,что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трехвызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.187. Доказать, что для простейшего потока событийУ к а з а н и е . Использовать теорему о сумме вероятностей противоположных событий:При отыскании искомого предела применить правило Лопиталя.62§ 3.
Числовые характеристики дискретных случайныхвеличинХарактеристикой среднего значения случайной величины служит матема1ическое ожидание.Математическим ожиданием дискретной случайной величиныназывают сумму произведений всех ее возможных значений на ихвероятности:М (X) = XiPi + X2P2+ * . .
+ХпРпЕсли дискретная случайная величина принимает счетное множествовозможных значений, тоM(X)=^j;^XiPi,причем математическое ожидание существует, если ряд в правойчасти равенства сходится абсолютно.Математическое ожидание обладает следующими свойствами.С в о й с т в о 1. Математическое ожидание постоянной величиныравно самой постоянной:М(С)==С.С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить зазнак математического ожидания:М(СХ)==^СМ{Х).С в о й с т в о 3. Математическое ожидание произведения взаимнонезависимых случайных величин равно произведению математическихожиданий сомножителей:М (Х1Х2 ...Хп)=-М(Xi) М {Хг) ..*М (XnhС в о й с т в о 4.
Математическое ожидание суммы случайныхвеличин равно сумме математических ожиданий слагаемых:М(Хг + Х2+...+Хп)=М{Хг)+М(Х2)+..^+М(Хп).Математическое ожидание биномиального распределения равнопроизведению числа испытаний на вероятность появления событияБ одном испытании:М(Х) = пр.Характеристиками рассеяния возможных значений случайнойвеличины вокруг математического ожидания служат, в частности,дисперсия и среднее квадратическое отклонение.Дисперсией случайной величины X называют математическоеожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:D(X) = Af[X—Af(X)j2.Дисперсию удобно вычислять по формулеD(X) = iW(X2)~[M(X)]2.Дисперсия обладает следующими свойствами.С в о й с т в о 1.
Дисперсия постоянной равна нулю:D(C)=0.63С в о й с т в о 2. Постоянный множитель можно выносить за знакдисперсии, предварительно возведя его в квадрат:0(СХ) = СЮ(Х).С в о й с т в о 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:0(Хг + Х2+...+Хп)= 0{Хг) +0{Х^)+...+0(Хп).Дисперсия биномиального распределения равна произведениючисла испытаний на вероятности появления и непоявления событияв одном испытании:D(X) = npq.Средним квадратичеасим отклонением случайной величину называют квадратный корень из дисперсии:а(Х):=}ГЩх).188.
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:а) X —4 6 10 . б) X 0,21 0,54 0,61р 0,2 0,3 0,5 •р 0,1 0,5 0,4 'Р е ш е н и е , а) Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на их вероятности:М (X) = ~ 4 0,2 + 6 0,3 +10 0,5 = 6.189. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X н Y:а) Z = X 4 - 2 y , M(X) = 5, M(Y) = 3; б) Z = 3 X + 4 y ,Л1(Х) = 2, Л1(К) = 6.Р е ш е н и е , а) Используя свойства математического ожидания(математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знакматематического ожидания), получимM(Z)r=M(X + 2Y)==M(X) + M(2V)==M(X) + 2M(Y)=== 5 + 2 3 = 11.190.
Используя свойства метематического ожидания,доказать, что: а) М{Х — Y) = M{X)—М (У); б) математическое ожидание отклонения X—Л1(Х) равно нулю.191. Дискретная случайная величина X принимаеттри возможных значения: A:I = 4 С вероятностью р^ = 0,5;А:З = 6 С вероятностью Pj = 0,3 н х^ с вероятностью р,.Найти А:, И р,, зная, что М{Х)==8.192. Дан перечень возможных значений дискретнойслучайной величины X: Xi = —1, х^ = 0, дГа = Ь ^ такжеизвестны математические ожидания этой величины и ееквадрата: Л1(Х) = 0,1, М(Х^)==0,9. Найти вероятности64Pi^ p2> Pa» соответствующие возможным значениям x^^Р е ш е н и е .
Пользуясь тем, что сумма вероятностей всех возможных значений X равна единице, а также принимая во внимание, что Л1(ЛГ)=0,1, Л1(Х*)=0,9, составим следующую системутрех линейных уравнений относительно неизвестных вероятностей:Р1 + Р2 + Рз = 1, ( — l ) P i + 0 . p a + b P s = 0 , I ,( ~ l ) V i + 0 « . p 2 + l ^ P 3 = 0,9.Решив эту систему, найдемРа = 0 , 1 , р , = 0 , 5 .искомые вероятности:Pi==0,4,193. Дан перечень возможных значений дискретнойслучайной величины X: л:, = 1, дса = 2, ;Сз = 3, а такжеизвестны математические ожидания этой величины и ееквадрата: Л1 (Х) = 2,3, М(Х^) = 5,9.
Найти вероятности,соответствующие возможным значениям X.194. В партии из 10 деталей содержится три нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X —числа нестандартных деталей среди двух oTo6paHjfiHX.Указание.Воспользоваться решением задачи 17, гл. 1, § 1.195. а) Доказать, что математическое ожидание числапоявлений события А в одном испытании равно вероятности р появления события А.У к а з а н и е . Дискретная случайная величина X—число появлений события в одном испытании — имеет только два возможныхзначения: JC] = 1 (событие А наступило) и дга = 0 (событие А ненаступило).б) Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины X—числа появлений события Ав п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р—равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании, т. е.
доказать, что математическое ожидание биномиального распределения М(Х)^пр.196. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X—числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросанийравно двадцати.Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойМ(Х)=^пР.65где п—общее число испытаний (бросаний пяти костей); X—числопоявлений интересующего нас события (на двух костях из пятипоявится по одному очку) в п испытаниях; Р—вероятность появлениярассматриваемого события в одном испытании.По условию, /1=20.
Остается найти Р—вероятность того, чтона гранях двух из пяти костей появится по одному очку. Этувероятность вычислим по формуле Бернулли, учитывая, что вероятность появления- одного очка на грани одной кости рае 1/6 я, следовательно, вероятность непоявления q=^l—l/ess5/6:--.<»)-!. (i)"-(l)=f^=^Искомое математическое ожиданиеiM (X) = пР = 20 ~2ы 3.197.
Устройство состоит из п элементов. Вероятностьотказа любого элемента за время опыта равна р. Найтиматематическое ожидание числа таких опытов, в каждомиз которых откажет ровно m элементов, если всего произведено iV опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.Р е ш е н и е . С)бозн;ачим через X число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы н вероятностиинтересующего нас события (в одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формулаM(X)^NP,С)где N—общее число опытов; Р—вероятность того, что в одномопыте откажет ровно т элементов.Найдем вероятность Р по формуле Бернулли:P^C'Sp'^q^"^.(••)Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:198.
Бросают п игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом изкоторых выпадет ровно т шестерок» если общее числобросаний равно N.199. Бросают п игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадутна всех гранях.Р е ш е н и е . Обозначим через X сумму числа очков, которыевыпадут на всех гранях, через X/ ( / = 1 , 2, ..., п) — число выпавшихочков на грани /-й кости. Тогда, очевидно,X = Xi + -^1 + • * • + Хц.Следовательно,М(Х)^М (Xi + ^ i + . .
. +Х„) == M(Xi) + A i ( X , ) + . . . + M ( X „ ) .С)66Очевидно, все величины X/ имеют одинаковое распределение,а следовательно одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые математические ожидания, т. е. M(Xi) = Af (ХЙ == ...=iM(A:„).В силу (*) получимM(X)^nM(Xi).(•*)Таким образом, достаточно вычислить математическое ожиданиевеличины Xi, т. е. математическое ожидание числа очков, которыемогут выпасть на первой кости. Для этого напишем закон распределения XiiXj123456р1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Найдем М (Хг):М (;^1) = Ы / 6 + 2.1/6 + 3.1/6 + 4.1/6 + 5.1/6 + 6.1/6 = 7/2. ( • • • )Подставив (***) в (••), окончательно получимМ(Х)^(7/2)п.200.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
