В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Отрезок разделен на четыре равные части. Наотрезок наудачу 6pouieHo восемь точек. Найти вероятность того, «iTo на каждую из четырех частей отрезкапопадет по две точки. Предполагается, что вероятностьпопадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.§ 2. Локальная и интегральная тооремы ЛапласаЛокальная теорема JTanjiaca. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появлениясобытия равна р(0 < р < \), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (темточнее, чем больше п)V npqЗдесьу 2пУ npqТаблица функции q>(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуютсяэтой же таблицей [функция ц>(х) четная, следовательно, ф( — х) =Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в пнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р{0 < р < \), событие наступит не менее kiраз и не более ^2 Р^^» приближенно равнаP{kx\ ^ 2 ) = - Ф ( Л ~ Ф ( Л .39ЗдесьXФ(х)^-;^\е-^'^^^><1г— функция Лапласа,х' =^{ki—np)/yiipq, хГ = (kt—np)l Vnpq'.Таблица функции Лапласа для положительных значений х{0<< х < 5 ) приведена в приложении 2; для значений х> Ъ полагаютФ(:г)а=0,5.
Для отрицательных значений х используют эту же таблицу» учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(—х)^—Ф(^)]-119. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятностьпоявления этого события в каждом испытании равна 0,25.Р е ш е н и е . По условию, п=243; ^=70; р=0,25; ^=0,75.Так как /i»2i3—достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:Р„(Л)=—7="4>Wtynpqгде X = (к—пр)/ Vnpq.Найдем значение х:^k-^np ^ 70—2430,25 ^ ^>25 _ ^ ^уyiipq1^243.0,25 0,75^,75По таблице приложения 1 найдем ф (1,37) =0,1561. Искомаявероятность^14» (70) = 1/6,75.0,1561 =0,0231.120. Найти вероятность того, что собьп^ие А наступит14(Ю раз в 24(Ю испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.Р е ш е н и е .
Так как п велико, воспользуемся локальноА теоремой Лапласа:Рпкк)^.—ynqpV{x).Вычислим х:^^А:-/у^ 1400—24000,6^y/^qК24000.6.0.440^24 ~^ ^^' 'Функция ф (х)=—р= е"'*/^—четная, поэтому ф (—1,67)=ф (1,67).К2яПо таблице приложения 1 найдем ф( 1,67)=0.0989.Искомая вероятностьPt40« (1400) = 1/24 0.0989 ==0,0041.121. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 1СЮвыстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.40122.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51.Найти вероятность того, что среди 100 новорожденныхокажется 50 мальчиков.123. Монета брошена 2N раз {N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.124. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того,что «герб» выпадет на 2т раз больше, чем надпись.125.
Вероятность появления события в каждом из 100независимых испытаний постоянна и равна /7 = 0,8. Найтивероятность того, что себытие появится: а) не менее 75 рази не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.Р е ш е н и е . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:где Ф(д:)—функция Лапласа,х' = (kx^np)! yitpq,х" == (kz — np)/ Vnpq.а) По условию, л = 100; р = 0 , 8 ; ^ = 0 , 2 ; ^ i = 7 5 ; ^2=^0• Вычислим х' и х'':h^np_75-^100.0,8X =^—=г=—>== — 1 , ^ 5 ;VnpqY 100 0,8.0,2^ . ^ k^—np^90~>100.0,8 ^ ^ ^Vnpq/"100.0,8.0.2Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т. е. Ф (—х) = —Ф (А:)»получимPioo(75; 9 0 ) = Ф ( 2 , 5 ) ~ Ф ( ~ 1 , 2 5 ) = Ф ( 2 , 5 ) + Ф(1,25).По таблице приложения 2 найдем:Ф (2,5) =0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.Искомая вероятностьPioo(75; 90) = 0 , 4 9 3 8 + 0,3944 = 0,8882.б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76, ...,либо 100.
Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять ^1 = 75, ^2=100. Тогда^,^k^-np^7 5 - 1 0 0 0 , 8 _ _ _ ^ 25Vnpq/100-0,8.0,2' '„_kz—np_100—-1000,8g^ ~ Y'npq "" /"1000,8.0,2 ~По таблице приложения 2 найдем Ф (1,25) =0,3944; Ф(5) = 0,5.Искомая вероятностьРюо (75; 100) = Ф (5)—Ф (— 1,25) = Ф (5) + Ф (1,25) == 0,5 + 0,3944 = 0,8944.в) События—«Л появилось не менее 75 раз» и «Л появилосьне более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих41событий равна единице. Следовательно, искомая вероятностьPioo (0; 74) = 1 —Ploo (75; 100) = 1—0,8944 =0,1056.126. Вероятность появления события в каждом из 2100независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятностьтого, что событие появится: а) не менее 1470 и не более1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.127.
Вероятность появления события в каждом из 21независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятностьтого, что событие появится в большинстве испытаний.128. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами Л^—Y2NI2 и Л^ + К277/2.129. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,8.
Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно былоожидать, что событие появится не менее 75 раз?Р е ш е н и е . По условию, р=0,8; ^ = 0,2; ^i = 75; Агг — л;р„ = (75, п)=0,9.Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:P„(At; п ) = Ф ( * ' ) - Ф ( ж ' ) = Ф [ - | ; ^ ] - Ф [ - ^ ^ ]•Подставляя данные задачи, получимL V я 0,8 0,2 JL >^п0,8 0,2 JилиОчевидно, число испытаний п > 75, поэтому У^12 > V^75/2 с^£55^4,33.
Поскольку функци^^ Лапласа — возрастающая и Ф(А) с±0,Ъ,то можно положить Ф(У^я/2) = 0,5. Следовательно,0.9=0.5-Ф r i E n O ^ l .Таким образом,L 0,4}ГпJПо таблице приложения 2 найдем Ф( 1,28) = 0,4. Отсюда и изсоотношения (•), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим(75—0.8/1)/(0,4 У'И) =» — 1,28.Решив это уравнение, как квадратное относительно У1Г, получим l/'/irsrIO.
Следовательно, искомое число испытаний л =100.130. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна О^Э. Сколько нужно42произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можнобыло ожидать, что не менее 150 опытов дадзгг положиоезультат?тельный результат?§ 3. Отклонение относительной частотыот постоянной вероятности в независимых испытанияхОценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в п независивсых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (О < р < 1),абсолютная величина отклонения относительной частоты появлениясобытия от вероятности появления события не превысит положительного числа 8, приближенно равна удвоенной функции Лапласапри х=!^вУ^п/рд:p(|i_,|«.)=2«,(./X).131.
Вероятность появления события в каждом из 625независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятностьтого, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине неболее чем на 0,04.Р е ш е н и е . По условию, п=625; р==0,8; д=0,2;е=0,04*Требуется найти вероятность Р{\ т/625—0»8|<0,04).Воспользуемся формулойИмеем'• (I ш-»-» |-=»-<«) -»* (»•<» Vn^)=*» »•«•По таблице приложения 2 найдем Ф (2»5) == 0,4938. Следовательно,2Ф (2,5) = 2 0,4938=0,9876. Итак, искомая вероятность приближенноравна 0,9876.132. Веро51Тность появления события в каждом из 900независимых испытаний равна 0»5. Найти вероятностьтого, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0»02.133. Вероятность появления события в каждом из10 000 независимых испытаний равна 0,75.
Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.134. Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросилмонету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз.43Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютнойвеличине не более чем в опыте Бюффона.135. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,5.
Найти число испытаний м, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления событияотклонится от его вероятности по абсолютной величинене более чем на 0,02.Р е ш е н и е . По условию, р = 0,5; д=0,5; е=0,02;Р (I m//i—0,51 <;0,02)== 0,7698.Воспользуемся формулойР(|т/п-р|<е) = 2 ф ( е | / ^ ) .В силу условия^^(^•^^/-ОЗЖб)^^'^^^^'или Ф (0,04 » ^ i ) = 0,3849.По таблице приложения 2 найдем Ф (1,2) = 0,3849. Следовательно,_^0,04 1/^/1 = 1,2, или |/"л=30.Таким образом, искомое число испытаний п=900.136.
Сколько раз нужно бросить игральную- кость,чтобы вероятность неравенства|ш/л—1/6|<0,01была не меньше чём вероятность противоположного неравенства, где т—число появлений одного очка в пбросаниях игральной кости?Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойК1т-Н*0-""('/^)-По условию, р=1/б, (7 = 5/6, 8 = 0,01.
Вероятность осуществлениянеравенства, противоположного заданному, т. е. неравенства | т/п——1/61 > 0,01, равнаСогласно условию должно иметь место неравенствоили44ОтсюдаПо таблице приложения 2 найдем Ф (0,67) =0,2486; Ф (0,68) = 0,2517.Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) =0,25.Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф (х)—возрастающая, имеем« > ^ ^ ^ 0 ' 6 7 ^ 5 , или 0,01 l / . ^ ^ ^ =0.6745.Отсюда искомое число бросаний монеты л ^ 6 3 2 .137. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2.
Найти наименьшее числоиспытаний п, при котором с вероятностью 0,99 можноожидать, что относительная частота появлений событияотклонится от его вероятности по абсолютной величинене более чем на 0,04.138. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4 : 1 . После извлечения шара регистрируется егоцвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95можно ожидать, что абсолютная величина отклоненияотносительной частоты появления белого шара от еговероятности будет не более чем 0,01?139.
Вероятность появления события в каждом из 400независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число 8, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютнаявеличина отклонения относительной частоты появлениясобытия от его вероятности 0,8 не превысила е.Р е ш е н и е . По условию, п = 400, р = 0,8, q = 0,2. Следовательно,2Ф (8 V^400/(0,8 0,2) ) = 0,99 или Ф (бОе) = 0,495.По таблице приложения 2 найдем Ф (2,57) = 0,495, значит 50е== 2,57. Отсюда искомое число е = 0,05.140. Вероятность появления события в каждом из900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число 8, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила е.141.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
