В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Найти ве­роятность того, что пуля попадет в один из белых сек­торов. Предполагается, что вероятность попадания пулив плоскую фигуру пропорциональна площади этой фи­гуры.^^35. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачупоставлены две точки: В{х) и С (у), причем у>х. (Коор­дината точки С для удобствадальнейшего изложения обо­значена через у). Найти ве­роятность того, что длинаотрезка ВС меньше длиныотрезка ОВ (рис. 1, а).

Пред­полагается, что вероятностьпопадания точки на отрезокпропорциональна длине это­го отрезка и не зависит отего расположения на число­вой оси.Р е ш е н и е . Координаты то­чек В и С должны удовлетворятьнеравенствам О ^ д : s ^ L f i ^ y < L ^у'^х.Введем в рассмотрениеРис. 1прямоугольную систему коорди­нат зЮу. В этой системе указаннымнеравенствам удовлетворяют координаты любой точки, принадле­жащей прямоугольному треугольнику ОКМ (рис.

1,6). Таким образом,этот треугольник можно рассматривать как фигуру О, координатыточек которой представляют соответственно все возможные значениякоординат точек В и С.Длина отрезка ВС должна быть меньше длины отрезка 0 5 , т. е.должно иметь место неравенство у—х < х, или у < 2х. Последнеенеравенство выполняется для координат тех точек фигуры G (прямо­угольного треугольника ОКМ), которые лежат ниже прямой у^2х(прямая ON).

Как видно из рис. 1, б, все эти точки принадлежатзаштрихованнов1у треугольнику ONM. Таким образом, этот треуголь­ник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которойявляются благоприятствующими интересующему нас событию (длинаотрезка ВС меньше длины отрезка ОВ).14Искомая вероятностьР - П л . g/Пл, С'^Пл. ONMfUn. 0К'Л1« 1/2.36. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачупоставлены две точки В{х) и С (у). Найти вероятностьтого, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки Одо ближайшей к ней точке.

Предполагается, что веро­ятность попадания точки на отрезок пропорциональнадлине отрезка и не зависит от его расположения на чис*ловой оси.37. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачупоставлены две точки: В(х) и С (у), причем у^х. Найтивероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше,чем L/2. Предполагается, что вероятность попаданияточки на отрезок пропорциональна длине отрезка и независит от его расположения на числовой оси.38. На отрезке О А длины L числовой оси Ох наудачупоставлены две точки: В{х) и С {у).

Найти вероятностьтого, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L/2.Предполагается, что вероятность попадания точки наотрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит отего расположения на числовой оси.39. Задача Бюффона (французский естествоиспыта­тель XVni в.). Плоскость разграфлена параллельнымипрямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а.На плоскость наудачу бросают иглу длины 21 (I < а).Найти вероятность того, что игла пересечет какую-ни­будь прямую.а)S)Р е ш е н и е .

Введем следующие обозначения: х—расстояние отсередины иглы до ближайшей параллели; <р—угол, составленныйиглой с %той параллелью (рис. 2, а).Положение иглы полностью определяется заданием определенных8на«ений j( и ф, причем х принимает значения от О-до а; возможные15аяачения ф изменяются от О До а. Другими словами, середина иглыможет попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами аи а (рис. 2» б). Таким образом, этот прямоугольник можно рас­сматривать как фигуру G, точки которой представляют собой всево^южные положения середины иглы. Очевидно, площадь фигуры Gравна па.Найдем теперь фигуру g^ каждая точка которой благоприятствуетинтересующему нас событию, т. е. каждая точка этой фигуры можетслужить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к нейпараллель.

Как видно из рис. 2, а, игла пересечет ближайшую к нейпараллель при условии дг4^/а1Пф, т. е, если середина иглы попадетв любую из точек фигуры, заштрихованной на рис. 2, б.Таким образом, заштрихованную фигуру можно рассматриватькак фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:ляП л . g = \ /sfn<pdq>=»— /созф = 2 / .ооИскомая вероятность того, что игла пересечет прямуюР « П л .

g/Пл. 0^21/(па).40. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачупоставлены две точки: В{х) и С (у). Найти вероятностьд\того, что из трех получивVI^к.1шихся отрезков можно по­строить треугольник.Р е ш е н и е . Для того что­бы из трех отрезков можно бы­ло построить треугольник, каждый из отрезков должен бытьменьше суммы двух других.Сумма всех трех отрезков равнаL, поэтому каждый из отрезковдолжен быть меньше L/2.Введем в рассмотрение прях\/моугольную систему координат^^.-NxOf/. Координаты любых двухточекВ и С должны удовлетво­ОЩх) 0(у) Арять двойным неравенствам:0<:x8^L» O^y^L.ЭтимLнеравенствам удовлетворяют ко­ординаты любой точки Af (дг; |у),принадлежащей квадрату OLDLЩ) 'B(XJ)I(рис. 3, а).

Таким образом, этотРис 3квадрат можно рассматриватькак фигуру б, координаты точеккоторой представляют все возможные значения координат точекВ ц С.1. Пусть точка С расположена правее точки В (рис. 3, б)« Какуказано выше, длины отрезков ОВ,ВС,СА должны быть меньше L/2,т. е. должны иметь место неравенства х < £/2, у—х < iL/2, L—у << L/2, или, что то же,X < L/2, у < .r+Z./2, у > L/2.(•)162. Пусть точка С расположена левее точки В (рис. 3, в). В атомслучае датжны иметь место неравенства у < L/2, х—у < L/2, L —— X < L/9, или, что то же,у < 1/2, у > X--L/2, X > L/2.(••)Как видно из рис. 3, а, неравенства (*) выполняются для коор­динат точек треугольника EFH, а неравенства (••) — для точектреугольника КпМ.

Таким образом, заштрихованные треугольникиможно рассматривать как фигуру g, координаты точек которойблагоприятствуют интересующему нас событию (из трех отрезковможно построить треугольник).Мскомая вероятностьР=:Пл. g/Пл. 0=:(Пл. Д EFH+ Пл. Л KHM)/n.n.OOLDL== 1/4.41. В сигнализатор поступают сигналы от двух уст­ройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длитель­ностью Т. Моменты поступления сигналов независимыодин от другого. Сигнализа­тор срабатывает, если разностьАмежду моментами поступления тсигналов меньше / (^ < Т).

Най­ти вероятность того, что сиг­нализатор срабатывает за вре*мя Т, если каждое из уст­ройств пошлет по одному сигналу.ti^ ~хРешение.Обозначим момен­tты поступления сигналов первогои второго устройств соответственно через х п у. В силу условиязадачи должны выполняться двойныерцс.

4неравенства:0<х<Т,Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат хОу,В этой системе двойным неравенствам удовлетворяют координатылюбой точки, принадлежащей квадрату ОТ AT (рис. 4). Таким обра­зом, этот квадрат можно рассматривать как фигуру С/, координатыточек которой представляют все возможные значения моментов по­ступления сигналов.Сигнализатор срабатывает, если разность между моментамипоступления сигналов меньше /, т. е. если у—х < t при у > х нX—у < i при х> у, или, что то же,yKx+tпри у>х,(•)y>x-^tпри у < X,(••)Неравенство (•) выполняется для координат тех точек фигуры (?,которые лежат выше прямой |/ = jc и ниже прямой y=zx-rt\нера­венство (••) имеет место для точек, расположенных ниже прямойу = л" и выше прямой у^=х—t.Как видно из рис.

4, все точки, координаты которых удовлет­воряют неравенствам («) и («•), принадлежат заштрихованному17шестиугольнику. Таким образом, этот юестнугольник можно рас­сматривать как фигуру gf координаты точек которой являются бла­гоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами временихну.Искомая вероятность42. Задача о встрече. Два студента условились встре­титься в определенном месте между 12 и 13 часами дня.Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа,после чего уходит. Найти вероятность того, что встречасостоится, если каждый студент наудачу выбирает моментсвоего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).43*.

Найти вероятность того, что из трех наудачувзятых отрезков длиной не более L можно построитьтреугольник. Предполагается, что вероятность попаданияточки в пространственную фигуру пропорциональнаобъему фигуры и не зависит от ее расположения.Ука^зание. Ввести в рассмотрение пространственную системукоординат.44. Наудачу взяты два положительных числа х и у,каждое из которых не превышает двух. Найти вероят­ность того, что произведение ху будет не больше единицы,а частное у/х не больше двух.45. Наудачу взяты два положительных числа х и j / ,каждое из которых не превышает единицы. Найти веро­ятность того, что сумма х + у не превышает единицы,а произведение ху не меньше 0,09.Глава втораяОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ§ 1 .

Характеристики

Список файлов книги