В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятностьтого, что оба учебника окажутся в переплете.Р е ш е н и е . Введем обозначения событий: А—первый. взятыйучебник имеет переплет, В—второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет, Р (Л) = 3/6 = 1/2.Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т. е. условнаявероятность события В, такова: Р ^ ( 5 ) = 2/5.Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, потеореме умножения вероятностей событий равнаР {АВ):=Р (А) РА (В) = 1/2.2/5 = 0,2.65.
Среди 100 лотерейных билетов есть 5 выигрышных. Найти вероятность того, что 2 наудачу выбранныебилета окажутся выигрышными.66. В цехе работают семь мужчин и три женщины.По табельным номерам наудачу отобраны три человека.Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.Р е ш е н и е . Введем .обозначения событий; А—первым отобранмужчина; В—вторым отобран мужчина, С—третьим отобран мужчина.
Вероятность того, что первым будет отобран мужчина,Р (Л) = 7/10.Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии,что первым уже был отобран мужчина, т. е. условная вероятностьсобытия В следующая: Я^ (В) = 6/9 = 2/3.Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т. е. условная вероятностьсобытия С такова:РАВ(С)=^5/8,Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами,Р {АВС)=^Р (А)РА(В)РАВ{С)-=7/102/3 5/8 = 7/24.2367. В ящике 10 деталей, среди которых шесть окрашенных. Сборщик наудачу извлекает четыре детали.Найти вероятность того, что все извлеченные деталиокажутся окрашенными.68.
В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5.Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения.Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченныешары будут иметь номера I, 4, 5 независимо от того,в какой последовательности они появились.69. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найтивероятность того, что студент знает предложенные емуэкзаменатором три вопроса.70. В мешочке содержится 10 одинаковых кубиковс номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одномутри кубика. Найти вероятность того, что последовательнопоявятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешочек).71. По данным переписи населения (1891 г.) Англиии Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазыесыновья (АВ) составили 5?6 обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (АВ)—7,9%, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ)—8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (А В)—78,2%.Найти связь между цветом глаз отца и сына.^ Р е ш е н и е , jloусловию, Р ( Л а ) = 0 .
0 5 ;Р(ЛВ) «0,079;Р{ЛВ) ^0,089: Р(ЛВ)=г0,782.Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, еслкотец темноглазый:Р{АВ)_Р(АВ)0>05Q о^'^^''''^^ Р(А) ^Я(ЛВ)+Р(Л5)^0Д5+0,079-^"'''^'Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, еслиотец темноглазый:Рл (В) --1 —РА (В) - 1 —0,39«-0.61.Найдем условную вероятность того, что сын темноглазый, еслиотец светлоглазый:Р(АВ) ,PjAB)^0.089Л^'Р{А)Р(АВ) + Р{Щ0.089+0,782 "'"'^Найдем условную вероятность того, что сын светлоглазый, еслиотец светлоглазый: ^Р-.(в)«1^Р-.(В)--=1—0,102=г0,898.2472* Найти вероятность Я (Л) по данным вероятностям:P(/15} = 0J2, Р(АВ)^0Л8.Р е ш е н и е .
Событие Л можно представить в виде суммы следующих двух несовместных событий: А^АВ^АВ.По теореме еложени я вероятностей несовместных событий получим73. Найти вероятность Р(АВ) по данным вероятностям: Р{А) = а, Р{В) = Ь. Р ( Д + В ) = г .Решение.Используя тождество Р (А)^==^Р (АВ)'{'Р (АВ)^найдем'_Р {АВ)^Р (А)-Р (АВ)=а--Р {АВ).Г)Из равенства Р(Л + в ) ^ ' ' ( ^ ) + ^ (в)~Я (ЛВ) выразим Р (АВ):Р<ЛВ)-=Р(Л)+Р(В)~-Р(Л + В)=а4^^-^<?.(•*)Подставив (**) в (*), получимР (Л5)^а —(а+6—с)=::с—6.74.
Найти вероятность Р{АВ)ностям*Р{А)^а,поР(В) = Ь. Р{А +даннымвероят-В)^с.Р е ш ejHji е. Используя тождество Р (В)=^Р (.45) + Р (ЛВ)^найдем Р{АВ):р (Яв) ^р (5)—Р (ЛВ)=(1 —е>)—р (Л5).Подставив в послед11ее равенство Р {АВ)==:с—Ь (см. задачу 73),получимР (Л5) = I —b^ic-^b) = 1 — с.75. Наступление события АВ необходимо влечет наступление события С, Доказать, что Р{А)-гР{В) —-Р(С)<1.Р е ш е н и е . По условию, наступление события А8 влечетнаступление события С, поэтому (см. задачу 48tР(С)^Р(АВ).С)Используя тождестваР (Л)=Р МВ)+.Р (АВ).
Р(В)^Р(АВ)-гР(ЛВ).Р (-45)-ЬР iAB)-i-P (АВ)^1 —Р (Щи учитывая неравенство (*), получимР < У 4 ) + Я (В)-Р(С)<.[Р (AB)J.P (ЛВ)Ц-(Р {АВ\-\-_Р ( Т в ) 1 —Р (/4iJ)-.P (-45) -1-Р (АВ)-\-Р ( Л в ) = ! —Р (.ЭВ) «^1.25З а м е ч а н и е . Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться,что и в частном случае, когда С^АВ^справедливо неравенствоР(А)+Р(В)-^Р(АВХи76. Доказать, чтоПредполагается, что Р (А) > 0.Р е ш е н и е .
В силу замечания к задаче 75 справедливо неравенствоР(А) + Р(В)-Р1АВ)<1.ПВоспользуемся тождествами Р(АВ)^Р{А)РА(ВЬР(В)^1^Р(В).(••)Подставив (•*) в (•), получимилиР(Л) + 1 ~ Р ( 5 ) - Р ( Л ) . Р д ( В ) < 1 .Р(Л).Рл(В)^Р(Л)-Р(Б).Разделив обе части неравенства на положительное число Р (Л),окончательно имеем^77. Наступление события ABC необходимо влечетнаступление события D. Доказать, чтоР(Л) + Р(В) + Р(С) — P ( D ) < 2 .Р е ш е н и е . По условию, наступление события ABC иеобхо*димо влечет наступление события D, следовательно (см.
задачу 48),Р {D)'^P (ABC). Таким образом, если будет доказано неравенствоР (А) + Р (В)~\ Р (Q-^P {АВСХ2,С)то будет справедливо и неравенство, указанное в условии задачи^Докажем неравенство С^). Воспользуемся тождествами:Р (А)=Р {АВС)\гР (АВС)+Р (АВС)+Р (ABC), \р (В)^Р (АВС)~гР (АВС)+Р {АВС)+Р (ABC), i(*•)Р(С)=Р (ABC) -\-Р (ABC) + Р (А'ВС) + Р ('ABC). )Из трех событий Л, В, С можно составить следующую полнуюгруппу «сложных событий», состоящих из появлений и непоявленийрассматриваемых трех событий:ABC—появились все три события,iiBC, АВС^ ABC — появились два события, а третье не появилось,ЛВС, ABC» ЛВС"—появилось одно событие, а два других непоявились,Л^С^—не появились все три события.26Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равнаединице, поэтомуР{АВС)-\-Р(АВС)+Р(АВС)+Р{АВС) ++Р (АВС)+Р (АВС)+Р (АШ)+РйЙС)= 1.ОтсюдаР (АВС) + Р {АВС)+Р (АВС)+Р (АВС) == 1 — [Р (ABC) + Р (ABC)+Р (ABC)+Р (ABC)].(•**)Подставив (**) в (*) и используя (***), после упрощений получимР (Л) 4-я (В)+Р (С)—Р (АВС) == 2—12Р (АВС) + Р (АВС)+Р (АВС) + Р(АЪС)].Учитывая, что каждое слагаемое в квадратной скобке неотрицательно, окончательно получимР (А)+Р (В) + Р (С)—Р ( D ) < 2 .78.
Вывести теорему сложения вероятностей для трехсовместных событий:Р{А+В+С)==Р{А)+ Р{В)-{-Р{С)—— Р (АВ)—Р {АС)—Р {ВС) + Р{АВС).Предполагается, что для двух совместных событий теорема сложения уже доказана:Р(А, + А,) = Р{А,) +Р(А,)-Р{АМ.Р е ш е н и е . Сведем сумму трех событий к сумме двух событий:Л + В + С = (Д + В) + С.Воспользуемся теоремой сложения вероятностей двух событий:Р(Л + В + С ) = Р [ ( Л + Я) + С] =^Р (А + В)+Р {С)-Р 1{А + В)С]^:=Р {А + В)+Р {С)-Р 1(АС) + {ВС)1Применим теорему сложения вероятностей двух совместных событий дважды (для событий А и В, а также для событий АС и ВС):Р {А + В+С)^Р {А) + Р ( В ) - Р (АВ) + Р (С)~- { Р (АС) + Р (ВС) ^ Р [(АС) (ВС)]},Учитывая, что Р [(АС) (ВС)]=Р (АВС)у окончательно получимР (А + В + С) = Р (А) + Р (В)-^гР (С)'^Р(АВ)'-Р (АС)—Р (ВС) + Р (ABC),79*.
Даны три попарно независимых события Л, В, С,которые, однако, все три вместе произойти не могут.Предполагая, что все они имеют одну и ту же вероятность р, найти наибольшее возможное значение р.^ e u i e j i n e . П е р в ы й с п о с о б . По условию Р(ЛВС) = 0^РМ) = Р(В) = Р(С)=1—р, Р(АВ)=Р(А)Р(В)^р^,Р(АС)^рКР(ВС)^р*.27Найдем вероятности каждого из следующих событий, образующих полную группу:АЪС, В'АС, САВ, ABiT, лев, ВСА, ABC, 2ВС.Для того чтобы найти вероятность события АВ^, представимсобытие АВ в виде суммы двух несовместных событий: АВ = ABC • |4- ABC. По теореме сложения,Р {АВ)^Р (ЛВС)-'гЯ (ABC).Отсюда_Р{АВС)^Р{АВ)'--Р(АВС)г^р^.Аналогично найдем_^Р(АСВ)^Р(ВСА)=^р^.Для того чтобы найти вероятность события АЪС^ представимсобытие АВ в виде суммы двух несовместных событий: АВ--=АЪС-\'АВС.По теореме сложения,Р (ЛЯ) = Р (ABC) •;- Р (АЖ).ОтсюдаР (АЩ^Р{АЪ)'-Р(АЪС)^Р{]—Р)—Р« = Р —2р*.Аналогично найдемР (а"л5)=Р (СЛЯ)==р-~2р^Найдем вероятность события 'ABC: для этого достаточно вычесть из единицы сумму вероятностей остальных событий» образующих полную группу:Р [АБС] == 1 -^13 (р-^2р«)^-3р2] =:3р«—Зр+ЬУчитывая, что любая вероятность заключена между нулем иединицей» потребуем» чтобы все найде}!ные вероятности удовлетворяли этому условию:/ 0<р«<1.'j 0<р—2р2<1,(*)[ О^Зр^—ЗрН-К!.Решив каждое из неравенств системы» найдем соответственно;0 < р < 1 , 0<р<1/2» 0 < р < 1 .Таким образом» наибольшее возможное значение р» котороеудовлетворяет всем трем неравенствам системы (*)» равно 1/2.В т о р о й с п о с о б .
Введем обозначение Р (А-гВ + С)^к.Пользуясь теоремой сложения для трех совместных событий и учитывая, что Р(/1)-=Р(В)-гЯ(С)=:гр,Р(АВ):=^Р(АС)^Р{ВС)^Р^.Р ( У 4 В С ) = 0 , получимЛ = Р С4) ЬР (В)-\-Р (С)--Р (АВ)--Р (АС)-^--Р(ВС)-\'Р(АВС)^Зр^Зр^.Решив это уравнение относительно р» получимр = (1 ± У \—4Ш)/2.Если р = (1—У 1—4^/3)/2» то р достигает максимального значения р=1/2 (при к--3/4).28Если p = (l + К 1—4*/3)/2, то, на первый взгляд, р^1/2»Покажем, что допущение р > 1/2 приводит к противоречию. Действительно, р > 1/2 при условии, что I—4^/3>0, или, так как^rs3p—Зр*, при условии, что р^ — р+1/4 > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
