В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Несобственный интеграл от плотности распреооделения в пределах от —оо до оо равен единице:\f(x)dx==\,— вов частности, если все возможные значения случайной величиныьпринадлежат интервалу (а, &), то \ f (х) dx=^l,а262. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X( Опри л:<0,F {х) = \ sin X при О < л: ^ ji/2,\ 1при X > л/2.Найти плотность распределения f(x).Р е ш е н и е . Плотность распределения равна первой производнойот функции распределения:Опри JC < О,(создг при 0 < л г < я / 2 ,Опри X > я/2.Заметим, что при х=^0 производная F' (дс) не существует.91263. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X:1^Fix) = sin 2xI1при x < 0 .при 0 < х < я / 4 ,при X > я/4.Найти плотность распределения f(x).264.
Непрерывная случайная величина X заданаплотностью распределения / (х) = (3/2) sin Зх в интервале(О, я/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятностьтого, что X примет значение, принадлежащее интервалу(я/6, я/4).bР е ш е н и е . Воспользуемся формулой Р (а < X < ^) = \ / (jc) dx.По условию, a = n/6tискомая вероятностьb = n/4,/(дг) = (3/2) sinSjt.rt/4аСледовательно,^Р (Я/6 <Х < я/4) = (3/2) ^ sin 3xdx=^y 2/4я/6(выкладки предоставляется выполнить читателю).265.
Непрерывная случайная величина X в интервале(О, оо) задана плотностью распределения /(х)=ае"-°^(а>0);вне этого интервала / (х) = 0. Найти вероятность того,что X примет значение, принадлежащее интервалу (1, 2).266. Плотность распределения непрерывной случайнойвеличины X в интервале (— л;/2, я/2) равна / (х) == (2/п) cos* х; вне этого интервала / (х)« 0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Xпримет ровно два раза значение, заключенное в интервале (О, я/4).267.
Задана плотность распределения непрерывнойслучайной величины X:( Опри Аг<0,f(x)=\ cosX при о < X ^ я/2,\ Опри X > я/2.Найти функцию распределения F{x).Р е ш е н и е , Используем формулуX— во92Если х<0,то f{x)=^0, следовательно,оР(х)=^ J 0(iJC=::0.• о Q0Если О < дг<я/2, тоF(x)=^ \ O d x + \ cosjc djc = sin;:.Если X > я/2, тоЯ/2F ( x ) = J OdJC+ J cosA:d;f+ J 0 djtf==sin^r- QD0= 1.Я/2[ЦИЯ распределенияИтак, искомая функцияпри jr<;0,F(;f) = '{ sinjc при 0 < х < я / 2 ,при д; > я/2.268. Задана плотность распределения непрерывнойслучайной величины X:Опри х ^ О ,(sin^c при 0 < д : ^ я / 2 ,Опри X > д/2.Найти функцию распределения F(A:).269.
Задана плотность распределения непрерывнойслучайной величины X:Опри х ^ 1,(х—1/2 при 1 < л ' < 2 ,Оприх>2.Найти функцию распределения F{x).270. Задана плотность распределения непрерывнойслучайной величины X:( Оприх^я/6,/(jc)=< 3sin3x при n / 6 < x ^ n / 3 ,V ОприX > я/3.Найти функцию распределения F(x).271. Плотность распределения непрерывной случайнойвеличины X задана на всей оси Ох равенством f{x) == 4С/(е* + в'"*)- Найти постоянный параметр С.Р е ш е н и е . Плотность распределения / (х) должна удовлетворять условию \ f{x)dx=l.Потребуем, чтобы это условие выпол93нялось для заданной функции4С J е-*.
^+ е^-. = = 1 .Отсюда-Ч{^1^-(.)Найдем сначала неопределенный интеграл:Затем вычислим несобственный интеграл:bI е-4т^=Л"!Л^4^^^"Л_ е *их+ е - *аООbш arctg е^ + lim arctg е*Umа -•—00iб - » - 00а=lira=LО[arctg 1—arctg е<»]+ Mm [arctg е^—arctg 1J = я / 2 .я -*• — 00b-^ODТаким образом,00I e * +dxe - *n2(**)Подставив («*) в («), окончательно получим С = 1/2л.272. Плотность распределения непрерывной случайнойвеличины X задана на всей оси Ох равенством / (л') ==2С/(1+х*). Найти постоянный параметр С.273. Плотность распределения непрерывной случайнойвеличины X в интервале (О, я/2) равна f(x) = Cs\n2x;вне этого интервала /(х) = 0. Найти постоянный параметр С.21 А.
Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана в интервале (О, 1) равенством/(jc) = C-arctgx; вне этого интервала /(х) = 0. Найтипостоянный параметр С.§ 3. Числовые характеристикииепрерьюных случайных аеличииМатематическое ожидание непрерывной случа.Ыой величины X,возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяетсяра^нством0DЛ*(Х)= J xf(x)dx.94где f(x)—плотность распределения случайной величины X. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, Ь), тоьAf(X) = J*/(x)<U.аВсе свойства математического ожидания, указанные выше длядискретных случайных величин (см.
гл. IV, § 3), сохраняются и длянепрерывных величин.Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, возможныезначения которого принадлежат всей оси Ох, тоЛ11Ф(Х)1=5ip(x)f(x)6x.В частности, если возможные значения Xвалу (а, 6), тоьMlip(X)]^^V(x)f(x)dx.принадлежат интер(*)Если математическое ожидание М (X) существует и кривая распределения симметрична относительно прямой х = С , то М(Х)=^С.Модой MQ (Х) непрерывной случайной величины X называютто её возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределениеимеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.Медианой М^ (Х) непрерывной случайной величины X называютто ее возможное значение, которое определяется равенствомР1Х<М^ (X)] = Р [Х > М^ (X)].Геометрическиордината f (х)пределения.Дисперсиячения котороймедиану можно истолковать как точку, в которойделит пополам площадь, ограниченную кривой раснепрерывной случайной величины X, возможные знапринадлежат всей оси Ох, определяется равенством00D(X)= 5lx-M(X)]*f(x)dx.— 00или равносильным равенством00D(X)= 5x*f(x)dx-[M(X)]^.— воВ частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, Ь), тоb£)(X) = J l * - A f ( X ) l V W d * .а95ялиD{X) =^x*f(x)dx-lM(X)]KаВсе свойства дисперсии» указанные выше для дискретных случайных величин (см.
гл. IV» § 3), сохраняются и для непрерывныхвеличин.Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной еличины определяется так же, как и для дискретной величины:а(Х)=»/^ЩХ).Если К=ф(Х)—функция случайного аргумента X, причем воз*можные значения X принадлежат всей оси Ох, то0[ф(Х)1= J 1Ф(ДС)-Л1(Ф(ДСШ«/(*)«1*.— О»или00D [Ф (Д01 = J Ф» (*) / W <Ье- [А* [ф W11».— воВ частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, 6), тоbD [ф iX)\ = J 1Ф (Ж) - М 1Ф W J ] V W dJP.аилиbD [ф (X)J = J ф« (X) f (X) dx-lM [ф iX)\\K(••)Начальный теоретический момент порядка к непрерывной случайной величины X определяется равенствомVik =J x^f(x)dx.Центральный теоретический момент порядка к непрерывнойслучайной величины X определяется равенством!»*« Jlx-M{X)W(x)iix.В частности, если все возможные значения X принадлежат интервалу (а, 6), тоbbVik« J X*/ W djr.|iii= J 1х-М(Х)П(х) dx.aaОчевидво, что если k'ml, то У^ВМ(X).
|*1»0: если к^2, то96Центральные моменты выражаются через начальные моменты поформулам:2/X3 = V3-3v,V2 + 2v^,/Х4 = ^4—4v,V3+6v^V2—3vt.275. Спучайная величина X задана плотностью распределения f{x)^2x в интервале (О, I); вне этого интервала /(х)==0. Найти математическое ожидание величины X.Решение.Используем формулуhЛ! (Л) = J jr/(ж) djt.аПодставив я —О, 6 = 1 , /(x) = 2jr, получим1IM(X)^2\xx6x=-2о1^ jt«djr=-(2/3)jr4 = 2 / 3 .бо276.
Случайная величина X задана плотностью распределения /(л;)в(1/2)х в интервале (0; 2); вне этогоинтервала /(%)=:0. Найти математическое ожидание величины X.277. Случайная величина X в интервале (—с, с) задана плотностью распределения /(л:)=» 1/(лКс*—.v*); внеэтого интервала /(х) ==0. Найти математическое ожиданиевеличины X.bРешение.Используем формулу /И (X) == \ х/ (х) djr. Подставив а = — г , 6 = г, /(дг)=1/(л |/"с*—X*), получимсМ(^^'^**'*Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем»что интеграл равен нулю.
Следовательно, М (Х) = 0.Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямойjr=0.278. Случайная величина X задана плотностью вероятности (распределение Лапласа)/(.v)=(l/2)e-***. Найтиматематическое ожидание величины X.97279. Случайная величина X задана плотностыо распределения / (д:)|* с (;C* + 2JC) в интервале (О, 1): вне этогоинтервала f{x)^0. Найти: а) параметр с\ б) математическое ожидание величины X.280.
Найти математическое ожидание случайной величину Хр заданной функцией распределенияО приJC<0{х/4 при 0 < х < 4 ,1 приX > 4.Решение.Найдем плотность распределения величины X:О прих<0,{1/4 при 0 < х < 4 ,О приJC > 4.Найдем искомое математическое ожидание:44Л! (Х) = J хЦх) dx=r J jr.(l/4) cLc = 2.281. Случайная величина X» возможные значениякоторой неотрицательны, задана функцией распределенияF (х) -«1 — е - " (а > 0), Найти математическое ожиданиевеличины X.282* Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)m^{l/2)sinx в интервале (О, я); вне этогоинтервала /(jc)wO.
Найти математическое ожиданиефункции К — ф (X) — X* (не находя предварительно плотности распределения У).Р е ш е н и е , Воспользуемся формулой для вычисления математического ожидания функции ф (Х) от случайного аргумента X:ьагде а и {»*-гконцы интервала, в котором заключены возможные значения X. Подставляя <p(jr)=jc*, /(jc) = (l/2)sinx, а = 0, ^ = я и интегрируя По частям» окончательно получимпМ (Х^) ^~Г х« sin X dx=x (л«—4)/2.- ^ *283. Случайная величина X задана плотностью распределения f{x)^cosx в интервале (О, п/2); вне этогоинтервала /(л:)-«0. Найти математическое ожиданиефункции К —ф(Х)-||Х* (не находя предварительно плотности распределения К).284. Случайная величина X задана плотностью распределения /(л:)«л:+ 0,5 в интервале (О, 1)5 вне этогоинтервала /(х) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
