Главная » Просмотр файлов » В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 20

Файл №1115340 В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике) 20 страницаВ.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340) страница 202019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а = 10. Вероятность попада­ния X в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна веро­ятность попадания X в интервал (О, 10)?Р е ш е н и е . Так как нормальная кривая симметрична относи­тельно прямой д: = а = 1 0 , то площади, ограниченные сверху нор­мальной кривой и снизу—интервалами (О, 10) и (10, 20), равнымежду собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностямпопадания X в соответствующий интервал, тоЯ (О < JV < 10) = Р (10 < X < 20)==0,3.338. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а ^25.

Вероятность попа­дания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна веро­ятность попадания X в интервал (35, 40)?339. Доказать, чтоР ( | Х — а | < а О = 2Ф(0,т. е., что значение удвоенной функции Лапласа при за­данном / определяет вероятность того, что отклонение112X—а нормально распределенной случайной величины Xпо абсолютной величине меньше ot.У к а з а н и е . Использовать формулу Р (| X—а \ < 6) ==2Ф (6/0),положив б / а - - / .340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того,что абсолютная величина отклонения нормально распре­деленной случайной величины б>^дет меньше утроенногосреднего квадратического отклонения, равна 0,9973.У к а з а н и е .

Использовать решение задачи 339, положив / = 3.341. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием 0 = 1 0 и средним квадратическим отклонением а - ^ 5 . Найти интервал, симмет­ричный относительно математического ожидания, в кото­рый с вероятностью 0,9973 попадет величина X в ре­зультате испытания.342. Случайная величина X распределена нормальносо средним квадратическим отклонением а = 5 мм. Найтидлину интервала, симметричного относительно математи­ческого ожидания* в который с вероятностью 0,9973попадет X в результате испытания.343. Станок-автомат изготовляет валики, причем кон­тролируется их диаметр X.

Считая, что X—нормальнораспределенная случайная величина с математическиможиданием а = 1 0 м м и средним квадратическим откло­нением а = 0,1 мм, найти интервал, симметричный отно­сительно математического ожидания, в котором с веро­ятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленныхваликов.344. Нормально распределенная случайная величина Xзадана плотностьюНайти моду и медиану X.Р е ш е н и е . Модой Af© (X) называют то возможное значение X,при котором плотность распределения имеет максимум.

Легко убе­диться, что при х = а производная /' ( а ) = 0 ; при х < а производная/' (х) > О, при X > а производная /' (х) < 0; таким образом, точках = а есть точка максимума, следовательно, MQ(X)=^a,Медианой М^ (X) называют то возможное значение X, при ко­тором ордината / (х) делит пополам площадь, ограниченную кривойраспределения.

Так как нормальная кривая [график функции f (х)]симметрична относительно прямой jc = a, то ордината f (а) делитПЗпополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно,А!^(Х) = а.Итак, мода и медиана нормального распределения совпадаютс математическим ожиданием а.345. Случайная величина X распределена нормально»причем математическое ожидание а = 0 н среднее квадратическое отклонение равно а. Найти значение а, прикотором вероятность того, что X примет значение, при­надлежащее интервалу (а, Р) (а > О, р > а), будет наи­большей.У к а з а н и е .

Воспользоваться формулойР (а < X < Р) = Ф (Р/а)—Ф (а/о) =Э/аа/аУ^i1/-2Л Jнайти а из уравнения ф'(а)=:0.§ 6. Показательное распределениеи его числовые характеристикиПоказательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описы­вается плотностью/Опри д: < 0 ,. ,где X—постоянная положительная величина.Функция распределения показательного законапри JC < о»F(*)={. .-х,_:г(*•)^ при : гх^О.Вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случай*ной величины X, распределенной по показательному закону»-{.-VР{а<Х<6) = е - ^ — е - ^ .Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическоеотклонение показательного распределения соответственно равны:Л1(Х) = 1А, D(X) = 1A«, а ( Х ) = 1А.Таким образом, математическое ожидание и среднее квадрати­ческое отклонение показательного распределения равны между собой.346.

Написать плотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х==5.114Р е ш е н и е . Подставив л = 3 в соотношения (*) и (**), получимгпри X < О,о-5-^' при дс^О;/Оприх<0,г (л) = < ,^ ' \ 1 —е-5дг при х : > 0 .(347. Написать плотность п функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х,а=6,348. Найти параметр К показательного распределе­ния: а) заданного плотностью / {х)=0 при х < О, / (л:)==2е""^^при х^О; б) заданного функцией распределения F(x)=0при х < 0 и F(x) = l—е-^'*^ при х > 0 .349. Доказать, что если непрерывная случайная вели­чина X распределена по показательному закону, то вероят­ность попадания X в интервал (а, Ь) равна е*"^^—е"^Р е ш е н и е .

П е р в ы й с п о с о б . Пусть величина X заданафункцией распределения F{x)=^l—e-^ix^O),Тогда вероятностьпопадания X в интервал (а, Ь) (см. гл. VI, § 1)Р(а< X < b)^F(b)-^F (а) = [1 —е-^^] — [1 —е-^^] =е->^—е-^*.В т о р о й с п о с о б . Пусть величина X задана плотностью рас­пределения /(д:)=Хе-^-^ ( х ^ О ) . В этом случае (см. гл. VI, § 2)иа. -ч350. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону, заданному плотностьювероятности f(x) = 3e^^'^ при л'^О; при ;с<0 /(jc) = 0.Найти вероятность того, что в результате испытания Xпопадает в интервал (0,13, 0,7).Р е ш е н и е . Используем форм> луР(а< X < fc) = e-^«—е-^ь.Учитывая, что, по условию, а = 0,13, 6 = 0,7, А.

= 3, и пользуясьтаблицей значений функции е - * , получимР (0,13 < X < 0,7) = е-з.о.1з _е-з-о,7 =е-о.39^е-зД == 0,677—0,122 = 0,555.351. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону, заданному при х ^ Оплотностью распределения /(х) = 0,04-е""®'<>*-^; при х < 0функции f{x) = 0.

Найти вероятность того, что в резуль­тате испытания X попадает в интервал (1, 2).115S52. Непрерывная случайная величина X распреде­лена по показательному закону» заданному функциейраспределения F(x)= Г—е~®'** при JC^O; при х < 0F(jr) = 0. Найти вероятность того, что в результате ис­пытания X попадет в интервал (2, 5).353. Найти математическое ожидание показательногораспределенияf(jc) = Xe-^' (JC^O); /(х)=-0 (х < 0).Р е ш е н и е .

Используем формулувоM(X)==z \ xf (X) dx.—»Учитывая, что /(д:)-=гО при дг < О и /<дг)~Хе-^ при д:^О, получимо»—A.JC.X'iAf(X) = X Jx.e'^^Vr.оИнтегрируя по частям по формуле\ udv ^ wt» I — \ tfda.положив (/=^дг, (1у = е-*'*(1дг и выполнив выкладки, окончательно по­лучим Л1(Х) = 1/Х.Итак, математическое ожидание показательного распределенияравно обратной величине параметра X.354.

Найти математическое ожидание показательногораспределения, заданного при дс^О: а) плотностьюf (jc) = 5е-5*; б) функцией распределения F {х) — \ —е"®«^*.355. а) Доказать, что если непрерывная случайнаявеличина распределена по показательному закону, товероятность того, что X примет значение, меньшее мате­матического ожидания М{Х), не зависит от величиныпараметра Х; б) найти вероятность того, что Х> М (X).356. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическоеотклонение показательного распределения, заданногоплотностью вероятности: /(л-) = Хе"^^ при х^О; /(х)=«0при JC < 0.Р е ш е н и е , а) Используем формулуD(X)= J— 00116x*f{x)dx-lM(X)]\Учитывая, что / ( х ) = 0 при дг < О, М {Х)^]/Клучим(см.

задачу 35S), по­00ОИнтегрируя дважды по частям, найдемосоСледовательно, искомая дисперсият. е. дисперсия показательного распределения равна величине, об­ратной X*.б) Найдем среднее квадратическое отклонение:а(Л')= К Щ А ) =/ГД2==1Д.т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределе­ния равно величине, обратной Я.357.

Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного распределения, заданного плот­ностью вероятности /(х) == 10е~^®^ (л:^0).358. Найти дисперсию и среднее квадратическое от­клонение показательного закона, заданного функциейраспределения F {х) = 1 —е~^»^^ (х^ 0).359. Студент помнит, что плотность показательногораспределения имеет вил /(л)==0 при v < О, /(х)==Се"^^*при х^0\однако он забыл, чему равна постоянная С.Требуется найти С.У к а з а н и е .

Использовать свойство плотности распределения;— OD360. Найти теоретический центральный момент третьегопорядка Цз = Л1 [X — М (X)J^ показательного распределе­ния.У к а з а н и е . Использовать решения задач 353 и 356.361. Найти асимметрию ^, = |11я/о»(Х) показательногораспределения.У к а з а н и е . Использовать решения задач 356 и 360.117362. Найти теоретический центральный момент четвер­того порядка \1^ = М[Х — Л1 (X)]* показательного распре­деления.363. Найти эксцесс Е,^ = оЧ^Х)—^ показательного рас­пределения.364. Доказать, что непрерывная случайная величинаТ — время между появлениями двух последовательныхсобытий простейшего потока с заданной интенсивностью к(см.

гл. IV, § 2)—имеет показательное распределениеР е ш е н и е . Предположим, что в момент to наступило событие Atпотока. Пусть ti — to + t (рекомендуем для наглядности начертитьось времени и отметить на ней точки ^о и /i).Если хотя бы одно событие потока, следующее за событием At,произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (^о* hhнапример, в интервале (/Q» ti)t то время Т между появлениями двухпоследовательных событий окажется меньшим t, т. е. окажется, чтоТ <t.Для того чтобы найти вероятность Р (Т < / ) , примем во вни­мание, что события — «внутри интервала (/о# tf) появилось хотя быодно событие потока» и «внутри интервала (to, ti) не появилось ниодного события потока»—противоположны (сумма их вероятностейравна единице).Вероятность непоявления за время / ни одного события потокаP f ( 0 ) = -^—'—i = e-^^ Следовательно, интересующая нас веро­ятность противоположного события Р (Т < 0 = 1—е-^^, или [по оп­ределению функции распределения F(() = P(T<i)]имеем F{t) ==1—е-^^, что и требовалось доказать.365.

Задана интенсивность простейшего потока Х = 5.Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) сред­нее квадратическое отклонение непрерывной случайнойвеличины Т—времени между появлениями двух последо­вательных событий потока.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 364.366. На шоссе установлен контрольный пункт дляпроверки технического состояния автомобилей. Найтиматематическое ожидание и среднее квадратическое от­клонение случайной величины Т — времени ожиданияочередной машины контролером,— если поток машин про­стейший и время (в часах) между прохождениями машинчерез контрольный пункт распределено по показатель­ному закону /(/) = 5e"*^У к а з а н и е .

Время ожидания машины контролером и времяпрохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.118§ 7. Функция надежностиЭлементом называют некоторое устройство, независимо от того»«простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в мо­мент времени /о = 0, а в момент / происходит отказ. Обозначимчерез Т непрерывную случайную величину—длительность временибезотказной работы элемента, а через Я—интенсивность отказов (сред­нее число откззов в единицу времени).Часто длительность времени безотказной работы элемента имеетпоказательное распределение, функция распределения которогоf ( / ) = р (Г < / ) = !—е-^'(Х>0)определяет в е р о я т н о с т ь о т к а з а элемента за время длительностью /.Функцией надежности R (/) называют функцию, определяющуюв е р о я т н о с т ь б е з о т к а з н о й р а б о т ы элемента за времядлительностью /:^г(0=e-^^367.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6518
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее