В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а = 10. Вероятность попадания X в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания X в интервал (О, 10)?Р е ш е н и е . Так как нормальная кривая симметрична относительно прямой д: = а = 1 0 , то площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу—интервалами (О, 10) и (10, 20), равнымежду собой. Поскольку эти площади численно равны вероятностямпопадания X в соответствующий интервал, тоЯ (О < JV < 10) = Р (10 < X < 20)==0,3.338. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием а ^25.
Вероятность попадания X в интервал (10, 15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания X в интервал (35, 40)?339. Доказать, чтоР ( | Х — а | < а О = 2Ф(0,т. е., что значение удвоенной функции Лапласа при заданном / определяет вероятность того, что отклонение112X—а нормально распределенной случайной величины Xпо абсолютной величине меньше ot.У к а з а н и е . Использовать формулу Р (| X—а \ < 6) ==2Ф (6/0),положив б / а - - / .340. Вывести «правило трех сигм»: вероятность того,что абсолютная величина отклонения нормально распределенной случайной величины б>^дет меньше утроенногосреднего квадратического отклонения, равна 0,9973.У к а з а н и е .
Использовать решение задачи 339, положив / = 3.341. Случайная величина X распределена нормальнос математическим ожиданием 0 = 1 0 и средним квадратическим отклонением а - ^ 5 . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина X в результате испытания.342. Случайная величина X распределена нормальносо средним квадратическим отклонением а = 5 мм. Найтидлину интервала, симметричного относительно математического ожидания* в который с вероятностью 0,9973попадет X в результате испытания.343. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр X.
Считая, что X—нормальнораспределенная случайная величина с математическиможиданием а = 1 0 м м и средним квадратическим отклонением а = 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленныхваликов.344. Нормально распределенная случайная величина Xзадана плотностьюНайти моду и медиану X.Р е ш е н и е . Модой Af© (X) называют то возможное значение X,при котором плотность распределения имеет максимум.
Легко убедиться, что при х = а производная /' ( а ) = 0 ; при х < а производная/' (х) > О, при X > а производная /' (х) < 0; таким образом, точках = а есть точка максимума, следовательно, MQ(X)=^a,Медианой М^ (X) называют то возможное значение X, при котором ордината / (х) делит пополам площадь, ограниченную кривойраспределения.
Так как нормальная кривая [график функции f (х)]симметрична относительно прямой jc = a, то ордината f (а) делитПЗпополам площадь, ограниченную нормальной кривой. Следовательно,А!^(Х) = а.Итак, мода и медиана нормального распределения совпадаютс математическим ожиданием а.345. Случайная величина X распределена нормально»причем математическое ожидание а = 0 н среднее квадратическое отклонение равно а. Найти значение а, прикотором вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, Р) (а > О, р > а), будет наибольшей.У к а з а н и е .
Воспользоваться формулойР (а < X < Р) = Ф (Р/а)—Ф (а/о) =Э/аа/аУ^i1/-2Л Jнайти а из уравнения ф'(а)=:0.§ 6. Показательное распределениеи его числовые характеристикиПоказательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью/Опри д: < 0 ,. ,где X—постоянная положительная величина.Функция распределения показательного законапри JC < о»F(*)={. .-х,_:г(*•)^ при : гх^О.Вероятность попадания в интервал (а, Ь) непрерывной случай*ной величины X, распределенной по показательному закону»-{.-VР{а<Х<6) = е - ^ — е - ^ .Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическоеотклонение показательного распределения соответственно равны:Л1(Х) = 1А, D(X) = 1A«, а ( Х ) = 1А.Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.346.
Написать плотность и функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х==5.114Р е ш е н и е . Подставив л = 3 в соотношения (*) и (**), получимгпри X < О,о-5-^' при дс^О;/Оприх<0,г (л) = < ,^ ' \ 1 —е-5дг при х : > 0 .(347. Написать плотность п функцию распределенияпоказательного закона, если параметр Х,а=6,348. Найти параметр К показательного распределения: а) заданного плотностью / {х)=0 при х < О, / (л:)==2е""^^при х^О; б) заданного функцией распределения F(x)=0при х < 0 и F(x) = l—е-^'*^ при х > 0 .349. Доказать, что если непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, то вероятность попадания X в интервал (а, Ь) равна е*"^^—е"^Р е ш е н и е .
П е р в ы й с п о с о б . Пусть величина X заданафункцией распределения F{x)=^l—e-^ix^O),Тогда вероятностьпопадания X в интервал (а, Ь) (см. гл. VI, § 1)Р(а< X < b)^F(b)-^F (а) = [1 —е-^^] — [1 —е-^^] =е->^—е-^*.В т о р о й с п о с о б . Пусть величина X задана плотностью распределения /(д:)=Хе-^-^ ( х ^ О ) . В этом случае (см. гл. VI, § 2)иа. -ч350. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному плотностьювероятности f(x) = 3e^^'^ при л'^О; при ;с<0 /(jc) = 0.Найти вероятность того, что в результате испытания Xпопадает в интервал (0,13, 0,7).Р е ш е н и е . Используем форм> луР(а< X < fc) = e-^«—е-^ь.Учитывая, что, по условию, а = 0,13, 6 = 0,7, А.
= 3, и пользуясьтаблицей значений функции е - * , получимР (0,13 < X < 0,7) = е-з.о.1з _е-з-о,7 =е-о.39^е-зД == 0,677—0,122 = 0,555.351. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону, заданному при х ^ Оплотностью распределения /(х) = 0,04-е""®'<>*-^; при х < 0функции f{x) = 0.
Найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1, 2).115S52. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону» заданному функциейраспределения F(x)= Г—е~®'** при JC^O; при х < 0F(jr) = 0. Найти вероятность того, что в результате испытания X попадет в интервал (2, 5).353. Найти математическое ожидание показательногораспределенияf(jc) = Xe-^' (JC^O); /(х)=-0 (х < 0).Р е ш е н и е .
Используем формулувоM(X)==z \ xf (X) dx.—»Учитывая, что /(д:)-=гО при дг < О и /<дг)~Хе-^ при д:^О, получимо»—A.JC.X'iAf(X) = X Jx.e'^^Vr.оИнтегрируя по частям по формуле\ udv ^ wt» I — \ tfda.положив (/=^дг, (1у = е-*'*(1дг и выполнив выкладки, окончательно получим Л1(Х) = 1/Х.Итак, математическое ожидание показательного распределенияравно обратной величине параметра X.354.
Найти математическое ожидание показательногораспределения, заданного при дс^О: а) плотностьюf (jc) = 5е-5*; б) функцией распределения F {х) — \ —е"®«^*.355. а) Доказать, что если непрерывная случайнаявеличина распределена по показательному закону, товероятность того, что X примет значение, меньшее математического ожидания М{Х), не зависит от величиныпараметра Х; б) найти вероятность того, что Х> М (X).356. Найти: а) дисперсию; б) среднее квадратическоеотклонение показательного распределения, заданногоплотностью вероятности: /(л-) = Хе"^^ при х^О; /(х)=«0при JC < 0.Р е ш е н и е , а) Используем формулуD(X)= J— 00116x*f{x)dx-lM(X)]\Учитывая, что / ( х ) = 0 при дг < О, М {Х)^]/Клучим(см.
задачу 35S), по00ОИнтегрируя дважды по частям, найдемосоСледовательно, искомая дисперсият. е. дисперсия показательного распределения равна величине, обратной X*.б) Найдем среднее квадратическое отклонение:а(Л')= К Щ А ) =/ГД2==1Д.т. е. среднее квадратическое отклонение показательного распределения равно величине, обратной Я.357.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности /(х) == 10е~^®^ (л:^0).358. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного закона, заданного функциейраспределения F {х) = 1 —е~^»^^ (х^ 0).359. Студент помнит, что плотность показательногораспределения имеет вил /(л)==0 при v < О, /(х)==Се"^^*при х^0\однако он забыл, чему равна постоянная С.Требуется найти С.У к а з а н и е .
Использовать свойство плотности распределения;— OD360. Найти теоретический центральный момент третьегопорядка Цз = Л1 [X — М (X)J^ показательного распределения.У к а з а н и е . Использовать решения задач 353 и 356.361. Найти асимметрию ^, = |11я/о»(Х) показательногораспределения.У к а з а н и е . Использовать решения задач 356 и 360.117362. Найти теоретический центральный момент четвертого порядка \1^ = М[Х — Л1 (X)]* показательного распределения.363. Найти эксцесс Е,^ = оЧ^Х)—^ показательного распределения.364. Доказать, что непрерывная случайная величинаТ — время между появлениями двух последовательныхсобытий простейшего потока с заданной интенсивностью к(см.
гл. IV, § 2)—имеет показательное распределениеР е ш е н и е . Предположим, что в момент to наступило событие Atпотока. Пусть ti — to + t (рекомендуем для наглядности начертитьось времени и отметить на ней точки ^о и /i).Если хотя бы одно событие потока, следующее за событием At,произойдет в интервале, заключенном внутри интервала (^о* hhнапример, в интервале (/Q» ti)t то время Т между появлениями двухпоследовательных событий окажется меньшим t, т. е. окажется, чтоТ <t.Для того чтобы найти вероятность Р (Т < / ) , примем во внимание, что события — «внутри интервала (/о# tf) появилось хотя быодно событие потока» и «внутри интервала (to, ti) не появилось ниодного события потока»—противоположны (сумма их вероятностейравна единице).Вероятность непоявления за время / ни одного события потокаP f ( 0 ) = -^—'—i = e-^^ Следовательно, интересующая нас вероятность противоположного события Р (Т < 0 = 1—е-^^, или [по определению функции распределения F(() = P(T<i)]имеем F{t) ==1—е-^^, что и требовалось доказать.365.
Задана интенсивность простейшего потока Х = 5.Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение непрерывной случайнойвеличины Т—времени между появлениями двух последовательных событий потока.У к а з а н и е . Использовать решение задачи 364.366. На шоссе установлен контрольный пункт дляпроверки технического состояния автомобилей. Найтиматематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Т — времени ожиданияочередной машины контролером,— если поток машин простейший и время (в часах) между прохождениями машинчерез контрольный пункт распределено по показательному закону /(/) = 5e"*^У к а з а н и е .
Время ожидания машины контролером и времяпрохождения машин через контрольный пункт распределены одинаково.118§ 7. Функция надежностиЭлементом называют некоторое устройство, независимо от того»«простое» оно или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени /о = 0, а в момент / происходит отказ. Обозначимчерез Т непрерывную случайную величину—длительность временибезотказной работы элемента, а через Я—интенсивность отказов (среднее число откззов в единицу времени).Часто длительность времени безотказной работы элемента имеетпоказательное распределение, функция распределения которогоf ( / ) = р (Г < / ) = !—е-^'(Х>0)определяет в е р о я т н о с т ь о т к а з а элемента за время длительностью /.Функцией надежности R (/) называют функцию, определяющуюв е р о я т н о с т ь б е з о т к а з н о й р а б о т ы элемента за времядлительностью /:^г(0=e-^^367.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
