В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 24
Текст из файла (страница 24)
10.Рекомендуем для контроля убедиться, что площадь, ограничен*ная кривой распределения g(z), равна единице.406. Заданы плотности равномерно распределенныхнезависимых случайных величин X и Y: Д (х) == 1 в интервале (О, 1), вне этого интервала f^ {х) == 0; /^ (у) == 1 в интервале (О, 1), вне этого интервалаfi{y)^0.Рис. 10Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z = X+Y.Построить график плотности распределения ^^(г).407. Заданы плотности распределений равномернораспределенных независимых случайных величин X и У^:/I(JK:)=S1/2 В интервале (1,3), вне этого интервала^i(^)^0; /2(1/)== 1/4 в интервале (2,6), вне этого интервала /^ (у) = 0 .
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z^X + Y.Построить график плотности распределения g{z).Глава восьмаяСИСТЕМА ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН§ 1 . Закон распределения двумерной случайнойвеличиныДвумерной называют случайную величину (X, К), возможныезначения которой есть пары чисел (JC, у). Составляющие X и У,рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайныхвеличин.Двумерную величину геометрически можно истолковать как случайную точку М {X; У) на плоскости хОу либо как случайныйвектор ОМ.Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.Непрерывной называют двумерную величину, составляющиекоторой непрерывны.Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и ихвероятностями.137Закон распределения дискретной двумерной случайной величиныможет быть задан: а) в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности; б) аналитически, например в виде функции распределения.Функцией распределения вероятностей двумерной случайнойвеличины называют функцию F (х, у), определяющую для каждойпары чисел (х, у) вероятность того, что X примет значение, меньшееX, и при этом Y примет значение, меньшее у:F{x, у)=гР{Х <х, У <у).Геометрически это равенство можно истолковать так: F (х, у) естьвероятность того, что случайная точка (X, У) попадет в бесконечный квадрант с вершиной (х, у), расположенный .левее и ниже этойвершины.Иногда вместо термина «функция распределения» используюттермин «интегральная функция».Функция распределения обладает следующими свойствами:С в о й с т в о 1.
Значения функции распределения удовлетворяютдвойному неравенству0<F(x, I/X1.С в о й с т в о 2. Функция распределения есть неубывающаяфункция по каждому аргументу:Р{Х2, y)^f(xuу), если Х2 > Xi,f (х, У2) ^ f {х, !/i), если У2 > Уг.С в о й с т в о 3. Имеют место предельные соотношения:1) F ( ~ o o , (/)=0,2) F(x, ~ с о ) = 0 ,3) /="(—00, — оо) = 0,4) F(oo, оо) = 1.С в о й с т в о 4. а) При у=оо функция распределения системыстановится функцией распределения составляюш,ей X:F(x, оо) = Л ( х ) .б) При X = 00 функция распределения системы становитсяфункцией распределения составляющей У:^(00»i/)=^2(l/)-Используя функцию распределения, можно найти вероятностьпопадания случайной точки в прямоугольник Xi < X < Хг,У1<У < У2'Р(хг<Х<Х2, У1<У < У2) == [F {Х2.
У2) —F {Хи У2)] —— {Р{Х2> yi) — F(xu yi)]'Плотностью совместного распределения вероятностей (двумернойплотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называют вторую смешанную производную от функции распределения:f^^'^y^дхду•Иногда вместо термина «двумерная плотность вероятности»используют термин «дифференциальная функция системы».Плотность совместного распределения можно рассматривать какпредел отношения вероятности попадания случайной точки в прямо138угольник со сторонами Лд: и Л^ к площади этого прямоугольника,когда обе его стороны стремятся к нулю; геометрически ее можноистолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения*Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения по формулеуXF(x.y)^ S S /<^' y)dxdy.Вероятность попадания случайной точки (Х» Y) в область Dопределяется равенствомР[(Х, K)c:D] = 55/(x, y)dxdy.Ф)Двумерная плотность вероятности обладает следующими свой*ствами:С в о й с т в о 1.
Двумерная плотность вероятности неотрицательна:fix,У)^0.С в о й с т в о 2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности вероятности равен единице:5 J f{x,y)iixuy=^\.— ао—00В частности, если все возможные значения (X, Y) принадлежатконечной области D, то^\f(x,y)ux6y=^\.(D)408, Задано распределение вероятностей дискретнойдвумерной случайной величины:XY3450,170,10100.130,30120,250,05Найти законы распределения составляющих X и Y.Р е ш е н и е . Сложив вероятности «по столбцам», получим вероятности возможных значений X: р (3) =0,27, р (10) = 0 , 4 3 , р (12)=0,30.Напишем закон распределения составляющей X:X31012р0,270,430,30К о н т р о л ь : 0 , 2 7 + 0 , 4 3 + 0 , 3 0 = 1.Сложив вероятности «по строкам», аналогично найдем распределение составляющей Y:К45р0,550,45139К о н т р о л ь : 0,55 + 0,45 = 1.409. Задано распределение вероятностей дискретнойдвумерной случайной величины:Xу2,32.720304 1500.050.090,120.300,080,110.040.21Найти законы распределения составляющих.410.
Задана функция распределения двумерной случайной величиныI sin А'-sin г/ при 0^x^nl2,О^у^п/2,F (X, у)^\О при X <0или у <0.Найти вероятность попадания случайной точки (X, У)в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 0, дг = я/4,у==я/6, х/ = л/3.Р е ш е н и е . Используем формулуР (X, < X < Х2, У1 < У < Уг) = [^ (^^2. У^ — Р К^ъ Уг)\ —--1^(^2» У\) — ^{^ъ y\)VПоложив Jfi"0, дс2 = -^4э |/1=л/6, У2 = л/3, получимя = [sill (л/4) sin (л/3)-—sin О sin (л/3)|-—— [sin (Л/4) -sin (л/6) —sin 0-sin (л/6)] = ( / б " — К^)/4 =-0.26.411. Найти вероятность попадания случайной точки(Х,У) в прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1 ,х==2, у = 3, 1/ = 5, если известна функция распределенияI 1 — 2-^—2-^ + 2-^-*' при х > 0 , 1/>0,F (х, у)\ Опри л < О или t/ < 0.412.
Задана функция распределения двумерной случайной величины( 1—3-^—3-^4-3-^-*' при лг^О, г / > 0 ,Fix. у)^\ Опри X <0 или у <0.Найти двумерную плотность вероятности системы.Р е ш е н и е . Используем формулу / (х, у) = —— , Найдем частные производные:дх140^" дхдуИтак, искомая двумерная плотность вероятности/ (^, У) — I ^при JC < О или у<0,Рекомендуем читателю для контроля убедиться, что00 001п«3 f Г 3-'-ydA:dy=I.о о413. Задана функция распределения двумерной случайной величиныI (1—е-*^)(1—е-*^) при А : > 0 , у > 0 ,^(^» У)->^ Qпри А : < 0 , i / < 0 .Найти двумерную плотность вероятности системы (X, Y).414.
Задана двумерная плотность вероятности системыслучайных величин (X, Y)...20/ (Х. У) — „2 (16Н-А:2) ( 2 5 + У « ) •Найти функцию распределения системы.Указание.Использовать формулууX— во — о »415. Задана двумерная плотность вероятности системыдвух случайных величин: f (х, у) = (1/2)-sin{х-^-у) в квадрате О :С л: ^ я/2, О ^ у ^ я/2; вне квадрата / (л:, у) = 0.Найти функцию распределения системы (X, К).416. В круге л:^+У^^^^ двумерная плотность вероятности f{x, y)=C(R — Vx^ + y^)\ вне круга f{x,y) = 0.Найти: а) постоянную С; б) вероятность попадания случайной точки (X, К) в круг радиуса г==1 с центромв начале координат, если /? = 2.Р е ш е н и е , а) Используем второе свойство двумерной плотности вероятности:J J С (/?—К^^Н^) <^^ d|/ = l.(О)ОтсюдаС = 1 Д J (/?- }^х^ + у^) dx dy.(О)141Перейдя к полярным координатам» получим2яRC = l / J d9 5(/?-p)pdp=3/(«/?»).о об) По условию» R^2; следовательно, С=д/(8л) я/ (Дг.
У) = (3/8л) ( 2 - )/ж«+у«).Вероятность попадания случайной точки (X, К) в круг радиусаге=1 с центром в начале координат (область D])Р ИХ. Y) с Dil =(3/8л) 5 J ( 2 - Vx^+y^) dx6y.Перейдя к полярным координатам, окончательно получим искомуювероятность:2я1P = (3/8n)J dq) J (2-р)р dp = 1/2.Оо417« Поверхность распределения системы случайныхвеличин (X, Y) представляет собой прямой круговойконус, основание которого—круг с центром в началекоординат. Найти двумерную плотность вероятностисистемы.У к а з а н и е .
Перейти к полярным координатам.418. Задана двумерная плотность вероятности f{x, у)==C/r(9+^)(16+y*)J системы (X, К) двух случайныхвеличин. Найти постоянную С.419« Задана двумерная плотность вероятности f(x^y)=«=C/(x*+V + l)* системы случайных величин (X, Y).Найти постоянную С.У к а з а н и е . Перейти к полярным координатам.420. В первом квадранте задана функция распределения системы двух случайных величин:F(x.y)=^= 1 +2"'—г'^+г"'"^; вне первого квадранта F(JC, > ' ) = 0 . Найти: а)двумерную плотность вероятности системы; б) вероятность попадания случайной точки {X, Y) в треугольник с вершинами А (1; 3),5(3; 3), С(2; 8).§ 2. Условные законы распределения вероятностейсоставляюи|их дискретной двумерной случайнойПусть составляющие X и К дискретны и имеют соответственноследующие возможные значения: х^ Xt» •*•* Хп$ у и Уг* •••^Ут*Условным распределением составляющей X при Y^yj (/ сохраняет одно и то же значение при всех возможных значениях Л) на142зывают совокупность условных вероятностейР {Ч I Уу), Р (Х2 I У/)Р(Хп\ У/)'Аналогично определяется условное распределение Y.Условные вероятности составляющих X и Y вычисляют соответственно по формулам, , , Р (Xi, У/), , .
Р (^i' yj)Для контроля вычислений целесообразно убедиться, что суммавероятностей условного распределения равна единице.421. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y)\XY^1 = 0 , 41/2 = 0 , 8;с, = 2;г, = 5дг,=80,150,050,300,120,350,03Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющейX при условии, что составляющая Y приняла значениеi/i==0,4; в) условный закон распределения У при условии,чтоХ = А:2 =5.Р е ш е н и е , а) Сложив вероятности «по столбцам», напишемзакон распределения X:X258р 0,20 0,42 0,38Сложив вероятности «по строкам», найдем закон распределения у:У 0,40,8р 0,80 0,20б) Найдем условные вероятности возможных значений X приусловии, что составляющая Y приняла значение yi = 0,4:Р (xi I yi)==p{xi, yi)/p (^0 = 0,15/0,80 = 3/16,Р ix2 \yi) = P (X2, yi)/P (Ух) = 0,30/0,80 = 3/8,P (^3 \yi) = P (Хз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
