В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 27
Текст из файла (страница 27)
л1, § 1) или метод сумм (см. гл. XI, § 2).450. Из гене{>альной совокупности извлечена выборкаобъема п = 50:варианта Х/ 2 5 7 10частота П/ 16 12 8 14Найти несмещенную оценку генеральной средней.158Р е ш е н и е . Несмещенной оценкой генеральной средней являетсявыборочная средняяЗгв = ( 2 л / Х / ) / л = (16.2 + 1 2 .
б + 8 . 7 + 1 4 . 1 0 ) / 5 0 = 5Д6.451. Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема п=«60:х^ 1 3 6 26п^ 8 40 10 2Найти несмещенную оценку генеральной средней.452. Задано распределение первоначальных вариантвыборки объема п:Доказать, чтоХ|Xitil^ i ^ s • • • ^kХ^ • • • Xffгде условные варианты Ui — x^—С.Р е ш е н и е . Так как щ=Х1—С, то Л|и/ = п/(Х|-—С); суммируялевую и правую части равенства по всем значениям /» получим2л/«^1=»2'*/(^/~"^)» ^^^Отсюда^niUi^^niXi—C^ni^^^niXi—Cn.Следовательно,(^niXi)ln^=:C + (^niUi)ln,или Хв=С + ( 2 л / « | ) / я .что и требовалось доказать.453. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п=10:Xi 1250 1270 1280П; 253Р е ш е н и е .
Первоначальные варианты—большие числа, поэтомуперейдем к условным вариантам. щ=Х1 —1270. В итоге получимраспределение условных вариант:щ —20 О 10Л/2 5 3Найдем искомую выборочную среднюю:454. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема п = 20:X, 2560 2600 2620 2650 2700п,231041159У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам м/ =jc/—2620.455. По выборке объема /г = 41 найдена смещеннаяоценка D„ = 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.Р е ш е н и е . Искомая несмещенная оценка равна исправленнойдисперсии:S^ == - ^ DB = ~ -3 = 3,075.456. По выборке объема л = 51 найдена смещеннаяоценка DB = 5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.457. В итоге пяти измерений длины стержня однимприбором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106.
Найти:а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочнуюи исправленную дисперсии ошибок прибора.Р е ш е н и е , а) Найдем выборочную среднюю:i ^ = 9 2 + ( 0 - b 2 + n + 13 + 14)/5-=92-h8 = 100.б) Найдем выборочную дисперсию:.=[(92—100)* + (94-~ 100)2+(103—100)2]/5+Оя+ [(105 —100)«-!- (J06—100)2]/5 = 34.Найдем исправленную дисперсию:п —1D B = ^ - 3 4 = 42,5.458. В итоге четырех измерений некоторой физическойвеличины одним прибором (без систематических ошибок)получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти:а) выборочную среднюю результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.459, Ниже приведены результаты измерения роста(в см) случайно отобранных 100 студентов.Рост 154—I58|l58—162 162—166 166—170 170—174 174—178| 178—182Числостудентов101426281282Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсиюроста обследованных студентов.У к а з а н и е .
Найти середины интервала и принять их в качестве вариант.160460. Найти выборочнуюпределению выборки объемаXi 186Ai,. 2дисперсию по данному рас/г=10:192 19453Р е ш е н и е . Варианты—сравнительно большие числа, поэтомуперейдем к условным.вариантам Uf^^Xi—191 (мы вычли из вариантчисло С = 191, близкое к выборочной средней).
В итоге получимраспределение условных вариант:UiЛ/—521 35 3Найдем искомую выборочную дисперсию:— [(2. (—5) + 5 1 + 3 - 3 ) / 1 0 ] 2 = 8,2—0,16 = 8,04.461. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема л = 1 0 0 :Х; 340 360 375 380п,. 20501812У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам а/ =д:/—360.462. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 1 0 0 :Xi 2502 2804 2903 3028rii830602У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui = Xi—2844.463.
Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 1 0 :Xi 0,01 0,04 0,08п,.532Р е ш е н и е . Для того чтобы избежать действий с дробями,перейдем к условным вариантам а,==100х/. В итоге получим распределениеUi 1 4 8л/ 5 3 2Найдем выборочную дисперсию условных вариант:Ов (и) = ( S «,«?)/л-[(2 л,«,)/«]^Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получимDB(«) = 7,21.Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант:DB(A:) = DB(W)/1002 =7,21/10 000 = 0.0007.161464. Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема /г = 50:xi 0,1 0,5 0,6 0,8rii 515 20 10У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам U{ = \Ox{.465.
Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема п = 50:Xi 18,4 18,9 19,3 19,6Л; 5102015У к а з а н и е . Перейти к условным вариантам Ui^=\Oxi—195.466. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки /г = 10:Xi 102 104 108/г^ 235Р е ш е н и е . Перейдем к условным вариантамut^Xi—104.В итоге получим распределение«/ —2 О 4/I/2 3 5Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:^"1Г^\•Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объемвыборки, получим 5^=6,93.'Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то жепосюянное число С = 1 0 4 , поэтому дисперсия не изменилась, т. е.искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: ^х'^^^ ==6,93.467. Найти исправленную выборочную дисперсиюпо данному распределению выборки объема п = 100:Xi 1250 1275 1280 1300п^ 2025505У к а з а н и е .
Перейти к условным вариантам Ui^=^Xi—1275.4в8, Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема п=\0:Xi 0,01 0,05 0,09П/235Р е ш е н и е . Для того чтобы избежать действий с дробями, перейдем к условным вариантам а/=: lOOx/. В итоге получим распределение<// 1 5 9п/ 2 3 5162Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант^==7Г=Г1Подставив в згу формулу данные задачи, получимs ^ ^ 10,844.Найдемвариант:искомуюисправленнуюдисперсиюпервоначальных4 =л^ /100*» 10,844/10 000 с^ 0,0085.469. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема /1 — 20:Xi 0,1 0,5 0,7 0,9П/ 612 11У к а з а н и е .
Перейти к условным вариантам а/»Юдг/.470. Найти исправленную выборочную дисперсию поданному распределению выборки объема п = 10:х^ 23,5 26,1 28,2 30,4п^ 2341Указание.Перейти к условным вариантам UisЮдг/ —268.§ 2. Метод момеитовМетод моментов т о ч е ч н о й о ц е н к и неизвестных параметровзаданного распределения состоит в приравнивании теоретическихмоментов соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.Если распределение определяется о д н и м п а р а м е т р о м » тодля его отыскания приравнивают один теоретический момент одномуэмпирическому моменту того же порядка.
Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: Vi=sAfx. Учитывая,1ITO Vi=sM(X) и Aii=XB, получимМ(Х)-1,.(•)Математическое ожидание является функцией от неизвестного параметра заданного распределения, поэтому, решив уравнение (*)относительно неизвестного параметра, тем самым получим его точечную оценку.Если распределение определяется д в у м я п а р а м е т р а м и , топриравнивают два теоретических момента двум соответствующим эмпирическим моментам того же порядка.
Например, можно приравнять начальный теоретический момент первого порядка начальномуэмпирическому моменту первого порядка и центральный теоретический момент второго порядка центральному эмпирическому моментувторого порядка:163Учитывая, что Vi=M(X),Mi^x^,^i2=Z)(X), та==Ов, имеем\ D ( X ) = DB.Левые части этих равенств являются функциями от неизвестныхпараметров, поэтому, решив систему (**) относительно неизвестныхпараметров, тем самым получим их точечные оценки.Разумеется, для вычисления выборочной средней дсв и выборочной дисперсии DB надо располагать выборкой Xi, Хг, ...,л:„.471. Случайная величина X распределена по законуПуассонагде m—число испытаний, произведенных в одном опыте;Х/—число появлений события в t-м опыте.Найти методом моментов по выборке х^, AT^, . .
. • х„точечную оценку неизвестного параметра Я, определяющего распределение Пуассона.Р е ш е н и е . Требуется оценить один параметр, поэтому достаточно иметь одно уравнение относительно этого параметра. Приравняем начальный теоретический момент первого порядка V] начальному эмпирическому моменту первого порядка Afi:Vi=Mi.Приняв во внимание, что Vi==Al(X), Mi = x'^, получим Л1(Х) = дг^1.Учитывая, что математическое ожидание распределения Пуассонаравно параметру к этого распределения (см.
задачу 207), окончательно имеемk=Xji.Итак, точечной оценкой параметра X распределения Пуассонаслужит выборочная средняя: Х*=дгв.472. Случайная величина X (число семян сорняков впробе зерна) распределена по закону Пуассона. Нижеприведено распределение семян сорняков в п = 1000 пробах зерна (в первой строке указано количество х^ сорняков в одной пробе; во второй строке указана частота/I/—число проб, содержащих х^ семян сорняков):л:,.О123456п^ 405 366 175 40842Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона•У к а з а н и е . Использовать решение задачи 471.473.
Случайная величина X (число нестандартныхизделий в партии изделий) распределена по закону Пу164ассона. Ниже приведено распределение нестандартныхизделий в п = 200 партиях (в первой строке указаноколичество л:,- нестандартных изделий в одной партии;во второй строке указана частота м,- — число партий,содержащих Xi нестандартных изделий):АГуО1234rii132 4320 32Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.474. Найти методом моментов по выборке Xj, х^, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
