В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Найти производную,^ *2. Приравнять производную нулю и найти критическую точку0*— корень полученного уравнения (его называют уравнениемправдоподобия).о 1л *dMn03. Найти вторую производную.^д ; если вторая произэоднаяпри 0 = 0* отрицательна, то 0*—точка максимума.Найденную точку максимума 0* принимают в качестве оценкинаибольшего правдоподобия параметра 0 .Б. Непрерывные случайные величины. Пусть X—непрерывнаяслучайная величина, которая в результате п испытаний принялазначения Хи Х2, .
. . , ж„. Допустим, что вид плотности распределения—функции f {х) — задан, но неизвестен параметр 0 , которым определяется эта функция.Функцией правдоподобия непрерывной случайной величины Xназывают функцию аргумента 0 :L(;fi, Jfa, - . . , Jf«; B)==f(xu ^)f(X2\ e)...f{x„;0).Оценку наибольшего правдоподобия неизвестного параметрараспределения непрерывной случайной величины ищут так же, какв случае дискретной случайной величины.Если плотность распределения f(x) непрерывной случайнойвеличины определяется двумя неизвестными параметрами 0 i и 02,то функция правдоподобия есть функция двух независимых аргументов 02 и 02:L = f{Xi; 0 1 , 02)-/(-^25 ^1» ^2)* • 'f {^п* ©It ®а)-Далее находят логарифмическую функцию правдоподобия и дляотыскания ее максимума составляют и решают системуdlnL489.
Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р (вероятность170появления события в одном испытании) биномиальногораспределения:тле Х(—число появлений события в I-M опыте, т—количество испытаний в одном опыте, п—число опытов.Р е ш е н и е . Составим функцию правдоподобия:L=-p{xt; е)р(х2\е)...р(хп;в).Учитывая, что В=ри Р {X=Xi)=C^p^^(I—р)'""*', получимИЛИL^iC^^C^f. . . C^n\.pXt+Xt+ ,,,+Xn,^ip^nm^{Xt+Xt+ ..,-¥Xn)Напишем логарифмическую функцию правдоподобия:\nL=^\n\C';^C^^...C^^\+{^Xi)\np^{nm-^^x^Найдем первую производную по р:dpр^^^d 1' I — рПриравняв первую производную нулю и решив полученное уравнение, получим критическую точкур==(2дг/)/(пт).Найдем вторую производную по р:Легко убедиться, что при p=\^Xi)l{nm)вторая производнаяотрицательна; следовательно, эта точка есть точка максимума и еенадо принять в качестве оценки наибольшего правдоподобия неизвестной вероятности р биномиального распределения:Р*=(.2л:/)/(пт).Очевидно, что если Х{ появлений события наблюдалось в гцопытах, тор»=(2п/д?/)/(лт).490.
Случайная величина X (число появлений события А ъ т независимых испытаниях) подчинена биномиальному закону распределения с неизвестным параметром р. Ниже приведено эмпирическое распределениечисла появлений события А в 1000 испытаний (в первой строке указано число лг/ появлений события в одномопыте из т = 1 0 испытаний, во второй строке приведеначастота П/—число опытов, в которых наблюдалось х^171появлений события А):jc;012 3 45 6 7/г,. 2 3 10 22 26 20 12 5Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра р биномиального распределения.Указание.Использовать задачу 489.491. Случайная величина X (число появлений события А в / п независимых испытаниях) подчинена законураспределения Пуассона с неизвестным параметром К:Р , ( Х = х,) = Я^^-е-^л:,!,где т—число испытаний в одном опыте, х^—число появлений события в t-M опыте ( / = 1 , 2, .
. . , м).Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке Xi, jCg, . . . , х„ точечную оценку неизвестного параметра к распределения Пуассона.492. Случайная величина X (число поврежденныхстеклянных изделий в одном контейнере) распределенапо закону Пуассона с неизвестным параметром Я. Нижеприведено эмпирическое распределение числа поврежденных изделий в 500 контейнерах (в первой строкеуказано количество х^ поврежденных изделий в одномконтейнере, во второй строке приведена частота П/ —число контейнеров, содержаш.их х^ поврежденных изделий):А:,.
О1 2 3 4 5 6 7/г,. 199 169 87 31 9 3 1 1Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра X распределения Пуассона.Указание.Использовать задачу 491.493. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xj^y ^2, . . . , х^ точечную оценку неизвестногопараметра X показательного распределения, плотностькоторого / (х) == Хе- ^-^ (х ^ 0).Решение.Составим функцию правдоподобияL^f(xг;e)•f{x2^e)...f{Xn;в),учитывая, что в = Х и, следовательно, f (х; 0)=/(дг; Х)=Ле""^^:L = (Xe-^^0(>^e-^^') .
. . (>^е-^^«) = Я«.е~^2^|172Найдем логарифмическую функцию правдоподобияхIn L = « In Я,—к ^ j Xf,Найдем первую производную по X:-—.=n/X-2jX,:Запишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первуюпроизводную нулю: п/Х—^Xi = 0, Найдем критическую точку, длячего решим полученное Уравнение относительно к:Найдем вторую производную по X:dMnLdA,2(-«)А^Легко видеть, что при Я, = 1/Хв вторая производная отрицательна;следовательно, эта точкг^ есть точка максимума и, значит, в качестве оценки наибольшего правдоподобия надо принять величину,обратную выборочной средней: А,* = 1Дв-494.
Случайная величина X (время безотказной работыэлемента) имеет показательное распределение f {х) = Ке'^(х^О),Ниже приведено эмпирическое распределениесреднего времени работы 1000 элементов (в первой строкеуказано среднее время х^ безотказной работы одногоэлемента в часах; во второй строке указана частотап,.—количество элементов, проработавших в среднем Jt^часов):Х( 5 15 25 35 45 55 65п,. 365 245 150 100 70 45 25Найти методом наибольшего правдоподобия точечнуюоценку неизвестного параметра К показательного распределения.Указание.Использовать задачу 493.495. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xi, ^2, .
. . э х„ точечную оценку параметра р гаммараспределения (параметр а известен), плотность которого/(х) ==——-iл^е~^/Р ( а > — 1 , р > 0 , А : > 0 ) .496. Устройство состоит из элементов, время безотказной работы которых подчинено гамма-распределению.Испытания пяти элементов дали следующие наработки173(время работы элемента в часах до отказа): 50, 75, 125,250, 300. Найти методом наибольшего правдоподобияточечную оценку одного неизвестного параметра Э гаммараспределения, если второй параметр этого распределения а= 1,12.У к а з а н и е .
Использовать задачу 495.497. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке д^1, x^f ...» Хп точечную оценку параметра ргеометрического распределения:Р ( Х = л:,) = (1-рГ/-"^.р,где Xi—число испытаний, произведенных до появлениясобытия; р — вероятность появления события в одномиспытании.498.
Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке ^1, х,, . . . , х„ точечную оценку параметра а(параметр а известен) распределения Кэптейна, плотность которогоаУ 2пгде g{x)—дифференцируемая функция.499. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке JCj, дгд, . . . , Хп точечную оценку параметра о(параметр а известен) распределения Кэптейна (см.задачу 498).500. Найти методом наибольшего правдоподобия повыборке Xj, Хд, .
. . , х„ точечные оценки параметров а ио нормального распределения, плотность которого/ (х) = —i=e-<*-«>V(2o«).Указание.Составить и решить системуд\пЬ^ д\п1^§ 4. Интервальные оценкиИнтервальной называют оценку, которая определяется двумячислами—концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью у покрывает заданный параметр.1.
Интервальной оценкой (с надежностью у) математическогоожидания а нормально распределенного количественного признака Xпо выборочной средней х^ п р и и з в е с т н о м с р е д н е м к в а д 174р а т и ч е с к о м о т к л о н е н и и а генеральной совокупности служит доверительный интервалХп — < (о/ Vn) <а< 3^в+ t (о/ }Гп),где t {а/Уп)=:б—точностьоценки, п—объем выборки, t — значение аргумента функции Лапласа Ф (t) (см. приложение 2), при котором Ф (О = Y/2; п р и н е и з в е с т н о м а (и объеме выборки /г < 30)^в —^v (s/Vn) <а < x^ + tyls/Уп),где S—«исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, t находят по таблице приложения 3 по задан]ным п и у.2. Интервальной оценкой (с надежностью у) среднего квадратического отклонения а нормально распределенного количественногопризнака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению s служит доверительный интервал$(1 —(7) <о < s(\+q)(при q < 1),О < о < 5 ( 1 + ^ ) (при д > 1),где q находят по таблице приложения 4 по заданным п и у.3.
Интервальной оценкой {с надежностью у) неизвестной вероятности р биномиального распределения по относительной частоте wслужит доверительный интервал (с приближенными концами pi и ра)Pi < Р < Р2»гдегде п—общее число испытаний; т — число появлений события; w —относительная частота, равная отношению т/п; t — значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором Ф(t)=^y/2(у — заданная надежность).З а м е ч а н и е . При больших значениях п (порядка сотен)можно принять в качестве приближенных границ доверительногоинтервала. т/^а;(1—о/), . т/^а/(1—w)Pi==W"^i у-i-jj'-, p^^w + i у- ^i.501.
Найти доверительный интервал для оценкис надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение а = 5, выборочная средняя х^= 14и объем выборки п = 25.Р е ш е н и е . Требуется найти доверительный интервалУ пу п175Все величины, кроме t, известны. Найдем / из соотношенияф ( / ) = 0 , 9 5 / 2 = 0 , 4 7 5 . _ По таблице приложения 2 находим ^ = 1,96.Подставив / = 1,96, Зсв = 14, а = 5 , л = 2 5 в (*), окончательно получим искомый доверительный интервал 12,04 < а < 15,96.502.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
