В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В оставшихся незаполненными под нулем клетках третьего столбца (исключая самуюнижнюю) запишем последовательно накопленные частоты: 5; 5 + 7 = 12;124-8 = 20; 2 0 + 1 8 = 38; сложив все накопленные частоты, получимчисло ai = 75, которое поместим в нижнюю клетку третьего столбца;5) аналогично заполняется четвертый столбец, причем суммируют частоты третьего столбца; сложив все накопленные частоты,расположенные над нулем, получим число ^2 = 70, которое поместимв верхнюю клетку четвертого столбца; сумма накопленных частот,расположенных под нулем, равна числу «а» которое поместим в нижнюю клетку четвертого столбца.В итоге получим расчетную табл. 2.Н а й д е м di,Si, S2:di = ai —^?i = 75 —72 = 3;51 = ах + г»1 = 75 + 7 2 = 147;52 = aa+^2 = 59 + 7 0 = 129.Таблица 2I234xi«1b,=72foj = 7 0482225246856612206082040641232068300072183807682037807121784555n=100'1a, = 7 5aa==59185Найдем условные моменты первого и второго порядков:Ml = di/n = 3/100 = 0,03;iWj = (si-i-2s2)/n = (147 + 2 129)/100 = 4,05.Вычислим искомые выборочную среднюю и выборочную дисперсию, учитывая, что шаг (разность между двумя соседними вариантами) /1 = 4 и ложный нуль С = 68:^в = Л^Гл + ^ = 0.03.4 + 68 = 68,12;DB = r>W2~(>Wir]/i^ = [4,05—0,032] .42 £v, 64,78.530.
Найти методом сумм выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объема п=100:а)варианта Xi 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75частота п^ 4 6 8 15 25 20 8 7 5 2б)варианта х^ 122 128 134 140 146 152 158 164 170 176частота п,. 7 8 12 16 4 20 13 10 7 3в)варианта х^ 12 14 16 18 20 22частота П/ 5 15 50 16 10 4г)варианта X; 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0частота п^ 238 13 25 20 12 10 6 1§ 3.
Асимметрия и эксцесс эмпирического распределенияАсимметрия и эксцесс эмпирического распределения определяются соответственно равенствамиas = fn2/OBf ek = nijGB—3;здесь Ов—выборочное среднее квадратическое отклонение; nis и т^ —центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом h (шагравен разности между любыми двумя соседними вариантами) удобно вычислять по формулам:тз=[Л1;—ЗЛlJЛf2+2(ЛflTJл^т^=:1м1--4М\м1+б{м1Ум1—3{м1)^]Н^,где M J = ( 2 niUi)/n—условные моменты Aj-ro порядка Ui=(xi—C)/h —условные варианты. Здесь Xi—первоначальные варианты; С—ложный нуль, т.
е. варианта, имеющая наибольшую частоту (либо любая варианта, расположенная примерно в середине вариационногоряда).186Итак, для отыскания асимметрии и эксцесса необходимо вычислить условные моменты, что можно сделать методом произведеянйили методом сумм.А.
Метод произведений531* Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п == 100:варианта х^ 12 14 16 18 20 22частота п^ 5 15 50 16 104Р е ш е н и е . Воспользуемся методом произведений. Составимрасчетную табл. 3. В § 1 этой главы при решении задачи 523 ужебыло указано, как заполняются столбцы 1—5 расчетной таблицы,поэтому ограничимся краткими пояснениями.Для заполнения столбца 6 удобно перемножить числа каждойстроки столбцов 3 и 5. Для заполнения столбца 7 удобно перемножать числа каждой строки столбцов 3 и 6.
Столбец 8 служит дляконтроля вычислений с помощью тождестваПриведем расчетную табл. 3.Таблица 812345678xiл/«IniuiЩи^Я|«'mujл/(tt/+l)*125—2—1020 1—40801415-^1—1515—151516500—25——55—1816116161616256201022040801608102241 312361083241024'1 =23—5020448л==1005= 1272л/«/? == 1492^/tt?== 2^i(«^/+= 595=2145Контроль:Sni(«/+l)*=2145.=595 + 4.149+6127+4-23+100=2145.187Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильностивычислений.Найдем условные моменты третьего и четвертого порядков (условные моменты первого и второго порядков вычислены в задаче623: М1=0,23, Ml = 1,27):Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:m3=[Mj—3AilM2 + 2(Air)^J/i3,т4 = [ м ; —4М1м; + б(мГ)2Л12 —3(Л1Г)*]/1*.Подставляя /i = 2 и M I = 0 , 2 3 , M2 = 1,27, М J = 1 , 4 9 , M I = 5 , 9 5 , получим /Пз = 5,104, m4 = 79,582.Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что D^==4,87(см.
задачу 523):as= т з / а | =5,124/( / 4 , 8 7 ) 3 =0,47;вд, = т4/аЬ—3 = 79,582/( Т/"'4;87)*—3 = 0,36.532. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному распределению выборки объема п== 100:а) А-,. 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2б) л:,. 1 6 11 16 21п^ 8 20 4515 12 'п,- 5 25 40 20 10Б. Метод сумм533. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс позаданному распределению выборки объема п = 1 0 0 :Xi 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84м,. 2468 12 30 18 875Р е ш е н и е .
Воспользуемся методом сумм, для этого составимрасчетную табл. 4. В § 2 этой главы при решении задачи 529 ужебыло указано, как заполняются столбцы 1—4 расчетной таблишл,поэтому ограничимся краткими пояснениями.Для заполнения столбца 5 запишем нуль в клетке строки, содержащей ложный нуль (68); над этим нулем и под ним поставимеще по два нуля.В клетках н а д н у л я м и запишем накопленные частоты, длячего просуммируем частоты столбца 4 с в е р х у в н и з ; в итогебудем иметь следующие накопленные частоты: 2; 2 4 - 8 = 1 0 ; 2 + 8 ++ 20 = 30. Сложив накопленные частоты, получим число &з = 2-1- 10 ++ 30 = 42, которое поместим в верхнюю клетку пятого столбца.В клетках п о д н у л я м и запишем накопленные частоты, длячего просуммируем частоты столбца 4 с н и з у в в е р х ; в итоге будемиметь следующие накопленные частоты: 5; 5 + 1 7 = 22.
Сложив накопленные частоты, получим число аз = 5 + 2 2 = 27, которое поместимв нижнюю клетку пятого столбца.Аналогично заполняют столбец 6, причем суммируем частотыстолбца 5. Сложив накопленные частоты, расположенные над нуля188ми, получим число 64 = 2 + 1 2 = 1 4 , которое запишем в верхнююклетку шестого столбца. Сложив числа, расположенные под нулями(в нашей задаче есть лишь одно слагаемое), получим число 04 = 5,которое поместим в нижнюю клетку шестого столбца.В итоге получим расчетную табл. 4.К о н т р о л ь : сумма чисел, расположенных непосредственно наднулем тр^ьего столбца, слева от него и под ним, должна быть равнаобъему выоърки (32+30 + 38=100); сумма двух чисел, расположенных над двумя ступеньками ступенчатой линии (обведены жирнымиотрезками), должна быть равна соответственно числам 6/, стоящимн а д п р е д ш е с т в у ю щ е й ступенькой (при движении по «лесенке»вверх): 32 + 40 = 72 = ^1; 4 0 + 3 0 = 70 = ^2; 3 0 + 12 = 42 = 63.
Аналогично проверяется совпадение сумм двух чисел, стоящих под «ступеньками лесенки», ведущей вниз: 3 8 + 3 7 = 75 = ai; 3 7 + 2 2 = 59 = 02;2 2 + 5 = 2 7 = 03- При несовпадении хотя бы одной из указанныхсумм следует искать ошибку в расчете.Найдем di ( / = 1 , 2, 3) и s/ ( / = 1 , 2, 3, 4):di = ai —61 = 75 — 72 = 3, ^2 = 02—62 = 59—70 = —11.T a 6л ица 4I23456xiя/b, = 72Ь, = 706, = 42^4=1422^101230040003200030000072183800076820370080712172208455555«3 = 2704=548225246566122060820641268л = 100 ' Oi = 751Oa = 59i-2йГз=гОз—6з=27—42 = — 15;s , = O i + 6i = 7 5 + 7 2 = 1 4 7 ; Sa= «2 + 6 3 = 5 9 + 7 0 = 129,«з = аз+^з = 2 7 + 4 2 = 69, 5 4 ^ 0 4 + 6 4 = 5 + 1 4 = 1 9 .189Найдем условные моменты первого, второго, третьего и четверотого порядков:Ml-—=-^55=0.03, Al2=—;р--=А1з=j^mЛ14jgg_=4,05,= - 1,53,Si4-14s2+36$3+24s4147+14129+36.69+2419.^ ^^pj=щ|=48,93.Найдем центральные эмпирические моменты третьего и четвертого порядков:= [_ 1,53—3 0,03 4,05 + 2 (0,03)^] 4« = — 121,245,= [48,93—4 0,03.(— 1,53)++ 6 .(0,03)« -4.05—3 (0,03)*] 4* = 12578,679.Найдем искомые асимметрию и эксцесс, учитывая, что Од^ж= K D ^ = V^ 64,78 (дисперсия Dg была найдена ранее, см.
задачу529):а , = т,/аЬ = -~ 121,245/(l/'64J8)« = —0,25,е^=mJOB—3=12578,679/(У 64,78)*—3=26,97.534. Найти методом сумм асимметрию и эксцесс позаданному распределению выборки объема п = 1 0 0 :а) X/ 10,2 10,4 10,6 10,8 11,0 11,2 11,4 11,6 11,8 12,0;П; 238 13 25 20 12 1061б) Xiп^12. 14 165 15 5018 20 22.16 104Глава двенадцатаяЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИИ§ 1 . Линейная корреляцияЕсли обе линии регрессии К на X и X на V—прямые, то корреляцию называют линейной.Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид-.а-._yx—y^rs — ix—x),(•)^Дв Vx—условная средняя; х и у^—выборочные средние признаковX и г; Сх и Оу—выборочные средние квадратические отклонения;Гв—выборочный коэффициент корреляции, причемг в = ( 2 f^xyXy—nxyyinOjfOy).190Выборочное уравнение прямой линии регрессии X на У имеет вид(••)Если данные наблюдений над признаками X и Y заданы в видекорреляционной таблицы с равноотстоящими вариантами, то целесообразно перейти к условным вариантам:Ui = (Xi—Ci)/hut;y=(£/y—С2)/Л2.где Cj—«ложный нуль» вариант X (новое начало отсчета); в качестве ложного нуля выгодно принять рарианту, которая расположена примерно в середине еариационного ряда (условимся принимать в качестве ложного нуля варианту, имеющую наибольшуючастоту); hi—шаг, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
