В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Найти доверительный интервал для оценкис надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака X генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратическое отклонение^ а, выборочная средняяХв и объем выборки п: а) а = 4, х^= 10,2, п = 16; б) а = 5,л:з==16,8, п = 25.503. Одним и тем же прибором со средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений0 = 40 м произведено пять равноточных измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния а до цели с надежностью Y = 0,95, зная среднее арифметическое результатов измерений Хв = 2000 м,Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.504.
Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горениялампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности а горения лампы всей партии, еслиизвестно, что среднее квадратическое отклонение продолжительности горения лампы а = 40 ч. Предполагается,что продолжительность горения ламп распределена нормально.505. Станок-автомат штампует, валики.
По выборкеобъема /1= 100 вычислена выборочная средняя диаметровизготовленных валиков. Найти с надежностью 0,95 точность б, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков,зная, что их среднее квадратическое отклонение а = 2 мм.Предполагается, что диаметры валиков распределены нормально.506. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна б = 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение а = 1,2 нормально распределеннойгенеральной совокупности.176Р е ш е н и е . Воспользуемся формулой, определяющей точностьоценки математического ожидания генеральной совокупности повыборочной средней: Ь=^1о1У^п, Отсюдаn=.i^o^lb^.(•)По условию, Y==^»^75; следовательно, Ф(/) =0,975/2 = 0,4875. Потаблице приложения 2 найдем t =2,24, Подставив t =2,24, а = 1 , 2и 6 = 0,3 в (•), получим искомый объем выборки /г = 81.507.
Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределенной генеральнойсовокупности по выборочной средней равна 0,2, еслиизвестно среднее квадратическое отклонение генеральнойсовокупности а = 1 , 5 .508. Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема л== 10:варианта х^ —2 1 2 3 4 5частота п^ 2 1 2 2 2 1Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а нормально распределенного признака генеральнойсовокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.Р е ш е н и е .
Выборочную среднюю и «исправленное» среднееквадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:•у^Щ^Подставив в эти формулы данные задачи, получим х^ = 2, s = 2 , 4 .Найдем / . Пользуясь таблицей приложения 3, по у =0,95 и/2=10 находим / =2,26.Найдем искомый доверительный интервал:Хв — tySl Уп<а< 'x^ + t^sl Уп.Подставляя х^ = 2, / =2,26, s = 2,4, л = 10, получим искомый доверительный интервал 0,3 < а < с 7, покрывающий неизвестное математическое ожидание а с надежностью 0,95.509, Из генеральной совокупности извлечена выборкаобъема п= 12:варианта лг/ —0,5 —0,4 —0,2 О 0,2 0,6 0,8 1 1,2 1,5частота ri^ \21 1 1 1 1 1 21Оценить с надежностью 0^95 математическое ожидание анормально распределенного признака генеральной совокупности с помощью доверительного интервала.177510.
По данным девяти независимых равноточныхизмерений некоторой физической величины найдены среднее арифметическое результатов измерений л:в==30,1 и«исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 6.Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.Р е ш е н и е . Истинное значение измеряемой величины равно еематематическому ожиданию а. Поэтому задача сводится к оценкематематического ожидания (при неизвестном о) при помощи доверительного интервалаXB — t^s/Уп <а< x^ + t^s/Vn.(*)Все величины, кроме / , известны. Найдем / . По таблице приложения 3 по Y = 0,99 и п = 9 находим /^ = 2,36.Подставив 1св = 30,1, /^ = 2,36, s = 6, л = 9 в (•), получим искомый интервал: 25,38 < а < 34,82.511. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величинь^ найдены среднееарифметическое результатов измерений ;Св=42,8 и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s==8.
Оценить истинное значение измеряемой величины с надежностью Y = 0,999.512. По данным выборки объема п = 1 6 из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = l нормально распределенногоколичественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическоеотклонение а с надежностью 0,95.Р е ш е н и е . Задача сводится к отысканию доверительного интервалаs(l—(7) <о < s{l+q)(если q < 1),(*)илио < о < s(\ + q) (если q > 1).По данным 7 = 0,95 и п = 16 по таблице приложения 4 найдем<7 = 0,44.
Так как q < \, то, подставив s = l , </=0,44 в соотношение (•), получим искомый дорерительный интервал 0,56 < а < 1,44.513. По данным выборки объема п из генеральнойсовокупности нормально распределенного количественного признака найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Найти доверительный интервал,178покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение о с надежностью 0,999, если: а) п = 1 0 , s = 5,l;б) /t = 50.
s = 1 4 .514. Произведено 12 измерений одним прибором (безсистематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическоеотклонение s случайных ошибок измерений оказалосьравным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.Р е ш е н и е .
Точность прибора характеризуется средним квадратическим отклонением случайных ошибок измерений. Поэтомузадача сводится к отысканию доверительного интервала, покрывающего а с заданной надежностью Y = 0 , 9 9 :s(l-q)<a<s{\+qy(•)По данным Y=^»^^ и /1 = 12 по таблице приложения 4 найдемq=0,9. Подставив 5 = 0 , 6 , ^==0,9 в соотношение (*)» окончательнополучим 0,06 < а < 1,14.515. Произведено 10 измерений одним прибором (безсистематической ошибки) некоторой физической величины, причем «исправленное» среднее квадратическоеотклонение s случайных ошибок измерений оказалосьравным 0,8.
Найти точность прибора с надежностью 0,95.Предполагается, что результаты измерений распределенынормально.516. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, еслив 60 испытаниях событие А появилось 15 раз.Р е ш е н и е . По условию, л = 6 0 , т = 15, у = 0,95. Найдем отно-.сительную частоту появления события А: a/ = m//i = 15/60 = 0,25.Найдем / из соотношения Ф ( / ) = 7/2=0,95/2 =0,475.
По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим / = 1,96.Найдем границы искомого доверительного интервала:ппПодставив в эти формулы л = 60, а; = 0,25, / = 1,96. получимр , = 0 , 1 6 , /[72=0,37.Итак, искомый доверительный интервал 0,16 < р < 0,37.179517. Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события Л в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,99, еслив 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.518. Изготовлен экспериментальный игровой автомат,который должен обеспечить появление выигрыша в одномслучае из 100 бросаний монеты в автомат.
Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний,причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительныйинтервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью Y = 0»999.Р е ш е н и е . Найдем относительную частоту появления выигрыша: а; = т / л = 5/400 = 0,0125. Найдем / из соотношения Ф(/) == Y/2 = 0,999/2 = 0,4995. По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим / = 3 , 3 .Учитывая, что л = 400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы:р^=:ш—/ у^ш(1 —w)ln,p^ = w-\-i}^w{\—w)/n.Подставив в эти формулы а; =0,0125, / = 3 , 3 , /i = 400, получимP i = - - 0 , 0 0 5 8 , Ра = 0.0308.Итак, искомый доверительный интервал О < р < 0,0308.519.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
