В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 25
Текст из файла (страница 25)
yi)lP (l/i) = 0,35/0,80 = 7/16.Напишем искомый условный закон распределения X:X258р{Х\уг)8/16 3/8 7/16К о н , т р о л ь : 3/16 + 3/8 + 7 / 1 6 = 1 .в) Аналогично найдем условный закон распределения К:У0,4 0,8Р{У\Х2)ЪП 2/7К о н т р о л ь : 5/7 + 2/7 = 1,143422. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):XY101418360,250,150,320,100,050,13Найти: а) условный закон распределения X при условии, что К = 10; б) условный закон распределения У приусловии, что Х = 6.§ 3. Отыскание плотностей и условных законовраспределения составляющих непрерывнойдвумерной случайной величиныПлотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распреде*1ения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей:ОСX/ i W == J / (X' У) dy>h (У) =- 5 / (X, у) Ах.— се— ооЗдесь предполагается, что возможные значения каждой из составляющих принадлежат всей числовой оси; если же возможные значения принадлежат конечному интервалу, то в качестве пределов интегрирования принимают соответствующие конечные числа.Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y~-у называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей К:V(x\y)-Jjx, у)hiy)fix, у)«dx5 fix.
У)Аналогично определяется условнаясоставляющей Y:5плотность распределенияfix.y)dyЕсли условные плотности распределения случайных величин Xи Y равны их безусловным плотностям, то такие величины независимы.Равномерным называют распределение двумерной непрерывнойслучайной величины (X, У), если в области, которой принадлежат144все возможные значения (х, у), плотность совместного распределениявероятностей сохраняет постоянное значение.423.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)/(X,1/)=1е-^1/2)(ДГ*+2ДГ//+5|,*)^Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.Р е ш е н и е , а) Найдем плотность распределения составляюи;ей X:ОООБВынесем за знак интеграла множитель е""**/*'^, не заиисяш.ий отпеременной интегрирования у, и дополним оставшийся показательстепени до полного квадрата; тогда— ОСXd(V'bi2y+V'2ibx).Учитывая, что интеграл Пуассона\ e-«*dw= |/^л, окончатель— 00но получим плотность распределения составляющей X:/i(A:)-K"27(5^e-^'*^'.Аналогично найдем плотность распределения составляющей У:/2(|/)=^^27Не-2Д'*.б) Найдем условные плотности распределения составляющих.Выполнив элементарные выкладки, получим:/2 \У)У 2л/1 WУ 2л424. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)fix, i/) = Ce~^*-2^^-^*.Найти: а) постоянный множитель С; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.425.
Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины /(х, (/) = cosx*cosy145в квадрате О ^ х ^ я / 2 ,0^у^п/2\вне квадрата/ (^% у) == 0. Доказать, что составляющие ХиУ независимы.У к а з а н и е . Убедиться, что безусловные плотности распределения составляющих равны соответствующим условным плотностям.426. Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) распределена равномерно внутри прямоугольникас центром симметрии в начале координат и сторонами2а и 26, параллельными координатным осям.
Найти:а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.427*. Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) распределена равномерно внутри прямоугольнойтрапеции с вершинами 0(0; 0), Л (0; 4), В{3; 4), С (6; 0).Найти: а) двумерную плотность вероятности системы;б) плотности распределения составляющих.428. Непрерывная двумерная случайная величина(X, Y) равномерно распределена внутри прямоугольноготреугольника с вершинами 0 ( 0 ; 0), Л (0; 8), В(8;0). Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности и условные плотности распределения составляющих.429*.
Непрерывная двумерная случайная величина(X, V) равномерно распределена внутри трапеции с вершинами Л ( — 6 ; 0 ) , i5(—3; 4), С(3; 4), Z)(6;0). Найти:а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.§ 4. Числовые характеристики непрерывной системыдвух случайных величинЗная плотности распределения составляющих ХиУнепрерывной двумерной случайной величины {X, У), можно найти их математические ожидания и дисперсии:00М(Х)=J xft (X) dx,« 0 0iW (К) = J yf2 {у) dy.— 0000D(X)= J [x-M{X)]^h{x)dx^— OO005— 00— OOOOQO— 00—00x^fy{x)dx-[M(X)\^'.Иногда удобнее использовать формулы, содержащие двумернуюплотность вероятности (двойные интегралы берутся по области воз146можных значений системы):^ W = 5 J [х-МD(Y)=^^ly~.И(X)]V (;г, у)Лх6у^^^x^f (X, у) их 6у--1М(К)1 V (X, I/) djcd£/ = 5 J i/V (jr, у) dx ду-[М(Х)]\(Y)]\Начальным моментом v/t, s порядка k-{-s системы (X, К) называют математическое ожидание произведения X^Y^:Vk.s^-MlXf^Ys].В частности,Vi.o = ^i(X), Vo.i = Ai(K).Центральным моментом [ifi^ s порядка Ar + s системы (Л", Y) называют математическое ожидание произведения отклонений соответственно к'й и S-H степеней:цл,, = .
И { [ Х - Л 1 ( Х ) 1 * 1 К - / И {¥)]*).В частности,И. o = ^W [ Х - . И (X)] = 0 , цо. i=^W [ К - М (Y)] = 0 ;Ц2.о = >И [ Х ^ М (X)]2==D(X), Mo.2 = M [K--M (K)]«=D(K).Корреляционным моментом \ixy системы (X, Y) называют центральный момент ^ii i порядка 1 + ^«\Хху=М {[Х-^М (X)blY-M(Y)]).Коэффициентом корреляции величин X и К называют отношениекорреляционного момента к произведению средних квадратическихотклонений этих величин:Коэффициент корреляции—безразмерная величина, причем | Гху К 1.Коэ4)фициент корреляции служит для оценки тесноты л и н е й н о йсвязи между X и Y: чем ближе абсолютная величина коэффициентакорреляции к единице, тем связь сильнее; чем ближе абсолютнаявеличина коэффициента корреляции к нулю, тем связь слабее.Коррелированными называют две случайные величины, если ихкорреляционный момент отличен от нуля.Некоррелированными называют две случайные величины, если ихкорреляционный момент равен нулю.Две коррелированные величины также и зависимы; если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так инекоррелированными.
Из независимости двух величин следует ихнекоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделатьвывод о независимости этих величин (для нормально распределенныхвеличин из некоррелированности этих величин вытекает их независимость).Для непрерывных величин X и К корреляционный момент можетбыть найден по формулам:осМхг, = SсоS ix-Л^ (^)1 ly-^i(У)] f (X, у) их ду,— 00—00ОСM^j, = 5— XООI xyf (х, у) dx dy-M(X) М (К).— 00147430.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, К):fi^^^ ^хуе-^'-у' ( x > 0 , у > 0 ) ,ГКХ.у)^^^( А : < 0 или | / < 0 ) .Найти: а) математические ожидания; б) дисперсии составляющих X и Y.Р е ш е н и е , а) Найдем сначала плотность распределения составляющей X:/i(x) = J /{X, у) dy = 4xe-** J ye-^»dy==2xe-*' (x > 0).Аналогично получимft(y)=-2ye-y^(y>0).Найдем математическое ожидание составляющей X:М (X) == J xft (х) djc = J jc.(2xe-** dx).00Интегрируя по частям и учитывая, что интеграл Пуассона \ e"***djc=_о _= Уп/2, получим М (X) = Уп/2. Очевидно, что М (У) = Vn/2.б) Найдем дисперсию X:о»D (X) = J xVi (X) dx^ [М (Х)|« =о00= J JC» (2ле-*' djc) —( К"я/2)* = 1 —л/4.оОчевидно, что D (К) = 1 - - л / 4431 • Задана плотность совместного распределения двумерной случайной величины (X, Y)f Збхуе -'^^'^у'^ (А: > О, у > 0),f{Xfy)-^Q(X < О или у < 0).Найти математические ожидания и дисперсии составляющих.432.
Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, К): /(х, у)== 2cosXcosy в квадрате О ^ х ^ я / 4 , О ^ у ^ я / 4 ; внеквадрата f{x,y) = 0. Найти математические ожиданиясоставляющих.148433. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, У): /(х, (/)=:^ (1/2) sin (jc4-1/) в квадрате О ^ х ^ л / 2 , 0 ^ ( / ^ л / 2 ;вне квадрата f(x, у) = 0. Найти математические ожиданияи дисперсии составляющих.434. Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y):f{Xyy) = {l/4)sir)xsinyв квадрате 0^л:^-л[,О^у^п;вне квадрата f (х, у) = 0.
Найти: а) математические ожидания и дисперсии составляющих; б) корреляционныймомент.435. Заданы плотности распределения независимыхсоставляющих непрерывной двумерной случайной величины {X, У):IО при л: < О,( Опри t / < О,f'^^'>'~^\ 5е-^^ при л ' > 0 ; f^^y'^^^ \ 2е''У приу>0.Найти: а) плотность совместного распределения системы; б) функцию распределения системы.У к а з а н и е . Если составляющие системы независимы, то двумерная плотность вероятности равна произведению плотностей составляющих, а функция совместного распределения системы равнапроизведению функций распределения составляющих.436. Непрерывная двумерная случайная величина(X, У) распределена равномерно в круге радиуса /* с центром в начале координат.
Доказать, что X и У зависимы,но некоррелированны.У к а з а н и е . Сравнить безусловные и условные плотности распределения составляющих; убедиться, чго корреляционный моментравен нулю.437. Доказать, что если двумерную плотность вероятности системы случайных величин (X, У) можно представить в виде произведения двух функций, одна изкоторых зависит только от х, а другая—только от i/, товеличины X и У независимы.Решение.По условию,f(x.y)=q>(x)'X}p(y).Найдем плотности распределения составляющих:-0000—0000/г (г/) = S / ix, y)6x=ylf (у) J ф (X) дх.— 00(*)(»»*)— 00149Выразим ф(х) из («•) н ^(у) из (***):ф (*) = П (*)/ J Ф (у) dy.
* (у) = / , to)/ 5 Ф W rf*.— вов силу (•)—во•соN—QO00—воч/Учитывая, ЧТО, по второму свойству двумерной плотности вероят0D00ности, V \ f(x^y)dxdy^\и, следовательно,— 00 — 0 00000005J ^{х)^{у)Лхйу=J ф(дс)<1дс J ^{у)Ау = 1,-00—00—0000— ООокончательно лолучим /(дг, y)^fi{,x)-f%{y).Таким образом, двумерная плотность вероятности рассматриваемой системы равна произведению плотностей вероятности составляющих. Отсюда следует, что X vi Y независимы, что и требовалосьдоказать.438. Доказать, что если X и Y связаны линейной зависимостью У — аХ+Ь^ то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
