В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Найти математическое ожидание функции У = Х' (не находя предварительно плотности рас*пределения Y).285. Случайная величина X задана плотностью рас*пределения / (л:)« 2 cos 2л: в интервале (О, я/4); вне этогоинтервала /(л:) = 0. Найти: а) моду; б) медиану X.Р е ш е н и е , а) Легко убедиться, что функция / (jc)«2 cos 2хв открытом интервале (О, я/4) не имеет максимума, поэтому X моДуне имеет.б) Найдем медиану Л4^(Х)=^т^, исходя из определения медианы:Р (X < т^)^Р(Х > Ше), или, что то же, Р [Х < т^) -с 1/2.Учитывая, что по условию возможные значения X лоложительнЫ|перепишем это равенство так:Р{0 < X < m^)=I/2, или 2 С COS2JC djc-»sin2m^«-1/2.оОтсюда 2mg = arcsin 1 /2 =« л/6. Следовательно, искомая медиана/п^«л/12.286. Случайная величина X в интервале (2, 4) заданаплотностью распределения fix)^ — (3/4) х* + (9/2) х—6{вне этого интервала f{x)^0.
Найти моду, математическоеожидание и медиану величины X.Р е ш е н и е . Представим плотность распределения в виде / (ж)«»5= — (3/4) (х—3)2-4-3/4. Отсюда видно, что при д:=3 плотность рас*пределения достигает максимума; следовательно, Л1о(^)«3. (Разу*меется, можно было найти максимум методами дифференциальногоисчисления.)Кривая распределения симметрична относительно прямой jc«e3,поэтому М{Х)ш=^3 иМ^{Х)^3.287» Случайная величина X в интервале (3, 5) заданаплотностью распределения / (х)« — (3/4) х^ + вх—45/4;вне этого интервала / (х) •* 0.
Найти моду, математическоеожидание и медиану X.288. Случайная величина X в интервале (—1, 1) за»дана плотностью распределения /(х)—1/(я V^l—х*); внеэтого интервала /(д:)=»0. Найти: а) моду; б) медиану X*289» Случайная величина X при х^О задрана плотностью вероятности (распределение Вейбулла)/(x) = ^x"-^e-^«/^S/ ( х ) « 0 при х < 0 . Найти моду X.99290. Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайной величины заключено между наимень*шим и наибольшим ее возможными значениями.Р е ш е н и е .
Пусть X—непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f (х) на отрезке [а» Ь]\ вне этогоотрезка/(дг) = 0. Тогда а<х<Ь,Учитывая, что /(дг)^О, получимaf {х) < xf (х) < bf (лг). Проинтегрируем это двойное неравенство впределах от а до Ь:bbba^f(x) djc< J xf(x) dx<b^f{x)aa 'dx.aПринимая BO внимание, чтоbЬJ / (X) d x = 1.
J xf {X) djr= M (X),aaокончательно получим а<М{X)^b.291. Доказать, что если lim [JCF(X)J = 0 И Urn [х{\ —— F ( x ) ) ] « 0 , TO000Л1 (X) = J [ 1 — f (jc)] dx— J F (X) djc.0—aoУ к а з а н и е . ИмеемODиМ (X)= 5 xf{x)dx^— ее00J */(x)dx4-Cx;(jr)d.r.0—00Заменить f {x) в первом слагаемом на F* {х),а во втором—на[\-Р(х)У.292. Случайная величина X в интервале {—с^с) задана плотностью распределения f{x)^\}{n\^c^ — А:*), внеэтого интервала f{x) = Q. Найти дисперсию X,Решение.Будем искать дисперсию по формулеьD{X)^^[x-M{X)]V{x)dx.аПодставляя М(Х)'=^0 (кривая распределения симметрична относи*теяьно прямой дг=0), а = —с, 6 » с , f(x)^=^\l(n Ус^—х'), получим-соСделав подстановку j c ^ c s i n / , окончательно имеем D(X)asc*/2.100293. Случайная величина X в интервале (—3, 3) задана плотностью распределения / (л) = 1 /(л V^ —л^*); внеэтого интервала /(А') = 0 .
а) Найти дисперсию X; б) чтовероятнее: в результате испытания окажется X < 1 илиХ > 1?294. Доказать, что дисперсию непрерывной случайнойвеличины X можно вычислить по формулеосD(X)=Указание.\ A-*/(x)d.v—[Л1(Х)]*.Воспользоваться формулой00D(X)= 5{х-М{Х)]»1{х)йх— О»ODИ равенствами0DV xf (дс) dx = М (А'),— 00\/ (jc) <1дс = 1.— во295.
Случайная величина X в интервале (О, я) заданаплотностью распределения /(,v) = (l/2)sinx'; вне этогоинтервала f{x) = b. Найти дисперсию X.Р е ш е н и е . Найдем дисперсию по формулеbD(X)^^xV(x)dx-^\M{X)Y1*аПодставив сюда /И(Х)==л/2 (кривая распределения симметричнаотносительно прямой jc = л/2), а = О, 6 = л , / (дг)=!( 1/2) sin дг, получимлДважды интегрируя по частям, найдемл\ x^s\t\x с1д:=:л*—4.оПодставив (••) в (•), окончательно получим 0(Л')=(л*—8)/4.(••)296. Случайная величина X в интервале (О, 5) заданаплотностью распределения Дх) = (2/25) дг; вне этого интервала /(jc) = 0. Найти дисперсию X.297. Найти дисперсию случайной величины X, заданной функцией распределения0приЛ'2^ — 2,/г(х)==^ х/4+1/2 при — 2 < j c < 2 ,1прилг > 2.101Р е ш е н и е .
Найдем плотность распределения:0 при х < — 2 ,1/4 при --2 < X < 2,О прих>2.Найдем математическое ожидание122Л1 (Х)= J xf (X) djc= ^ X . - i djc = 0-2-2(подынтегральная функция нечетная» пределы интегрирования симметричны относительно начала координат).Найдем искомую дисперсию, учитывая, что M(X)=0:222D (X) = J [х—М (Х)]« / (X) <1х=- J х« .
i - d x « - | J х« djc« - i .*2-20298< Случайная величина задана функцией распреде*ленияГ 1—xj/x» при х^х^{Хо>0),\Опри х< ХоНайти математическое ожидание, дисперсию и среднееквадратическое отклонение X.У к а з а н и е . Найти сначала плотность распределения, испольвовать формулуD(X)= 5 xV(x)dx-lM{X)]K— ее299. Случайная величина X в интервале (О, л) заданаплотностью распределения f{x) — {l/2)sinx; вне этогоинтервала /(х) = 0. Найти дисперсию функции К = ф (Х)==X*t не находя предварительно плотности распределения Y.Р е ш е н и е .
Используем формулуD [Ф {X)] = J ф« (X) f {X) d x - [М [ф {Х)]1*.аПодставив ф(х)==:ж«, /(jc) = (I/2)sinjr, а = 0 , ^ = я ,e«Af £Х*]«"(я*—4)/2 (см. задачу 282), получимпЛ1[ф(Х)]=Интегрируя по частям, найдемяJ х« sin JC dx=n«—12л* + 48.(••)оПодставив (••) в (•), окончательно имеем D(X*) = (n*—1бя*+80)/4*102300.
Случайная величина X задана плотностью распределения /(x) = cosjc в интервале (О, я/2); вне этогоинтервала /(л:) = 0. Найти дисперсию функции К = ф(Х)===Х^, не находя предварительно плотности распределения Y.У к а з а н и е . Использовать формз'луD [Ф (X)] = J ф^ (х) f (X) 6х^ [М [ф (Х)]]^аИ то, что Л1(Л:2) = (я2—8)/4 (см. задачу 283).301. Случайная величина X задана плотностью распределения /(л:)«=л:"е*^/п! при х^О; f(x) = 0 при х < 0 .Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию X.Р е ш е н и е , а) Найдем математическое ожидание:ОО00ООМ (X) = г ;с/ (X) d^=-;Fr J ^•^"^•"''^* ^ - ^ J л»+^е-* dx.00оВоспользуемся так называемой гамма-функцией, которая определяется равенством00Г(/1)=С х'^-Ч-^дх.(•)оКак видим, аргумент (целое число п), стоящий под знаком гаммафункции, на единицу больше показателя степени буквы х, стоящейпод знаком интеграла.
Следовательно,00^ ;tn+ie~^£f;c = r(/i4-2)оПодставив (*•) в (*), получимM(X)=^^^^'f^K(••)(***)Воспользусхмся следующим свойством гамма-функции:r(n) = (/i-I)fКак видим, гамма-функция от целого аргумента равна факториалуот аргумента, уменьшенного на единицу. СГледовательно,Г (/г+2) = (/1 + 1)1(*•••)Подставив (****) в (***), получимб) Найдем дисперсию. Учитывая, что00М{Х)=п + ], J;K"+«e-*d*=r(rt+3),о103получим«тD (X) «= f X*/ (X) dx—[M (Х)1«=Л- f Jt*Je"e-» djt—/I! *>0J0_ ( „ ^ _ l ) .
= J _ Cx'4-*e-*dx-(rt + I ) * = i l i ± f ^ - ( / H - ! ) • = -=.i24^_(„^-,)«=.lMl±^il±2)_(„_|.,). = „+,.Итак. D(X) = / i + l .302. Случайная величина X при x'^0 задана плотностью распределения (гамма-распределение)/(v)-pa..ip^(^^l)-v"e"^/P( а > - 1 , р>0);/(х) = 0 при JC < 0. Найти: а), математическое ожидание;б) дисперсию X.Указание.гамма*фуикцию.Сделатьподстановкуy^x/f^и использовать303. Доказать, что для любой непрерывной случайнойвеличины центральный момент первого порядка равеннулю.Решение.порядка,По определению центрального момента первогоQ000«ОИ = S [Jc-~Af(X)l/(Jc)djc= 5 xf(x)dx^M{X)—ж—005f(x)dx.—соУчитывая, что^ xf{x)dx^M(X)и^f(x)dx^l.получимИ1-М(Х)-..М(Х)=0,304. Доказать, что обычный момент второго порядка00ц;= J{x-c)4{x)dxимеет наименьшее значение, если с = М(Х).104Решение.Преобразуем ^i> так:ооо»+ (Af(X)~c)I«/W<iJf= Jlx-AHX)Vfix)dx-b-— 10+ 2lM(X)-c] 5 [*-Al(X)l/(*)d*4-[AI(X)-cJ« J /(jc)d*.— OB— «Принимая BO внимание равенстваJ [x-AI(X)l/(Af)dx-,H-0,J[*-Af(X)J«/(*)d*=l*t.оJ /(x)d*=l,— 40получимОтсюда видно, что |Л2 имеет наименьшее значение при с^М (X),что и требовалось доказать.Заметим, что из (*) следует, что fii=«)ii—[Л!(ДС)—cj*, т .
е .центральный момент второго порядка меньше любого обычного мэмента второго порядка, если с Ф М (X),305. Случайная величина X задана плотностью распределения /(;с) = 0,5х в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x)^0.Найти начальные и центральные моменты первого, второго, третьего и четвертого порядков.Р е ш е н и е .
П о формуле2найдем начальные моменты:2Vi = J x.(0,6jt) Ax^-j \2v , = f x5.(0,5jf)d;c = 3,2;2v t = С X«.(0,5JC) djc=2;2V4= fJC*-(0,5JC)d;c = y .Найдем центральные моменты. Центральный момент первого порядкалюбой случайной величины ^^«О.105Воспользуемся формулами, выражающими центральные моментычерез начальные:M»=Va—vi; j i s = V 8 — 3 v i V , + 2 v i ; |i4=V4—4viVa+6viVt—3vt,Подставив в эти формулы ранее найденные начальные моменты,получим: |i2=2/9.
|1з=:—8/135. |i4 = 16/135.зов. Случайная величина X задана плотностью распределения f{x) — 2x в интервале (О, 1); вне этого интервала f(x)=^0. Найти начальные и центральные моментыпервого» второго, третьего и четвертого порядков.§ 4.
Равномерное распределениеРавномерным называют распределение нероятностей непрерывнойслучайной величины X. если на интервале (а, Ь), которому принадлежат все возможные значения X» плотность сохраняет постоянноевначенне» а именно / ( х ) » 1 / ( 6 — а ) ; вне этого интервала / ( х ) = 0 .307. Плотность равномерного распределения сохраняетв интервале (а, Ь) постоянное значение, равное С; внеэтого интервала /(.v)=:0. Иайти значение постоянногопараметра С.308.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
