В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а^^ поэтому критическая область—двусторонняя. Используя правило 1,найдем критическую точку Ккр из равенства Ф(|/кр)==(^—а)/2.Следовательно, двусторонняя критическая область определяетсянеравенством \V \> £/кр, УЛЛ\^ подробнееI о/ К л IНайдем мощность рассматриваемого критерия, т. е. вероятностьпопадания критерия в критическую область при допущении, чтосправедлива конкурирующая^гипотеза а^^а^Ф а^\' - ' - " ( f ^ h "-'•-'")•Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:222где 6 =r=r,A,= -i—7п= . Используя эти соотношения,получим1 ~ Р = Р ( | 6 + Х | > t/Kp)=P Ф+К > « к р ) + Р ( ^ + ^ < ~ - « к р ) = Р (6 > и^^^К) + Р (6 < -~«кр-Я.) == [1-Ф(«кр-М] + Ф(-"кр->') = 1-Ф(«кр->^)-Ф("кр+^).Таким образом, мощность двустороннего критерия при a = aiравна1 - р = 1~-[Ф("кр->^) + Ф("кр+>^)],где X = (ai —До) >^^/^Каждому значению ai соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от ai; обозначимее через Я2 (fli).Итак, искомая мощность двустороннего критерияЯ2 (ai) = 1 — [Ф (WKP —>-)+ Ф («КР + А.)],где Ф(х)—функция Лапласа, X = (ai-—а©) J^AZ/O, «кр находят из равенства Ф (г/кр) == (1 —а)/2.б) По выборке объема п = 1 6 , извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза.
HQI а = а^ = 20о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао = 20 при конкурирующей гипотезе Я^: а =5*^20.Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значениягенеральной средней ai = 24.Р е ш е н и е . Используем формулу1^^==1--[Ф(и^^^Х)+Ф(и^^+ к)1По правилу 1 найдем критическую точку t/Kp = l,96.Вычислим X, учитывая, что, по условию, ai = 24,л = 16, а==5:X = (ai—ао) »^п/а = (24—20) |/'Тб/5 = 3.2.(•)ао==20,Подставив «кр==1»9б и >i=3,2 в формулу (*), получим1—р = 1—[Ф (1.96—3,2) + Ф (1,96+3,2)] = 1 + Ф (1,24)—Ф (5,16).По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находимФ(1, 24)=0,3925, Ф(5,16) = 0,5.
Искомая мощность 1—в==1 ++ 0,3925—0,5 = 0.8925.в) По выборке объема n = 36, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением о = 6, при уровне значимости 0,01 проверяется нулевая гипотеза Н^: а = а^,=«15223при конкурирующей гипотезе Н^: афа^. Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемойгипотезы для гипотетического значения генеральнойсредней a = a i = 1 2 .578.
а) По выборочной медиане X при уровне значимости а проверяется нулевая гипотеза Н^\ а^а^ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению «о при конкурирующей гипотезе ЯхГ афа^. Найтифункцию мощности Яз (а^) рассматриваемого двустороннего критерия.У к а з а н и е . При больших значениях объема выборки выборочная медиана X распределена приближенно нормально с математическим ожиданием М (X) и средним квадратическим отклонениемб) По выборке объема п = 50, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а ==5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^^: а = ао=18 оравенстве генеральной средней а гипотетическому значению По = 1 8 при конкурирующей гипотезе Н^: аф\Ъ.Сравнить мощности двусторонних критериев п^(а^) и^8 (^i) при «1 = 20. Можно ли предвидеть результат сравнения мощностей, не производя вычислений?Б.
Дисперсия генеральной совокупности неизвестна. Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случаемалых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезыпринимают случайную величинуГ = (Х-ао)VniS,^^-.f^n,x'i^[^niXiYlnгде S = T / =^-—jисправленное среднее квадратическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента сk = n—1 степенями свободы.Правило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI а=^а^ О равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисПерсией) гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезе Hi: а Ф ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k=n—1 найти критическую точку'двуст. кр v^9 ^)-224Если I Т'набд I </двуст. кр — ^^f^ оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Если \ Г„абл I > ^двусг. кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н^: а > OQ по уровнюзначимости а, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы к = п—1 находят критическуюточку /правост.
кр (ot» ^) правосторонней критической области. EarnТ'набл < ^правост. кр — ^^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если Гцабл > ^правост. кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi. а < OQ сначаланаходят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2)^правост. кр (cti ^) ^ полагают границу левосторонней критическойоэласти ^ICBOCT. кр=—^правост. кр* Если Тнабл ^—^правост.
кр нетоснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тцабл < —^правост. кр —нулевую гипотезу отвергают.579. а) По выборке объема /г = 1 6 , извлеченной изнормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя J C = 1 1 8 , 2 H «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 3,6. Требуется при уровнезначимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н^: а =^^^ ^ 0 = 1 2 0 при конкурирующей гипотезе Н^: а=7^120.Р е ш е н и е. Найдем наблюдаехмое значение критерия_(х^ао)/ п(118,2—120) Т^Тб _ ^/|.аблзТб--^'По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а©, поэтомукритическая область — двусторонняя.По таблице критических точек распределения Стьюдента (см.приложение 6), по уровню значимости а = 0 , 0 5 , помещенномув верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы /?=л—1 ==г= 1 6 — 1 = 1 5 находим критическую точку ^двуст. кр (0»^5; 15) = 2,13.Так как | Т'пабл I < ^двуст.
кр—нет основании отвергнуть нулевуюгипотезу. Другими словами, выборочная средняя jf= 118,2 незначимо отличается от гипотетической генеральной средней ао = 120.а) Решить эту задачу, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н{. а < а о = 1 2 0 .580. Проектный контролируемый размер изде^1ий,изготовляемых станком-автоматом, а = а^ = ЪЬ мм. Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующиерезультаты:контролируемый размер .v,- 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3частота (число изделий) п^- 23465Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьнулевую гипотезу Н^\ a = aQ = 35 при конкурирующейгипотезе Н^: аф35.225Решение.Найдем средний размер изделий выборки:^ _ ^ / 1 / л г / ^ 2 .
3 4 , 8 Н - 3 . 3 4 , 9 + 4 » 3 5 , 0 + в ' 3 5 , 1 4 - 5 - 3 5 , 3 _ д д ^^"^п20•- » •Найдем исправленную дисперсию. Для упрощения расчета перейдем к условным вариантам «/=10х/—351. В итоге получим распределение:„.Л/—32— 2 — 1 034 625Найдем исправленную дисперсию условных вариант3 I ] ^ / ^ ? - [ 2 ] n / t / / ] V n 54->[->61^/20 _ _ , , , ,^«==TTTi=Г92'^^^Следовательно, исправленная дисперсияпервоначальныхвариант«Х =2,747/102 =0.027.Отсюда «исправленное» среднее квадратическое отклонение sjf «== /0Т027 = 0,16.Найдем наблюдаемое значение критерия:^_ ( 7 - f l o ) / 7 i _ (35,07-35,0) / 2 0 _ , Q .^набл—О^Тб'По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф QQ, поэтомукритическая область—двусторонняя.
По таблице критических точекраспределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а«=0,05, помещеннохму в верхней строке таблицы, и по числустепенен свободы k = n—1=20—1 = 19 находим критическую точку^двуст. кр (0»^5; 19) =«2,09. Так как Гнабл < ^двуст. кр — нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, станок обеспечивает проектный размер изделий.§ 7. Сравнение двух средних нормальныхгенеральных совокупностейс неизвестными дисперсиями (зависимые выборки}Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны.
Из этих совокупностейизвлечены зависимые выборки одинакового объема /г, варианты которых соответственно равны Х(И ^/.Введем следующие обозначения:dj^=»Xi—yi — разности вариант с одинаковыми номерами,d = « 2 Д^/М—средняя разностей вариант с одинаковыми номерами,Srf=« 1 / ^i^^—=!«исправленное» среднее квадратическое отклонение.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI М (Х) = М (Y) о равенстве двухсредних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конку*рирующей гипотезе Нх\ М{Х) Ф М(У), надо вычислить наблюдаемое226значение критерия:и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за*данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку^двуст. кр Са; ^)' ^сли I Т„абл I < ^двуст.
кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |Гнабл1 > ^двуст. кр—нулевую гипотезуотвергают.581. Двумя приборами в одном и том же порядкеизмерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):-^1 = 2, л:а = 3, л:з = 5, Х4==6, д:5 = 8, л:в=10;i/i=10, f/2 = 3, £/з==6, 1/4 = 1, 1/5 = 7, |/в=4.При уровне значимости 0,05 установить, значимо илинезначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.Р е ш е н и е . Найдем разности di=Xi—t//;вычитая из чиселпервой строки числа второй, получим:d i = — 8 , с/2 = 0, ^з = —I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
