В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 46
Текст из файла (страница 46)
приложение 10).267§ 18. Проверка гипотезы о показательномраспределении генеральной совокупностиЗадано эмпирическое распределение непрерывной случайнойвеличины X в виде последовательности интервалов дг/—jr/^i и соответствующих им частот Л/, причем 2 ' * / ' ^ ' * (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том,что случайная величина X имеет показательное распределение.Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверитьгипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределенапо показательному закону, надо:1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю х^.
Для этого, приняв в качестве €представшпеля*(-го интервала его середину дг/=(дс,-{-лс/4-1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствуюи^их им частот.2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней:3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы(Xi, ДС/ + 1) по формулеPi^PiXi<Х<;t/+i) = e""^''-е~^^' + ^4. Вычислить теоретические частоты:ni = niPi,где л = = 2 / 1 / — объем выборки,5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощомкритерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s—2, где s —число первоначальных интервалов выборки; если же было произведенообъединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то S—число интервалов, оставшихся после объединения.647.
Почему при проверке по критерию Пирсонагипотезы о показательном распределении генеральнойсовокупности число степеней свободы определяется равенством fe = s—2, где S—число интервалов выборки?Р е ш е н и е . При использовании критерия Пирсона число сте*пеней свободы Л = 5—1—г, где г — число параметров, оцениваемыхпо выборке. Показательное распределение определяется одним параметром л.
Так как этот параметр оценивается по выборке, то г = \и, следовательно, число степеней свободы ^ = s — 1 — l = s — 2 .648, В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение,приведенное в табл. 31 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах, во втором столбце—частоты,т. е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).268Т а б л и ц а 31'/•"'/+10-5б—1010-15V-'i +i133451515-2020—2525-30421Требуется, при уровне значимости 0,05, проверитьгипотезу о том, что время работы элементов распределенопо показательному закону.Р е ш е н и е 1.
Найдем среднее время работы всех элементов(в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):;в==(133.2,5+45.7,5+15.12,5+4.17,5+2.22.5+Ь27.5)/200 =«1000/200=5.2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательногораспределения:Я = 1/3?в = 1/5=0,2.Таким образом, плотность предполагаемого показательного расЕфеделвния имеет вид/(jc)=0,2e-M*{X > 0).3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интерваловпо формуле>хi _ - U ,j + tНапример, для первого интервалар , « Р ( 0 < X < 5)«е-«'*-^—е-***-*«1—е-»=:«1-.0,3679 «0.6321.Аналогично вычислим вероятности попадания X в остальныеинтервалы: Р»=0,2326; Р,=:0,0855; Р4=0,0315; Р^^О.ОПб;Ре «0,0042.4. Найдем теоретические частоты:/1^»пЯ/»200Р/,где Р/—вероятность попадания X в /-й интервал.Например, для первого интервалаnI=e200.Pi = 200.0,632! =126,42.Аналогично вычислим остальные теоретические частоты:П2^46,52; /15 = 17,10; /li =6,30; Л5=2,32; /ii=0.84.5.
Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу 32, при269чем объединим малочисленные частоты ( 4 + 2 + 1 = 7 ) и соответствующие им теоретические частоты ( 6 , 3 0 + 2 , 3 2 + 0 , 8 4 = 9 , 4 6 ) .Т а б л и ц а 32t/'^С'Ч"'1234133451572!п=2001126,4246,5217,109,466,58— 1,52—2,10—2,461(-/-;)' 143,29642,31044,41006,05160,34250,04970,25790,6397Х2абл = 1,29З а м е ч а н и е . Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты, в один интервал.Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала,получим один интервал (15, 30).
В этом случае теоретическаячастотаП4=-пР (15<Х<30)=200.0,0473=9,46совпадает с суммой теоретических частот (9,46), приведенной в табл. 32.Из табл. 32 находим: Хнабл — 1 >29. По таблице критическихточек распределения х^ (<^^- приложение 5), по уровню значимостиа = 0 , 0 5 и числу степеней свободы ^ = s — 2 ^ 4 — 2 = 2 находим критическую точку правосторонней критической области Хкр(0,05; 2 ) = 6 , 0 .Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данныенаблюдений согласуются с этой гипотезой.649. В итоге испытания 450 ламп было полученоэмпирическое распределение длительности их горения,приведенное в табл.
33 (в первом столбце указаны интерТ аб л и ца 33'/""'/+10—400400—800800—12001200—1600"i1219576561'/""•^i+i«/1600—20002000—24002400—2800453621л = 450270валы в часах, во втором столбце—частота П/, т. е. количество ламп, время горения которых заключено в пределахсоответствующего интервала).Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотез*у о том, что время горения ламп распределено попоказательному закону.650. В итоге испытаний 1000 элементов на времябезотказной работы получено эмпирическое распределение,приведенное в табл.
34 (в первом столбце указаны интервалы времени в часах; во втором столбце—частота П/,т. е. количество отказавших элементов в /-м интервале).Таблица*/"*/ + !0—1010—2020—3030—40"'365245150100*/-'/ + !"/40—5050-6060—7070452534П=:1000Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что время безотказной работы элементовраспределено по показательному закону.651.
В итоге регистрации времени прихода 800 посетителей выставки (в качестве начала отсчета временипринят момент открытия работы выставки) полученоэмпирическое распределение, приведенное в табл. 35(в первом столбце указаны интервалы времени; во второмстолбце—частоты п^, т. е. количество посетителей, пришедших в течение соответствующего интервала).Таблица*/-*/+(0—11—22—33—4"'25916710974*1~'| + 14—55-66—77—835"*70474034800271требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что время прихода посетителей выставкираспределено по показательному закону,§ 19.
Проверка гипотезы о распределениигенеральной совокупности по биномиальному законуПроизведено п опытов. Каждый опыт состоит из N независимыхиспытаний, в каждом из которых вероятность появления события Аодна и та же. Регистрируется число появлений события А в каждом опыте. В итоге получено следующее распределение дискретнойслучайной величины X — числа появлений события А (в первойстроке указано число дг/ появлений события А в одном опыте; вовторой строке—частота л/, т.
е. число опытов, в которых зарегистрировано XI появлений события А):Xi О \ 2Л/ О 1 2...N. . . n/s/Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезуо распределении дискретной случайной величины X по биномиальному закону.Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверитьгипотезу о том, что дискретная случайная величина X (числопоявлений собртгия А) распределена по биномиальному закону, надо:1. Найти по формуле Бернулли вероятности Р (появления ровно iсобытий А в N испытаниях ( i = 0 , 1, 2, .
. . , s, где s—максимальноечисло наблюдавшихся появлений события А в одном опыте, m.e.s<N).2. Найти теоретические частотыn'i^nPi,где п—число опытов.3. Сравнить эмпирические и теоретические частоты по критерию Пирсона, приняв число степеней свободы k = s—1 (при этом предполагается, что вероятность р появления события А задана, т. е,не оценивалось по выборке и не производилось объединение малочисленных частот).Если же вероятность р была оценена по выборке у то k = s—2.Если, кроме того, было произведено объединение малочисленныхчастот, то s—число групп выборки, оставшихся после объединениячастот.652. Произведено п = 1 0 0 опытов.
Каждый опыт состоял из Л/" = 1 0 испытаний, в каждом из которыхвероятность р появления события А равна 0,3. В итогеполучено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано число х^ появлений события А в одномопыте; во второй строке—частота п,-, т. е. число опытов,в которых наблюдалось х^ появлений события А):0 1 2 3 4 5«,• 2 10 27 32 23 6Xl272требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что дискретная случайная величина X(число появлений события А) распределена по биномиальному закону.Решение.1.
По формуле Бернуллинайдем вероятность P , ( i = 0 , .1, 2, 3, 4, 5) того, что событие Апоявится в Л^ = 10 испытаниях ровно / раз.Учитывая, что р = 0,3, д=\—0,3 = 0,7, получим:Ро ==^10(0) =0,710 =0.0282; Pi = P,o(l) = 100,3.0,7»=0.1211.Аналогично вычислим: Pg = 0,2335; Р3=0,2668; Р4 =0,2001; Р5=== 0,1029.2. Найдем теоретические частоты /г/ = я Я | . Учитывая, что/г = 100, получим: /io = 2,82; /ii = 12,11; Пг =23,35; ni=26,68;«i =20,01; «5 = 10,29.3.
Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона. Для этого составим расчетную табл. 36. Посколькучастота По=2 малочисленная (меньше пяти), объединим ее с частотой /1|^=10 и в таблицу запишем 2 + 1 0 = 12; в качестве теоретической частоты, соответствующей объединенной частоте 12, запишемсумму соответствующих теоретических частот: По+Лl = 2,82^+12,11 =14,93.Т а б л и ц а 36i''112345122732236Vл = 100л'n^-^n]14,9323,3526,6820.0110,29~-2,933,655,32 12.99 1—4,29' i^r^iY 1 (T'uYh'i8,584913,322528.30248,940118,40410,57500,57061,06080,44681,7886х2абл = 4,44Из табл. 36 находим Хпабл = 4,44.По таблице критических точек распределения х* "^ уровнюзначимости а = 0,05 и числу степеней свободы ^ = 5 — 1 = 4находим критическую точку правосторонней критической областиХкр(0.05; 4) = 9 , 5 .Так как Хнабл < Хкр—нет оснований отвергнуть гипотезу о биномиальном распределении X.273653.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
