Главная » Просмотр файлов » В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 47

Файл №1115340 В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике) 47 страницаВ.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340) страница 472019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

Опыт» состоящий в одновременном подбрасываниичетырех монет, повторили 100 раз. Эмпирическое рас­пределение дискретной случайной величины X—числапоявившихся «гербов»—оказалось следующим (в первойстроке указано число дс/ выпавших «гербов» в одномбросании монет; во второй строке—частота л^ т. е. числобросаний, при которых выпало JC/ «гербов»):лг/ О 1 234п, 8 20 42 22 8Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределенапо биномиальному закону.Указание.Принять вероятность выпадения «герба» р » 0 , 5 .654. Отдел технического контроля проверил п = 1 0 0партий изделий по Л^==10 изделий в каждой партии иполучил следующее эмпирическое распределение дискрет­ной случайной величины X—числа нестандартных изде­лий (в первой строке указано число л:,* неста1(дартныхизделий в одной партии; во второй строке—частота п,.,т.

е. количество партий, содержащих лг/ нестандартныхизделий):АГ/ 0 1 23 456 7М/ 2 3 10 22 26 20 12 5Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределенапо биномиальному закону.У к а з а н и я . 1. Найти сначала относительную частоту появ­ления нестандартных изделий и принять ее в качестве оценки /)*вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным.2. При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона сле­дует объединить эмпирические частоты (2 + 3 = 5 ) и соответствующиеим теоретические частоты (0,60+4,03 = 4,63); учесть, что послеобъединения частот число групп выборки s = 7.3.

Один параметр (вероятность р) оценивался по выборке, поэтомупри определении числа степеней свободы надо вычесть из $ не еди­ницу, а два: s — 2 = 7 — 2 = 5.655. В библиотеке случайно отобрано 200 выборокпо 5 книг. Регистрировалось число поврежденных книг(подчеркивания, помарки и т. д.). В итоге полученоследующее эмпирическое распределение (в первой строкеуказано число лг/ поврежденных книг в одной выборке;274во второй строке—частота П/, т.

е. количество выборок,содержащих дс,- поврежденных книг):jCf О 1 23 4 5П; 72 77 34 14 2 1Требуется, используя критерий Пирсона, при уровнезначимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискрет­ная случайная величина X (число поврежденных книг)распределена по биномиальному закону.Указание.Принять во внимание указания к задаче 654.§ 20. Проверка гипотезы о равномерном распределениигенеральной совокупностиЗадано эмпирическое распределение непрерывной случайнойвеличины X в виде последовательности интервалов jc/«i—Xi и соот­ветствующих им частот Л/, причем 2 л / ^ = / 1 (объем выборки). Тре­буется» используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том,что случайная величина Л^,распределена равномерно.Правило.

Для того чтобы проверить гипотезу о равномерномраспределении X, т, е, по закону( 1/(6—а) в интервале (а, Ь),\Овне интервала (а, Ь),надо:1. Оценить параметры а и b—концы интервала^ в которомнаблюдались возможные значения X, по формулам (через а* и Ь*обозначены оценки параметров):а* =jrB— V^ ав, 6* = Х в + У^З'ов.2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения/(jr)=l/(6*-a*).3. Найти теоретические частоты:n[=nPi^ninx){xi'-a'')]==n-^^rz^(Xi—a*);Пз=Пз = . .

. =п^.-1==П'.»^ {Xi—Jf/-i),(i = 2 , 3, . . . . s — 1);ns=n'^^_^^{b*--Xs^^).4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона, приняв число степеней свободы /s = s—3, еде s —число интервалов, на которые разбита выборка.656. Почему параметры а и b равномерно распреде­ленной случайной величины X оцениваются по формулама*=х^ — УТо^,Ь* = х^ + \/То^?275Р е ш е н и е. Известно, что в качестве оценок математическогоожидания и среднего квадратического отклонения случайной вели­чины X можно принять соответственно выборочную среднюю лг^ ивыборочное среднее квадратическое отклонение о^.Известно также (см. гл.

VI, задачи 313, 315), что для равно­мерного распределения математическое ожидание и среднее квадра­тическое отклонение соответственно равны:M(X) = (a+6)/2,а(Х)=УЩХ)-=У(Ь—аУ';\2^{Ь-^а)12}Гг.Поэтому для оценки параметров равномерного распределения полу­чаем систему двух линейных уравнений\ (6*—а*)/2}^3' = ав.или\ 6*—а* = 2У^^ь-Решив эту систему, получим657.

Почему при проверке с помощью критерияПирсона гипотезы о равномерном распределении гене­ральной совокупности X число степеней свободы опре­деляется из равенства k = s—3, где s—число интерваловвыборки?Р е ш е н и е . При использовании критерия Пирсона число сте­пеней свободы Af=s—1—г, где г—число параметров, оцениваемыхпо выборке. Равномерное распределение определяется двумя пара­метрами а и 6.

Так как эти два параметра оцениваются по выборке,то г = 2 и, следовательно, число степеней свободы/; = s—1—2 = s—3.658. Произведено п==200 испытаний» в результатекаждого из которых событие А появлялось в различныемоменты времени. В итоге было получено эмпирическоераспределение, приведенное в табл. 37 (в первом столбцеуказаны интервалы времени в минутах, во втором столбце—соответствующие частоты, т. е.

число появлений событияА в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05проверить гипотезу о том, что время появления событийраспределено равномерно.Т а б л и ц а 37Интервал'i-1-^i2-^44-66-88—1010—12276Частота""i2116152622Интервал^/-l"**/1!i12—1414-1616-1818—2020—22Частотал/1421221825Р е ш е н и е . 1.

Найдем оценки параметров а и b равномерноюраспределения по формулам:Для вычисления выборочной средней дг„ и выборочного сред­него квадратического отклонения а^ примем середины Xi интерваловв качестве вариант (наблюдаемых значений X), В итоге получимэмпирическое распределение равноотстоящих вариант:Xi3 5 7 9 11 13 15 17 19 21/I/ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25Пользуясь, например, методом произведений, найдем: д?]^= 12,31,Ой = 5,81. Следовательно,а* - 12,31 — 1,73 5,81 =2,26, Ь* = 12,31 h 1,735,81 =22,36.2.

Найдем плотность предполагаемого равномерного распре­деления:/(л-) = 1/(/Ь*—а*) =1/(22,36—2,26) = 0,05.3. Найдем теоретические частоты:/г1 = л/(д:) (дгх —а*) = 200.0,05.(4—2,26)=17,4;Л2 = 2 0 0 . 0 , 0 5 ( А : 2 —A:I) = 1 0 ( 6 —4) = 20.Длины третьего—девятого интервалов равны длине второгоинтервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этиминтервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т. е.%-%-%='%=''7-% = п;=20;л1о = 200.0,05.(6* — л-в)= 10.(22,36 —20)---23,6.4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используакритерий Пирсона, приняв число степеней свободы k = s—3 === 10—3 = 7.

Для этого составим расчетную табл. 38.Т а б л и ц а 38i"/1234567891021161526221421221825/1.-/1;3,7—4—562—612—217,3202020202020202023.6-.1,4(/., «:.)V.ii-r^:r13,6910,790.801,251,800,201,800,050,200,200,081Хйабл = 7,171625364361441.96277Из расчетной таблицы получаем Хнабл~^»^^'Найдем по таблице критических точек распределения х* (см.приложение 5) по уровню значимости а = 0 , 0 5 и числу степенейсвободы k = s—3= 10—3 = 7 критическую точку правосторонней кри­тической области Xl^p{0fi5; 7) = 14,1.Так как Хнабл ^ ^кр—"^ оснований отвергнуть гопотезу оравномерном распределении X. Другими словами, данные наблюде­ний согласуются с этой гипотезой.659.

В результате взвешивания 800 стальных шари­ков получено эмпирическое распределение» приведенноев табл. 39 (в первом столбце указан интервал весав граммах, во втором столбце—частота, т. е. количествошариков, вес которых принадлежит этому интервалу).Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что вес шариков X распределен равно­мерно.Т а б л и ц а 39'/-<•*/«/'/-!-*/"i20,0—20,520,5—21,021,0—21.521,5—22,022,0—22.522,5—23,091767574928323,0—23,523,5—24,024,0—24,524,5—25,0797380771/1=^800вес.

в некоторой местности в течение 300 сут ре­гистрировалась среднесуточная температура воздуха.В итоге наблюдений было получено эмпирическое распре­деление, приведенное в табл. 40 (в первом столбцеуказан интервал температуры в градусах, во второмстолбце—частота /i/, т. е. количество дней, среднесу­точная температура которых принадлежит этому интер­валу).Т а б л и ц а 40уО«.0"/_40—(—30)—30—(—20)—20—(—10)—10—0254030451278"<1>10—1010—2020—3030—4040464826Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что среднесуточная температура воздухараспределена равномерно.661. В течение 10 ч регистрировали прибытие авто­машин к бензоколонке и получили эмпирическое рас­пределение, приведенное в табл. 41 (в первом столбцеуказан интервал времени в часах, во втором столбце —частота, т.

е. количество машин, прибывших в этоминтервале). Всего было зарегистрировано 200 машин.Таблица^•-1-8—99—1010—1111—1212—1341'«1124022162813—1414—1515—1616—1717—18611331814Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что время прибытия машин распределеноравномерно.§ 21.

Проверка гипотезы о распределениигенеральной совокупности по закону ПуассонаЗадано эмпирическое распределение дискретной случайной величи­ны X. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу ораспределении генеральной совокупности по закону Пуассона.Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределена по законуПуассона, надо:1.

Найти по заданному эмпирическому распределению выборочнуюсреднюю дгв.2. Принять в качестве оценки параметра А, распределения Пуассонавыборочную среднюю X = Xj^.3. Найти по формуле Пуассона (или по готовым таблицам)вероятности Pi появления ровно i событий в п испытаниях (i = 0,1,2,..., г,где г — максимальное число наблюдавшихся событий; п — объемвыборки/4. Найти теоретические частоты по формуле п'^-п- Pi.5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s — числоразличных групп выборки (если производилось объединение малочисленныхчастот в одну группу, то s — число оставшихся групп выборки послеобъединения частот).662.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6521
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее