В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Опыт» состоящий в одновременном подбрасываниичетырех монет, повторили 100 раз. Эмпирическое распределение дискретной случайной величины X—числапоявившихся «гербов»—оказалось следующим (в первойстроке указано число дс/ выпавших «гербов» в одномбросании монет; во второй строке—частота л^ т. е. числобросаний, при которых выпало JC/ «гербов»):лг/ О 1 234п, 8 20 42 22 8Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределенапо биномиальному закону.Указание.Принять вероятность выпадения «герба» р » 0 , 5 .654. Отдел технического контроля проверил п = 1 0 0партий изделий по Л^==10 изделий в каждой партии иполучил следующее эмпирическое распределение дискретной случайной величины X—числа нестандартных изделий (в первой строке указано число л:,* неста1(дартныхизделий в одной партии; во второй строке—частота п,.,т.
е. количество партий, содержащих лг/ нестандартныхизделий):АГ/ 0 1 23 456 7М/ 2 3 10 22 26 20 12 5Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределенапо биномиальному закону.У к а з а н и я . 1. Найти сначала относительную частоту появления нестандартных изделий и принять ее в качестве оценки /)*вероятности того, что наудачу взятое изделие окажется нестандартным.2. При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона следует объединить эмпирические частоты (2 + 3 = 5 ) и соответствующиеим теоретические частоты (0,60+4,03 = 4,63); учесть, что послеобъединения частот число групп выборки s = 7.3.
Один параметр (вероятность р) оценивался по выборке, поэтомупри определении числа степеней свободы надо вычесть из $ не единицу, а два: s — 2 = 7 — 2 = 5.655. В библиотеке случайно отобрано 200 выборокпо 5 книг. Регистрировалось число поврежденных книг(подчеркивания, помарки и т. д.). В итоге полученоследующее эмпирическое распределение (в первой строкеуказано число лг/ поврежденных книг в одной выборке;274во второй строке—частота П/, т.
е. количество выборок,содержащих дс,- поврежденных книг):jCf О 1 23 4 5П; 72 77 34 14 2 1Требуется, используя критерий Пирсона, при уровнезначимости 0,05 проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина X (число поврежденных книг)распределена по биномиальному закону.Указание.Принять во внимание указания к задаче 654.§ 20. Проверка гипотезы о равномерном распределениигенеральной совокупностиЗадано эмпирическое распределение непрерывной случайнойвеличины X в виде последовательности интервалов jc/«i—Xi и соответствующих им частот Л/, причем 2 л / ^ = / 1 (объем выборки). Требуется» используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том,что случайная величина Л^,распределена равномерно.Правило.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерномраспределении X, т, е, по закону( 1/(6—а) в интервале (а, Ь),\Овне интервала (а, Ь),надо:1. Оценить параметры а и b—концы интервала^ в которомнаблюдались возможные значения X, по формулам (через а* и Ь*обозначены оценки параметров):а* =jrB— V^ ав, 6* = Х в + У^З'ов.2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения/(jr)=l/(6*-a*).3. Найти теоретические частоты:n[=nPi^ninx){xi'-a'')]==n-^^rz^(Xi—a*);Пз=Пз = . .
. =п^.-1==П'.»^ {Xi—Jf/-i),(i = 2 , 3, . . . . s — 1);ns=n'^^_^^{b*--Xs^^).4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона, приняв число степеней свободы /s = s—3, еде s —число интервалов, на которые разбита выборка.656. Почему параметры а и b равномерно распределенной случайной величины X оцениваются по формулама*=х^ — УТо^,Ь* = х^ + \/То^?275Р е ш е н и е. Известно, что в качестве оценок математическогоожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины X можно принять соответственно выборочную среднюю лг^ ивыборочное среднее квадратическое отклонение о^.Известно также (см. гл.
VI, задачи 313, 315), что для равномерного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:M(X) = (a+6)/2,а(Х)=УЩХ)-=У(Ь—аУ';\2^{Ь-^а)12}Гг.Поэтому для оценки параметров равномерного распределения получаем систему двух линейных уравнений\ (6*—а*)/2}^3' = ав.или\ 6*—а* = 2У^^ь-Решив эту систему, получим657.
Почему при проверке с помощью критерияПирсона гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности X число степеней свободы определяется из равенства k = s—3, где s—число интерваловвыборки?Р е ш е н и е . При использовании критерия Пирсона число степеней свободы Af=s—1—г, где г—число параметров, оцениваемыхпо выборке. Равномерное распределение определяется двумя параметрами а и 6.
Так как эти два параметра оцениваются по выборке,то г = 2 и, следовательно, число степеней свободы/; = s—1—2 = s—3.658. Произведено п==200 испытаний» в результатекаждого из которых событие А появлялось в различныемоменты времени. В итоге было получено эмпирическоераспределение, приведенное в табл. 37 (в первом столбцеуказаны интервалы времени в минутах, во втором столбце—соответствующие частоты, т. е.
число появлений событияА в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05проверить гипотезу о том, что время появления событийраспределено равномерно.Т а б л и ц а 37Интервал'i-1-^i2-^44-66-88—1010—12276Частота""i2116152622Интервал^/-l"**/1!i12—1414-1616-1818—2020—22Частотал/1421221825Р е ш е н и е . 1.
Найдем оценки параметров а и b равномерноюраспределения по формулам:Для вычисления выборочной средней дг„ и выборочного среднего квадратического отклонения а^ примем середины Xi интерваловв качестве вариант (наблюдаемых значений X), В итоге получимэмпирическое распределение равноотстоящих вариант:Xi3 5 7 9 11 13 15 17 19 21/I/ 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25Пользуясь, например, методом произведений, найдем: д?]^= 12,31,Ой = 5,81. Следовательно,а* - 12,31 — 1,73 5,81 =2,26, Ь* = 12,31 h 1,735,81 =22,36.2.
Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:/(л-) = 1/(/Ь*—а*) =1/(22,36—2,26) = 0,05.3. Найдем теоретические частоты:/г1 = л/(д:) (дгх —а*) = 200.0,05.(4—2,26)=17,4;Л2 = 2 0 0 . 0 , 0 5 ( А : 2 —A:I) = 1 0 ( 6 —4) = 20.Длины третьего—девятого интервалов равны длине второгоинтервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этиминтервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т. е.%-%-%='%=''7-% = п;=20;л1о = 200.0,05.(6* — л-в)= 10.(22,36 —20)---23,6.4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используакритерий Пирсона, приняв число степеней свободы k = s—3 === 10—3 = 7.
Для этого составим расчетную табл. 38.Т а б л и ц а 38i"/1234567891021161526221421221825/1.-/1;3,7—4—562—612—217,3202020202020202023.6-.1,4(/., «:.)V.ii-r^:r13,6910,790.801,251,800,201,800,050,200,200,081Хйабл = 7,171625364361441.96277Из расчетной таблицы получаем Хнабл~^»^^'Найдем по таблице критических точек распределения х* (см.приложение 5) по уровню значимости а = 0 , 0 5 и числу степенейсвободы k = s—3= 10—3 = 7 критическую точку правосторонней критической области Xl^p{0fi5; 7) = 14,1.Так как Хнабл ^ ^кр—"^ оснований отвергнуть гопотезу оравномерном распределении X. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.659.
В результате взвешивания 800 стальных шариков получено эмпирическое распределение» приведенноев табл. 39 (в первом столбце указан интервал весав граммах, во втором столбце—частота, т. е. количествошариков, вес которых принадлежит этому интервалу).Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что вес шариков X распределен равномерно.Т а б л и ц а 39'/-<•*/«/'/-!-*/"i20,0—20,520,5—21,021,0—21.521,5—22,022,0—22.522,5—23,091767574928323,0—23,523,5—24,024,0—24,524,5—25,0797380771/1=^800вес.
в некоторой местности в течение 300 сут регистрировалась среднесуточная температура воздуха.В итоге наблюдений было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 40 (в первом столбцеуказан интервал температуры в градусах, во второмстолбце—частота /i/, т. е. количество дней, среднесуточная температура которых принадлежит этому интервалу).Т а б л и ц а 40уО«.0"/_40—(—30)—30—(—20)—20—(—10)—10—0254030451278"<1>10—1010—2020—3030—4040464826Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьгипотезу о том, что среднесуточная температура воздухараспределена равномерно.661. В течение 10 ч регистрировали прибытие автомашин к бензоколонке и получили эмпирическое распределение, приведенное в табл. 41 (в первом столбцеуказан интервал времени в часах, во втором столбце —частота, т.
е. количество машин, прибывших в этоминтервале). Всего было зарегистрировано 200 машин.Таблица^•-1-8—99—1010—1111—1212—1341'«1124022162813—1414—1515—1616—1717—18611331814Требуется при уровне значимости 0,01 проверитьгипотезу о том, что время прибытия машин распределеноравномерно.§ 21.
Проверка гипотезы о распределениигенеральной совокупности по закону ПуассонаЗадано эмпирическое распределение дискретной случайной величины X. Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу ораспределении генеральной совокупности по закону Пуассона.Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверитьгипотезу о том, что случайная величина X распределена по законуПуассона, надо:1.
Найти по заданному эмпирическому распределению выборочнуюсреднюю дгв.2. Принять в качестве оценки параметра А, распределения Пуассонавыборочную среднюю X = Xj^.3. Найти по формуле Пуассона (или по готовым таблицам)вероятности Pi появления ровно i событий в п испытаниях (i = 0,1,2,..., г,где г — максимальное число наблюдавшихся событий; п — объемвыборки/4. Найти теоретические частоты по формуле п'^-п- Pi.5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощьюкритерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s — числоразличных групп выборки (если производилось объединение малочисленныхчастот в одну группу, то s — число оставшихся групп выборки послеобъединения частот).662.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
