В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, распределенной позакону Релея, заданного плотностью вероятности f(x) == XA:/a^)e-^V2a« при л:>0; f{x) = 0 при л: < 0.700. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностьювероятности /(jc) = ^[l—(Kx)l2] в интервале (0;2/А,); внеэтого интервала f{x) = 0.701. Разыграть четыре возможных значения непрерывной случайной величины X, заданной плотностью вероятности /(х)==1—х/2 в интервале (0; 2); вне этого интервала f(x) = 0.У к а з а н и е . Для определенности принять случайные числа:0,35; 0,96; 0,31; 0,53.702. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностьювероятности /(л:) = (V2)sinjc в интервале (О, я); вне этогоинтервала /(х) = 0.703. Найти явную формулу для разыгрывания непрерывной случайной величины X, заданной плотностьювероятности /(лг) = се-^*/(1—е-^^) в интервале (0,6); внеэтого интервала / (х) = 0.704.
Найти методом суперпозиции явные формулыдля разыгрывания непрерывной случайной величины X,заданной функцией распределения F(x)=l — (7з)(2е"'2*++е~зх)(о<л:<оо).Р е ш е н и е . В соответствии с правилом 3 иредставим заданнуюфункцию в виде/^W = ( V 3 ) ( l - e - 3 ^ ) + ( V 3 ) ( l ~ e - 2 ^ ) .Функции, заключенные в, скобках, являются функциями распределения показательного закона, поэтому можно принять: Fi (х) = I —е"*^-^.Введем в рассмотрение вспомогательную дискретную случайнуювеличину Z с законом распределенияZ 12р 1/3 2/3300Выберем независимые случайные числа г^ и Гг- Разыграем Zпо случайному числу /-j, для чего по правилу § 1 построим частичные интервалы Aj—(О, ^/з) и Ag—(Va» О- Если Гх < 7з» то Z = l ;если /"li^Vs» то Z = 2.Итак, возможное значение X находят, решая относительно хуразнение1_е-ЗА: = ;.2^ если Гх < Vs.или1—е""^^ = Г2, если /'i ^ Vo»Решив эти уравнения, получим:д:=[ —1п(1—Г2)]/3, если r-i < 1/3;дг=[—.jn(l—/'2)]/2, если Г 1 ^ 1 / 3 .Приняв во внимание, что случайные величины /? и I —/? в интервале (О, 1) распределены одинаково, окончательно имеем болеепростые формулы:д^ = ( — 1пг2)/3, если Гх < 1/3,х={ — \пг2)/2, если /-1:^1/3.705.
Найти методом суперпозиции явные формулы дляразыгрывания непрерывной случайной величины X, задайной функцией распределения F (х) = 1 —0,25 (е""*^ ++ 3е-^)(0<л:<оо).У к а з а н и е . Принять Fi (л:)== 1 — е-^-^, /^2 (^) = 1 —-е-^.706. Найти методом суперпозиции явные формулыдля разыгрывания непрерывной случайной величины X,заданной функцией распределения F (х) = 1 — (Vs) (2е~'*++ 3 е - * ^ ) ( 0 < л : < сх>).У к а з а н и е .
Принять Fi(x)=l—е-^^,р2(х) = 1 — е^^^.707. Найти методом суперпозиции явные формулыдля разыгрывания непрерывной случайной величины X,заданной функцией распределения F{x)=\—(V?) (^"""^ ++ 2е-^^ + 4е-8^) (О < л: < со).Указание.F^ (А:) = 1 —е-зх.Принятьfi(x)=l—е--^,^2(А:) =1—е""^-^,708.
а) Найти методом суперпозиции явные формулыдля разыгрывания непрерывной случайной величины X,заданной плотностью вероятности / (х) = (4/27) f 1 + (х— I )^Jв интервале (О, 3); вне этого интервала f{x) = 0.б) Показать, что метод обратных функций требуетрешения уравнения четвертой степени (х^—1)* + 4л:/ —- ( 2 7 г , + 1)==0.У к а з а н и е .
Принять /i(x) = V9» /2 W = (^/9)(-^—О'*» ^ t ^ V s ,С2 = 2/з.301709. а) Найти методом суперпозиции явные формулыдля разыгрывания непрерывной случайной величины X,заданной плотностью вероятности f {х) = (5/12)[1+{х—1)*]в интервале (О, 2); вне этого интервала f{x) = 0.б) Показать, что метод обратных функций требуетрешения уравнения пятой степени {х^—1)^4-5х/ — (12г;—— 1) = 0.У к а з а н и е . Принять /,(JC) = V2. f2(x)=(V2)(x—l)\C2-Ve.Ci = Ve,§ 4.
Приближенное разыгрываниенормальной случайной величиныТребуется приближенно разыграть нормальную случайную величину.Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможноезначение х/ нормальной случайной величины X с параметрами а = 0и 0 = 1 , надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полу*ценной суммы вычесть 6:12/=|З а м е ч а н и е . Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а исредним квадратическим отклонением а, то, разыграв возможноезначение Х( по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле710. Разыграть четыре возможных значения нормальной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а = 1 ;б) а = 2, а = 3.Р е ш е н и е , а) В соответствии с правилом разыграем возможное значение дг] нормальной случайной величины X с параметрамиа = 0 и а = 1 по формуле12/=iВыберем из второй строки таблицы приложения 9 первых 12 случайных чисел: 0,37; 0,54; 0,20; 0,48; 0,05; 0,64; 0,89; 0,47; 0,42;0,96; 0,24; 0,80.
Сложив эти числа, получим 5 i = 6 , 0 6 . Искомоевозможное значение J C I = 5 I — 6 = 6 , 0 6 — 6 = 0 , 0 6 .Аналогично, выбрав из третьей, четвертой и пятой строк таблицы по 12 первых случайных чисел, получим: 52=4,90, 5 з = 4 , 4 8 ,5 4 = 6 , 8 3 . Следовательно, JC2=4.90—6=—1,10; ;сз = 4,48—6=—1,52;Ж4 = 6 . 8 3 — 6 = 0 , 8 3 .б) Найдем возможные значения нормальной случайной величины Zс параметрами а = 2 , а = 3 по формуле z/=0X/-f-a. Подставив возможные значениях{=0,06, а = 2 . а = 3 .
получим e i = 3 - 0 , 0 6 + 2 = 2 . 1 8 .302Аналогично найдем остальные возможные значения: 22=*—1,3,Z8 = — 2,56, 24=4.49.711. Разыграть пять возможных значений нормальной случайной величины с параметрами: а)а = 0, а = 1 ;б) а= 10, а = 2.У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых двузначных чисел последних пяти строк таблицы приложения 9 и умножить каждое двузначное число на 0,01.712. Разыграть пять возможных значений нормальной случайной величины с параметрами: а) а = 0, а==1;б) а = 4, 0 = 0,1.У к а з а н и е . Для определенности выбрать по 12 первых трехзначных чисел из первых пяти строк таблицы приложения 9 и умножить каждое трехзначное число на 0,001.713. Разыграть 50 возможных значений нормальнойслучайной величины X с параметрами а = 0 , а = 1 и оценить параметры разыгранной величины.У к а з а н и е .
Для определенности при разыгрывании возможного значения Х{ выбрать первые 12 двузначных чисел i-Pi строкитаблицы приложения 9 и умножить каждое двузначное число на 0,01.§ 5. Разыгрывание двумерной случайной величиныА. Дискретная двумерная случайная величина. Разыгрывание дискретной двумерной случайной величины (X, К) сводится к разыгрыванию ее составляющих—одномерных дискретных случайных величин X и Y.Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, У). Если составляющие X и Y н е з а в и с и м ы , то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X иУ по правилу § 1.Если составляющие з а в и с и м ы , то находят закон распределения одной из них, условные законы распределения другой и по нимразыгрывают Л и К по правилу § 1.714.
Дискретная двумерная случайная величина(X, У), составляющие которой независимы, задана закономраспределения:XYУхУ2XtXtХг0,180,120.300,200,120,08Разыграть случайную величину (X, Y).303Р е ш е н и е . Найдем закон распределения составляющей X:Pi = P ( X = X i ) = 0 , 1 8 + 0 , l 2 = 0 , 3 0 .р,==:Р (Х=Жа)= 0,30+0,20 =0,50,Рз=::Р(Х=Хз)=0,12 + 0.08=0.20.Таким образом, искомый закон распределения имеет видXXiр0,30х%Ж)0,50 0,20Аналогично найдем закон распределения К:УУхр 0,60У%0,400>ставляющие X и У разыгрывают по правилу § I.715, Разыграть пять пар возможных значений двумерной случайной величины (X, К), составляющие которой независимы, зная закон ее распределения:XYУ\У2XtXt0,200,300,080,121 ^^0,120,18У к а з а н и е .
Для определенности принять при разыгрывании Xслучайные числа: 0,98; 0,52; 0,01; 0,77; 0,67, а при разыгрыванииК—числа 0,11; 0,80; 0,50; 0,54; 0,31.716. Дискретная двумерная случайная величина(X, V) задана законом распределения:XY*|Xt<sУхУг0,100,060,300,180.200,16Разыграть пять пар возможных значений (X, Y).У к а з а н и е . Найти закон распределения составляющей Xи разыграть ее. Найти условные законы распределения р (yj \ Х{) аР(^/. У/)= — > >— составляющей У и разыграть ее.
Для определенностиР \*i)принять случайные числа, приведенные в задаче 715.Б. Непрерывная двумерная случайная величину. Разыгрываниенепрерывной двумерной случайной величины (X, У) сводится к разыгрыванию ее составляющих—одномерных случайных величин X и К.304Пусть задан закон распределения двумерной случайной величины (X, У). Если составляющие X и К н е з а в и с и м ы , то находят законы их распределения и по ним разыгрывают X и Y по правилам § 3.Если составляющие X иУ з а в и с и м ы , то находят закон распределения одной из них, условный закон распределения другойи по ним разыгрывают X и У по правилам § 3.З а м е ч а н и е . Составляющие X и У независимы, если ЕЫПОЛняется любое из условий:1.
Плотность совместного распределения равна произведениюплот1юстей составляющих.2. Функция совместного распределения равна произведениюфункций распределения составляющих.3. Условные плотности распределения составляющих равны ихбезусловным плотностям.4. Плотность совместного распределения равна произведениюдвух функций, одна из которых зависит только от jc, а другая —только от у (задача 437).717. Найтр! явные формулы для разыгрывания непрерывной двумерной случайной величины (X, Y), заданнойплотностью вероятности / (х, у) = (V^) ху* в области, ограниченной прямыми х = 0, у = 0, х=1, у = 2.Р е ш е н и е . Составляющие X и У независимы, так как совместную плотность вероятности /(дг, у ) = ( 3 / 4 ) х у * можно представитьв виде произведения двух функций, одна из которых зависит толькоот JC, а другая только от у.Найдем плотность распределения составляющей X:22/i W = I fix.
у) dy = (V4)* J y^dy^2x.00Итак, /, (дг)=2дг (0 < дг < I).Разыграем X по правилу 2 (§ 3):2 [хdx^ri.Отсюда получим явную формулу для вычисления возмч)жных значений X:Xi^ Y7T.Найдем плотность распределения составляющей К:11/f (У) = S / (^.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
