В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 55
Текст из файла (страница 55)
§ 3). имеем(2/3) J(x+l)dx«r/.оОтсюда находим явную формулу для разыгрывания возможных зна*чений X:«^««.««X/=Kl+3r/--l.В табл. 66 приведены результаты 10 испытаний.Т а б л и ц а 66Номериспытания кп123456769100, 100 0 , 9 7 3 0 , 2 5 3 0 , 3 7 6 0 . 5 2 0 0 , 135 0 , 8 6 3 0 , 4 6 7 0 , 3 5 4 0 . 8 7 60 , 140 0 , 9 8 0 0 . 3 2 6 0 , 4 5 9 0 , 6 0 0 0 . 1 8 5 0 , 8 9 4 0 , 5 5 0 0 , 4 3 6 0 , 9 0 5Ф(ж/)«е"ДГ/+1Ы б О 2 , 6 6 4 1,385 1,682 1.822 1,203 2 , 4 4 5 1.733 1,646 2 , 4 7 21.140 1.980 1.326 1.459 1,600 1.185 1,894 1.550 1,436 1,9051»009 1,345 1,044 1.084 1.
139 1.015 1,291 1,118 1,077 1.298326Е е**si 1,42 Искомая оценка в силу («) равна /з «»0,15* 11,42«^ 1,713*747, Найти оценки I* определенных интегралов:3я/2Iа) J(j^+l)djc;б) Je«*dx;•Ч'в) j sinxdx;dxУ к а з а н и е * Принять в качестве «вспомогательной плотности»/(х) функцию, соответственно равную: а) (1/4) дс; б) 0,5(1-{-2х);в) (8/я*)др; г) 1,092/(1 +ж)*748. Вывести формулу 11 = ф—a)c(njn)для оценкиbопределенного интеграла / = J ф (х) dJt, где подынтегральапая функция неотрицательна и ограничена (0^ф(д:)^с),исходя из истолкования интеграла как площади*Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение двумерную случайную величину (X, К), распределенную равномерно в прямоугольнике Dс основанием (Ь—а) и высотой с, плотность вероятности которойf(Xt У)^='\1(Ь—а)с. Составляющая X распределена в интервале(а, Ь) равномерно с плотностью 1/(6—а)\ составляющая Y распре*делена в интерзале (О» с) с плотностью 1/с.Если разыграно п точек (х^, ^/), принадлежащих прямоугольнику D, из которых П] точек оказались под кривой ^ = ф(х), тоотношение площади, определяемой интегралом / , к площади прямоугольника Dьф—а) сп*Отсюдаb\ ф (х) dx^(b—a)c(nin),аТаким образом, в качестве оценки интеграла / можно принять/»*«(6—а)с(пх/я).2749.
Найти оценку /J интеграла J (4—x^)dx.о327Р е ш е н и е« Используем формулуft^(b—a)c(ni/n).В интервале (О» 2) подынтегральная функция ф(дг)«4—jr' неотрицательна и ограничена, причем ф(хХф(0)=к4; следовательно,можно принять с « 4 .Введем о рассмотрение двумерную случайную величину (X, К),распределенную равномерно в прямоугольнике D с основаниемо—a=s2—0=s2 и высотой е^4, плотность вероятности которой/(ДР.») = 1/(2.4)«1/8.Разыграем л » 10 случайных точек (JT/, у/), принадлежащих прямоугольнику £). Учитывая, что составляющая л в интервале (О, 2)распределена равномерно с плотностью ff(x)^\/2n составляющая Ув интервале (О, 4) распределена равномерно с плотностью / i ( ^ ) = l / 4 ,разыграем координаты случайной точки (х/, ^/), принадлежащейпрямоугольнику D, по паре независимых случайных чисел (г/, /?/):»/?/-Отсюда Xi^2ri, pi^iRi*^Если окажется, что ^/ < 4«-»дг/, то точка (дг/, р/)кривой |г«ф (х) и в ссчетчик /if» надо добавить единицуРезультаты десяти испытаний приведены в табл.
67.подТ а б л и ц а 67Номер•спятааш*1\12345678910''lo.ioo«f«»'/0.2000.253 1 0.5060.520 1.0400,863 1.7260.354 0.7080.809 1.6180.9111.8220.542 1.0840.056 0.1120.474 0.948«?•-*?Kt9§»*И10.0400.2561.0822,9790.5012.6183.3201.1750.0130.8993,9603.7442,9181,0213.4991.3820.6802.8253,9873.1010,9730.3760.1350,4670.8760.8900,7370.0480.4890.2963,8921,5040.5401.8683.5042.3602,9480.1921.9561.184tt<4~ii111111Из т^бл. 67 находим Л| «6« Искомая оценка интеграла/;«№—л)с(я1/я)«2.4.(6/10)==4,8.4750.
Найти оценку / ; интеграла \-jdjc.У к а з а н и е . Для определенности взять 20 пар случайныхчисел с тремя знаками после запятой из таблицы ориложейия 9,начиная с первой строки сверху.328751 • Найти оценку /J интеграла Je^djc.оУ к а з а н и е * > . Для определенности взять 10 пар случайныхчисел с тремя знаками после запятой из таблицы приложения 9,начиная с первой строки сверху.7 5 2 .
Вывести формулу^*' *- ^1114> {x^)-g(xi)] +U(x)Ы\dx,aгде X{~a + (b—a)r^^ g (x) di ц> (x), для оценки интегралаb/ = J Ф (X) dx.aР е ш е н и е . Введем в рассмотрение случайную величину X,распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, Ь)с плотностью/(x)ssl/(b—а).Допустим» что найдена такая функция ^(дг)» которая смалоотличается» от (р(х) и интеграл от которой можно вычислить, неприбегая к методу Монте-Карло. Тогда математическое ожиданиефункцииbF (X) - (р-а) [ф (X)-g {ХУ\ + J «(*) <Ufаравно / .Действительно» учитывая» что величина X распределена в интервале интегрирования (а» Ь) равномерно с плотностью 1/(6—а)»получимbbааЪаТаким образом, в качестве оценки математического ожиданияAi[F(X)], а следовательно интеграла /» можно принять среднееарифметическое п значений функции F{Xy.пьЫ\aгде дг/—возможные значения X, которые разыгрывают по формулеXi^a+{b—a)ri.^753« Найти оценку 1\ интеграла*) Это указание относится в к задачам 754» 755.329Р е ш е н и е .
Так как УТ+1с^^1 + (\/2) х^+.,.(\х\<\),топримем g(x)^l + (\/2)x^. Тогда, полагая число испытаний пз»10«имеем оценку'•*-fof [V'^-('+T''')]+| ('+т ")'^Выполнив элементарные преобразования, получим10<= IУчитывая, что а «О, Ь^\^ возможные значения Х{ разыграем поформуле Xi9sa+(b—а)Г(=Г{.Результаты вычислений приведеныаол. 68.в тасТ а б л и ц а 68Номериспытания {10Iх(шп0«100 0 . 9 7 3 0,2531 0,376 0 , 5 2 0 | О, 135 0 , 8 6 3 | !0,467| 0 . 3 5 4 0 , 8 7 60«01Ш0,947 |о«064| 0.141 0 , 2 7 0 |0,018 0 . 7 4 5 |0.218| 0 , 1 2 5 | 0 , 7 6 71 , 0 1 0 1.947 1.064! 1.141 1,270| 1,018 1,745| 1.218 1,125 1,7671.005 1,395 1«032| 1,068| 1, 127 1,009 1.321 1,104 1.061| 1,3292 , 0 0 0 | 1,843| 2 .
0 0 0 1,995 1,984 2 , 0 0 0 1,897 1.990 1.997| 1,891Сложив числа последней строки табл. 68, найдем сумму 19,597,подставив которую в соотношение («), получим искомую оценкуинтеграла/Г = (19,597/20)+(1/6) = 1.145.Заметим, что точное значение / = 1,147.1754. Найти оценку /Г интеграла j e^dx.Указание.« 1 + Х+...Принять функцию g(x)=^\ + x, так как е^»^755. Найти оценку /J интеграла J е-'*/^ dx.оУ к а з а н и е .
Принять функцию ^(jc) == 1 — (JCV2), так каке-«*/««1—(х«/2)+»..Часть пятаяСЛУЧАЙНЫЕ Ф У Н К Ц И ИГлава шестнадцатаяКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЯ§ 1 . Основные ПОНЯТИЯ. Характеристики случайныхфункцийСлучайной функцией X (/) назьюают функцию неслучайного аргумента /, которая при каждом фиксированном значении аргументаявляется случайной величиной.Сечением случайной функции К (/) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.Реализацией случайной функции X{t) называют неслучайнуюфункцию аргумента /, которой может оказаться равной случайнаяфункция в результате испытания.Таким образом, случайную функцию можно рассматривать каксовокупность случайных величин (Х (О}» вависящих от параметра /,или как совокупность ее возможных реализаций*Характеристиками случайной функции называют ее моменты,которые являются неслучайными функциями.Математическим ожиданием случайной функции X (t) называюнеслучайную функцию mx(t), значение которой при каждом фиксированном значении аргумента равно математическому ожиданию сечения, соответствующего этому же фиксированному значению аргумента:mx(i)^MlX(i)].Свойства математического ожидания случайной функции.
Свойство 1. Математическое ожидание неслучайной функции ф (/) равнсамой неслучайной функции:Л1[ф(01«Ф(0*С в о й с т в о 2< Неслучайный множитель ф(/) можно выноситва знак математического ожидания:Л1[ф{/).Х{0]=Ф(0Л^1Х(/)]-ф(/).т;,(0.С в о й с т в о 3. Математическое ожидание суммы двух случайных функций равно сумме математических ожиданий слагаемых:М [Х (i)+Y(t)] - m ^ (i)+m„ (i).Свойство можно обобщить на п слагаемых функций:л^Гз^х/со!- i;^m^^(/).С л е д с т в и е . Если X(t) —случайная функция, ф(/)—неслучайная функция, тоMlXli) + ip(i)]^mx(i)+q>(i).Дисперсией случайной функции X(t) называют неслучайную неотрицательную функцию Dx (О» значение которой при каждом фикси331рованном значении аргумента t равно дисперсии сечения, соответст*вующего STOBiy же фиксировакному значению аргумента:D^(/)=.D[X(/)].Средним квадратическим отклонением случайной функции навают квадратный корень из дисперсии:Свойства дисперсии случайной функции.
С в о й с т в о 1* Дис^Персия неслучайной функции ф(/) равна нулю:о[ф{/)]«аС в о й с т в о 2. Дисперсия суммы случайной функции X (t) инеслучайной функции fp(t) равна дисперсии случайной функции:/> W 0 + 9(01 = Dx(0.С в о й с т в о 3. Дисперсия произведения случайной функции X(/)на неслучайную функцию ф(/) равна произведению квадрата неслучайного множителя на дисперсию случайной функции:О1Х(0Ф(01«Ф*(0Ох(0*Центрированной случайной функцией называют разность междуслучайной функцией и ее математическим ожиданием:Корреляционной функцией случайной функции X(t) называютнеслучайную функцию Кх (hf ^s) Двух независимых аргументов t^ и/f, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сечений, соответствующихэтим же фиксированным значениям аргументов:Kxltu /t) = iW[^(/|).^(/2)l.При равных между собой значениях аргументов tf^t^^tкорреляционная функция случайной функции равна дисперсии этойфункции:Kx{t.i)^D^(i).Свойства корреляционной функции.
С в о й с т в о 1. При перестановке аргументов корреляционная функция не изменяется (свойство симметрии):KxiH. t^^Kxitt.ti).С в о й с т в о 2. Прибавление к случайной функции X(t) неслучайного слагаемого w(t) не изменяет ее корреляционной функцииесли К ( 0 « Х ( 0 + Ф ( 0 . тоKy(ti. tt)=-Kx(tu tt).С в о й с т в о 3. При умножении случайной функции X(/) нанеслучайный множитель ф (/) ее корреляционная функция умножаетна произведение ф(^l)•ф(/t): если У lt) = X (t)^(p(t), тоКу (/1, tt)^K^ (tb /f) ф {ix) Ф (/•)*С в о й с т в о 4.
Абсолютная величина корреляционной функциине превышает среднего геометрического дисперсий соответствующсечений:Kxitb ttXVOx{tx)D^(t^.332Нормированной корреляционной функцией случайной функцииX{t) называют неслучайную функцию двух независимых переменныхН и /s, значение которой при каждой паре фиксированных значенийаргументов равно коэффициенту корреляции сечений, соответствующих этим же фиксированным значениям аргументов:Абсолютная величина нормированной корреляционной функциине превышает единицы: |px(/i> ^з)!^^*Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (Ои У (/) называют неслучайную функцию R^y (tu /г) Двух независимыхаргументов if и /(, значение которой при каждой паре фиксированных значений аргументов равно корреляционному моменту сеченийобеих функций, соответствующих этим же фиксированным значениямаргументов:Rxy(tu /«) = A!(Jt(/i)f^ (/,)].Коррелированными называют две случайные функции, если ихвзаимная корреляционная функция не равна тождественно нулю.Некоррелированными называют две случайные функции, взаимная корреляционная функция которых тождественно равна нулю.Скойства взаимной корреляционной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
