В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Принять во внимание, что величины (/ и V не коррелированы, поэтому их корреляционный момент М [U-^m^) (У-^Шр)]»«0.7S0. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X ( / ) »«= t/sln<+Vcos<, где и HV—некоррелированные случайные величины, причем M(U) = l, Af(V)==8, D(U) == D(l/)«4.791. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X (О =в £/cos2<+V^sin/ + 'f где U и V—некоррелированныеслучайные величины, причем M{U) = 1, Af (10 = 2, D((y) =- 3 , D(K)«4.У к а з а н и е . Прибавление к случайной функции неслучайногослагаемого / не изменяет ее корреляционной функции, поэтому достаточно найти корреляционную функцию случайной функции Y (/) =»792.
Заданы случайные функции X(t) ^Ucost+Vsxn t,K(^)e:f/cos3/ + V^sin3/, где U HV—некоррелированныеслучайные величины, причем Af ((/)»M(1/)»0» D(U) =a«D(V)«5. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию PxyUif ^)793. Найти корреляционную функцию случайнойфункции X (<)=(/lCOsa)^/^-ViSina)J<+t/aCOSft^,<+^'^siп(o,^339где ©1, со,—постоянные числа; U^, (/,. К^, К,—попарно некоррелированные случайные величины, причем их матема*тические ожидания равны нулю» дисперсии величин 1/%и Vx равны Dj, дисперсии величин (/, и К, равны D,.§ 3.
Характеристики производной от случайной функцииГоворят, что последовательность случайных величин Х^ Х%9• • •, Хп сходится в среднеквадратичном к случайной величине X»если математическое ожидание квадрата разности Хп—X стремитсяк нулю при п-^оо: М{(Хп—X)*J=0.Случайную величину X называют пределом в среднеквадратичном последовательности случайных величин Xxt Xit •-•> X^t . . .
и пишут: Xs=l.i.ni. Х„.Случайную функцию X (/) называют дифференцируемой, еслисуществует такая функция X' (/) (ее называют производной)^ чюТаким образом, производной случайной функции X' (/) называютсреднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Л/ при А/ -^ 0:A'(0=l.i.n..^^ii±Mzi£iO.Теорема I. Математическое ожидание производнойX{t)^xот случайной функции X (/) равно производной от ее математического ожидания:mj>(t)^mjc(i).Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п от случайной функции равно производной этогоже порядка от ее математического ожидания.Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайнойфункции X (/) равна второй смешанной частной производной от еекорреляционной функции:/С^(/1./2)-—57;57Г^Теорема 3.
Взаимная корреляционная функция случайной функции Х(0 и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу [если индекс кзаписан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому(второму) аргументу]:R^ (/1, / . ) -5j^. /?i^ (/b /«)gj^.794* Задано математическое ожидание m^ (/)=/>+2/+1случайной функции X(i). Найти математическое ожцдание ее производной.795. Задано математическое ожидание mjg{t) = t^ + 4случайной функции X(t). Найти математическое ожидание случайной функции К (/) = /Х'(/) + <••340796. Доказать, что математическое ожидание второйпроизводной от дважды дифференцируемой случайнойфункции X (t) равно второй производной от ее математического ожидания.797.
Задана корреляционная функция /С;с = 5е-<'»-'»>*случайной функции X{t). Найти корреляционную функцию ее производной.798*. Задана случайная функция X (/)==(Уе*'со8 2/,где и—случайная величина, причем Л1 (С/) = 4,D(U)=l.Найти: а) математическое ожидание; 6) корреляционнуюфункцию ее производной.799. На вход дифференцирующего звена поступаетслучайная функция X (t), корреляционная функция которой Кх = [Djc cos О) (/,—'i)j/('i+M- Найти корреляционную функцию выходной функции К(/) = Х'(/).800.
На вход дифференцирующего звена поступаетслучайная функция X (/) с математическим ожиданиемmj5(/)=5sin/и корреляционной функцией/Сх=Зе-«'*<'«-'«>".Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционнуюфункцию выходной функции К(/)==Х'(0801. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции X{t) и ее производной равначастной производной от корреляционной функции поаргументу, который «соответствует производной» [еслииндекс X стоит на первом (втором) месте, то надо дифференцировать по первому (второму) аргументу]:Решение,функции.а) По определениювзаимнойкорреляционнойПроизведение под знаком математического ожидания можнопредставить в виде частной производной по аргументу t%:к (/,) к' (/.) = к (/о ^fa)^^ 1^ (h)k (/.) 1 ^„^.,«^=л,{М(^!1<Ы1}.Учитывая, что операции дифференцирования и нахождения математического ожидания можно переставлять, окончательно получимР _dM[k(h)k(t^)\_дКх^ххdtt^ а/, •б) Рекомендуем доказать самостоятельно.341802.
Заданыкорреляционныефункции: а)/С;^ = е-^'«-^»>*;б) /Сх=<1<2^^*"*'^*. Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X (i) и ее производной.803. Известна взаимная корреляционная функция^хх случайной функции X{t) и ее производной. Найтикорреляционную функцию производной.804.
Известна взаимная корреляционная функция/?j^j = /i(/,+1)е'»+'« случайной функции X (t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.805. Найти корреляционную функцию случайной функции Z ( / ) = X (/)-|-Х' (О» зная корреляционную функцию/Cjf.Р е ш е н ие. В силу теоремы 2 (§ 2), Kg = Kx + K- +R . + Л .Учитывая, что корреляционная функция производной (теорема 2)/С;-д^Кхи взаимные корреляционные функции (теорема 3)р . —5!^^хх- dt2 'р .
_^Кх^хх- dti •окончательно получим искомую корреляционную функцшр:806. Найти корреляционную функцию случайной функции Z(t)=^X(t)'\'X'(t)^зная корреляционную функцию/С^==5е-<^«-^>)\У К а з а н и е. Использовать задачи 797 и. 805.807. Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции и ее второй производной равначастной производной второго порядка от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует»производной [если индекс х на первом (втором) месте,то дифференцируют корреляционную функцию по первому (второму) аргументу]:X808.
Задана корреляционная функция /С^^ = е-<^«-'«'*.Найти взаимные корреляционные функции случайнойфункции X{t) и ее второй производной.809*. Найти корреляционную функцию случайнойфункции Y{t) = U{t)X{t) + V{t)X'{t),где Х(0—дифференцируемая случайная функция, корреляционная342функция которой известна; U (t) и V{t)—неслучайныефункции.810*.
Задана корреляционная функция случайнойфункции X{t). Найги взаимную корреляционную функцию Ryg случайных функций Y{t) = aX{t)+bX'(t)иZ{t)=cX'{t) + dX{t), где а, 6, с, d—постоянные действительные числа.§ 4. Характеристики интеграла от случайной функцииИнтегрсиом от случайной функции X(t) по отрезку [О» /] нааывают предел в среднеквадратичном интегральной суммы при стремлении к нулю частичного интервала As/ максимальной длины (переменная интегрирования обозначена через s» чтобы отличить ее отпредела интегрирования /):Y (/)== l.i.m. 2X (Si) A s / = С X(s) ds.Теорема 1.
Математическое ожидание интеграла от случайнойфункции равно интегралу от ее математического ожидания:Itесли У ( 0 = \ X (s) ds, то ту (t) = \ ^fj^ (s) ds,ооТеорема 2. Корреляционная функция интеграла от случайнойфункции равна двойному интегралу от ее корреляционной функции:iииесли К ( / ) = \ X (s) ds, то /Су= С V Кх («i» ««) dsx ds,.о0 0Теорема 3.
Взаимная корреляционная функция случайной функ*ции X (О и интеграла Y {t)^\X(s) ds равна интегралу от корореляционной функции случайной функции X(i):иRxy^lKx{h.s)US.о811. Зная математическое ожидание т;^(/) = 3/*+1случайной функции X(t). найти математическое ожидаtние интегралаY(t)=^X(s)ds.оР е ш е н и е . Искомое математическое ожидание/iту^ (/) =: J т^ (S) d s = J (Зв«+1) d s = / » + ^343812. Найти математическое ожидание интегралаУ (<)«. f X (s) ds, зная математическое ожидание случайоной функции Х(/): а) m^CO^cos/; б) m^(/)»4cos*/;в) т « ( 0 —<—cos2/.813. Задана случайная функция X ( / ) » ( / e ^ c o s p / ,где и—случайная величина» причем M(U) — b. Найтиматематическое ожидание интеграла Y (t) = ^X (s) us.оУ к а з а н и е .
Найти сначала м^(О*814. Найти математическое ожидание случайной функции К (/) в С X (s) ds» зная случайную функцию X {t):а) X(t)^Ve»^s\nt\б) X ( 0 = (/sin4. где f/—случайнаявеличина» причем Af(C/)»2.815. Задана случайная функция X (/) »= С/cosV» гдеи—случайная величина» причем М (С/)» 2.
Найти математическое ожидание случайной функцииК(/) = (/* -f l)5X(s)ds.о816. Задана корреляционная функция Кх (h* ^а) "^s=cos<o<icosa>/j| случайной функции X(t). Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию интеграла Y(f)^« J X (S) ds.Решение,а) Корреляционная функция интеграла Y ( / ) »«в V X (s) ds равна двойному интегралу от заданноА корреляционнойофункции:и иit inКу ( / i , ^а)"» \ \ ^ж (^&« ^t) dsi d ^ t » \ \ cos uhSx cos ius% ds^ dst »•0 00 0» \ COS cosx dsji \ COS (osa dst » ( s i n ш/^ sin Q)/t)/o>*.006) НаАдем искомую дисперсию, для чего в найденной корреля*ционной функции полежимt^^t^^t:344817.
Задана корреляционная функция Кх = sin<otiSin(ot^случайной функции X{t). Найти: а) корреляционнуюiфункцию; б) дисперсию интеграла К (/) = Г X (s) ds.о818. На вход интегрирующего устройства поступаетслучайная функция X (t), корреляционная функция которой /Cx==^i'i- Найти дисперсию на выходе интегратора.У к а з а н и е . Вычислить сначала корреляционную функциювыходной функции К (О = \ X (s) ds.о819.
Найти дисперсию интеграла Y(t) = ^ X (s) ds.озная корреляционную функцию случайной функции X (/):а) /С^ = 2/1/1+ 3/Л; б)7Сх=/Ле^>+^; в) /C^=l/l+(/,-/i)«;г) Кх = е» <^ + ^) cos2/i cos2/,.820. На вход интегрирующего устройства поступаетслучайная функция X (/), математическое ожидание икорреляционная функция которой известны: m;^(/) = cos*/,/Cx^cosco/^coso)/,. Найти: а) математическое ожидание;б) корреляционную функцию; в) дисперсию на выходеинтегратора.821*. Задана случайная функция X (/) = £/е»'cos 2/,где и—случайная величина, причем Л4({/)=5, D{U)=l.Найти: а) математическое ожидание, б) корреляционнуюфункцию; в) дисперсию интеграла Y {t) = ^X (s) ds.оР е ш е н и е , а) Вычислим предварительно математическое ожидание заданной функции, учитывая, что М((/)=5:nijc (i)^M [t/e»' cos2/1 =Ue»' cos2tAi (t/)=5e« cos 2t.Найдем искомое математическое ожидание:itmy (t) == \ iitj^ (s) d s « 5 \ e»« cos 2$ dSi00Интегрируя дважды по частям, окончательно получимту (/) == (5/13) [е»' (2 sin 2/ + 3 cos 2t) —31.б) Вычислим предварительно корреляционную функцию заданной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
