В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Найти методом МонтеКарло: а) оценку Р* вероятности безотказной работыустройства за время длительностью 6 ч; б) среднее времябезотказной работы устройства. Произвести 50 испытаний.У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа изтаблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.729. Устройство состоит из двух узлов, соединенныхпоследовательно.
Первый узел содержит три элемента:Л, By С, а второй — два элемента: D, Е. Элементы каждого узла соединены параллельно. Время безотказнойработы элементов распределено по показательному законус параметрами, соответственно равными 0,01; 0,02; 0,04;0,01; 0,05. Найти методом Монте-Карло: а) оценку Р*вероятности безотказной работы устройства за времядлительностью 60 ч; б) среднее время безотказной работыустройства.
Произвести 50 испытаний.У к а з а н и е . Для определенности брать случайные числа изтаблицы приложения 9, начиная с первой строки сверху.§ 7. Расчет систем массового обслуживанияс отказами методом Монте-Карло730. В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок.Время между поступлениями двух последовательныхзаявок распределено по показательному закону/(т) = 5 е " " .Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин.311Найти меходом Монте-Карло математическое ожидание ачисла обслуженных заявок за время 7* = 4 мин.Р е ш е н и е .
Пусть 7*1 = 0—момент поступления первой заявки.Заявка поступит в первый канал и будет им обслужена. Моментокончания обслуживания первой заявки Г1 + 0,5=0-|-0,5 = 0,5.В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.Моменты поступления последующих заявок найдем по формулеГ/ = Г/-, + т/,где т/—длительность времени между двумя последовательными заявками с номерами i—1 и i.Возможные значения т/ разыгрываем по формулет/ = — (1 А ) In /-/ = (! А ) (— In /•/).Учитывая, что, по условию, Х, = 5, получим т/ = 0,2{—In/-,).Случайные числа г,- берем из таблицы приложения 9, начинаяс первой строки сверху.
Для нахождения времени между поступлениями первой и второй заявок возьмем случайное число г =0,10.Тогда Т2 = 0,2-(—1п0,10) = 0,2-2,30 = 0,460. Первая заявка поступилав момент Г1 = 0. Следовательно, вторая заявка поступит в момент7 2 = 7 1 + 0,460 = 0 + 0,460 = 0,460. В этот момент первый канал ещезанят обслуживанием первой заявки, поэтому вторая заявка поступит во второй канал и будет им обслужена.
Момент окончания обслуживания второй заявки 72 + 0,5 = 0,460 + 0,5 = 0,960. В счетчикобслуженных заявок добавляем единицу.По очередному случайному числу г = 0,09 разыграем время т.*,между поступлениями второй и третьей заявок:Тз = 0,2(—In 0.09) = 0,2-2,41 =0,482.Вторая заявка поступила в момент 72=0,460. Поэтому третьязаявка поступит в момент 7з = 7^2+ 0,482 = 0,460+ 0,482 =0,942.В этот момент первый канал уже свободен и третья заявка поступитв первый канал.
Момент окончания обслуживания третьей заявки7 з + 0 , 5 =0,942 + 0,5 = 1,442. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.Дальнейший расчет производят аналогично (табл. 59), причемесли в момент поступления заявки все каналы заняты (момент поступления заявки меньше каждого из моментов окончания обслуживания), то в счетчик отказов добавляют единицу.Заметим, что обслуживание 20-й заявки закончится в момент4,148 > 4, поэтому эта заявка получает отказ.Испытание прекращают (в таблице записывают «стоп»), еслимомент поступления заявки 7 > 4.Из табл.
59 находим, что за 4 мин всего поступило 20 заявок;обслужено JCi = 12 заявок.Выполнив аналогично еще пять испытаний, получим: ДГ2= 15,А : З = 1 4 , Л:4 = 12, ^5=13, дсд = 15.В качестве оценки искомого математического ожидания а числаобслуженных заявок примем выборочную среднююа*=7=(2.12+13+14+2.15)/6= 13,5,312ТаблицаНомерзаявкиiСлучайноечислоВремямеждудвумяпоследова поступле— In г- тельныминия заявкизаявкамиМоментокончанияобслуживания заявкиканаломIСчетчик'^1 == 0.2(111 Г-) = ^ / - 1 + ^1123456789101112131415161718192021590,10 2,300,4600.09 2,410,4820,73 0,320,0640,25 1,390,2780,33 1.110,2220,76 0,27 1 0,0540,52 0,650,1300.01 4.600,9200,35 1,050,2100.86 0,150.0300,34 1.080,2160.67 0,400,0800,35 1,050,2100,48 0,730,1460,76 0,270,0540.80 0,220,0440,95 0.050,0100,90 00,100,0200,91 0,090,0180,17 1.770,35400,4600,9421,0061,2841,5061.5601,6902,6102.8202.8501 3.0663,1463.3563,5023,5563,6003,6103,6303,6484,002(Стоп)23обслуженныхзаявокотказов0,5001.4420,9601,5061,7842.0062,06013,1103,3203,35013,6463,8564,0021111114,148ИтогоJCi = 128731.
В трехканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок.Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону / (т) = 4е~*^.Длительность обслуживания каждой заявки равна 1 мин.Найти методом Монте-Карло математическое ожиданиеа числа обслуженных заявок за время Г = 5 мин.У к а з а н и е . Произвести шесть испытаний. Для определенностибрать случайные числа из таблицы приложения 9 с двумя знакамипосле запятой, начиная с первой строки сверху.732.
В одноканальную систему массового обслуживания с отказами поступает пуассоновский поток заявок.313время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону /(т) ==0,8е'*®*®^;время обслуживания заявок случайное и распределенопо закону / i ( / ) = IjSe*"^»*'. Найти методом Монте-Карлоза время Г = 30 мин: а) среднее число обслуженныхзаявок; б) среднее время обслуживания одной заявки;в) вероятность обслуживания; г) вероятность отказа.Произвести шесть испытаний.Р е ш е н и е . Время между моментами поступления двух последовательных заявок распределено по закону / (т) =0,8е""®'®^, поэтомузначения т/ разыграем по формулет/ = — (1/0.8) In г / = 1.25 (— In Г/).Случайные числа г/ берем из таблицы приложения 9, начинаяс первой строки снизу.Время обслуживания заявок распределено по закону fi (/) == 1,5е"^'^ , поэтому значения ti разыграем по формуле/,.
= — ( l / l , 5 ) l n / ? / = 0,67(-~in/?/).Случайные числа /?/ берем из той же таблицы, начиная с первойстроки сверху.Пусть 7*1 = 0 — момент поступления первой заявки. По случайному числу ^ 1 = 0 , 1 0 разыграем длительность времени обслуживанияпервой заявки (в мин):/^ =0,67 (—In 0,10)=0,67.2.30= 1,54.Момент окончания обслуживания первой заявки Г1 = 1,54 == 0 + 1,54 = 1,54. В счетчик обслуженных заявок записываем единицу.По случайному числу /-2 = 0,69 разыграем время (в мин) междумоментами поступления первой и второй заявок *>:Т2 = 1,25 (—In 0,69) = 1,25.0,37 = 0,46.Первая заявка поступила в момент Г , = 0 . Следовательно, вторая заявка поступит в момент 72 = 7^1 + 0,46 = 0 + 0 , 4 6 = 0,46.В этот момент канал занят обслуживанием первой заявки(0,46 < 1,54), поэтому вторая заявка получит отказ.
В счетчикотказов записываем единицу.По очередному случайному числу Гз = 0,07 разыграем времямежду моментами поступления второй и третьей заявок:Тз= 1,25 (—In 0.07) = 1,25-2,66 = 3,32.Вторая заявка поступила в момент 7^2 = 0,46. Следовательно, третьязаявка поступит в момент Гз== 7^2+3,32 = 0,46+ 3,32 = 3,78. В этотмомент канал уже свободен (3,78 > 1,54), поэтому он обслужиттретью заявку. В счетчик обслуженных заявок добавляем единицу.Дальнейший расчет ясен из табл.
60 и 61. Испытание заканчивают, когда момент поступления заявки Г / ^ 3 0 . Например, в первомиспытании, как видно из табл. 60, 23-я заявка поступила в момент*> У первого случайного числа намеренно поставлен индекс 2.чтобы не вносить расхождений с обозначениями табл. 60.3147*23 = 31,35 > 30, поэтому эту заявку исключаем («Стоп») и первоеиспытание заканчиваем.Аналогично производят и остальные испытания.Т а б л и ц а 60НомерзаявкиiСлучайноечислог,-1МоментпоступлениязаявкиВремя междудвумя после»довательнымизаявками—In г*^/=^•-1"»-^/= r l . 2 5 ( - l n Tj.) 112345678910111213141516171819202122230,690,070,490,410,380,870,630,790,190,760,350.580,400,440,010,100,510,820,160,150,480,320,372,660,710.890,970,140,460,241,660,271,050,540,920,824,602,300,670.201,831,900,731.140,463,320,891.111.210,180,580,302,080,341.310,681.151,025.752.8810,840,252,292,380,911,4200,463,784,675,786,997,177,758,0510,1310,4711,7812,4613,611114,6320,3823,2624,1024.3526,6429,0229,9331.35 (Стоп)Аналогично производят и остальные испытания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
