В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 61
Текст из файла (страница 61)
задЁчу 346)» то•*,r(-<»)-Sf J »*(-T)e-'-'-')dT.—•Сделаем замену переменной интегрирования, положив т^«*—tи, следовательно» d x i s — d t . Новый нижний предел интегрирования равен 00» а верхний —оо. Таким образом»901. Доказать, что взаимные спектральные плотностидифференцируемой стационарной случайной функции иее производной связаны равенством $xi (<^)"'—Sjrx(<o).У к а з а н и е . Использовать соотношение г • (т)««*-г. (т).XX^ 'ХХ^'•02.
Доказать» что, зная спектральную плотность5^(а>) дифференцируемой стационарной случайной функции Х(0# можно найти взаимную спектральную плотность функции Х(/) и ее производцой по формуле8ji (<0) SS i(OSjg (0|).Р е ш е н и е . По определению взаимной спектральной плотности.Известно (см. задачу €65)» что г . ( т ) » — f ^ •368Учитывая»что^JC(T)=\ 5j^(ft>)e'^**da), получ!1ИМ— 00—CD0»OO—CDСледовательно,Отсюда окончательноимеем s . (<o)^i(o*Sjg{io).903. Известна спектральная плотность Sj^ (со) == 2£)а»/л (to*+0^*)* дифференцируемой стационарной случайной функции X{t).
НаЙ1И взаимную спектральнуюплотность функции Х ( 0 и ее производной.У к а з а н и е . Использовать задачу 902.904. Найти взаимную спектральную плотность дифференцируемой стационарной случайной функции X (t)и ее производной, зная корреляционную функциюУ к а з а н и е . Найти сначала взаимную корреляционную функцию г . (т)=:^^^(т), а затем искомую взаимную спектральную плотность. Можно поступить иначе: найти спектральную плотность (см.задачу 890), а затем умножить ее на /ш (см. задачу 902).905. Найти корреляционную функцию стационарнойслучайной функции Х ( / ) , зная ее спектральную плотность s^{(o) = s^ в интервале —со^^со^со^,; вне этогоинтервала s^(co) = 0.Р е ш е н и е . Используем формулусоkjf (т) = 2 \ Sjg (й)) COS (ОТ d <D.оУчитывая, что SX((D) = SO В интервале (0; <DO)« получим(Оkjg (Т) = 2SQ V COS 0>Т d О) ^ 25g ( s i n fi)oT)/T.и906.
Найти корреляционную функцию стационарнойслучайной функции, зная ее спектральную плотность:Sjg{(o) = Sf^ в интервалах (—2(0^, —©о) и (©о> 2со<,); внеэтих интервалов s^((o) = 0.369907. Найти корреляционную функцию стационарнойслучайной функции, зная ее спектральную плотностьSj, (со) = 1Эа/л(а« -f со*).Р е ш е н и е . Первый с п о с о б .
Из задачи 886 следует, чтокорреляционной функции ^;^ (т) = De""*' ^ * соответствует заданнаяспектральная плотность. Поскольку кх(х) и Sj^ (со) связаны взаимнообратными преобразованиями Фурье» то искомая корреляционнаяфункция kjf (т) г= De""**' ^ •.В т о р о й с п о с о б . Используем формулуИзвестно, чтоСледовательно, искомая корреляционная функция Дг^^(т)»Ое''^1^'«908. Найги корреляционную функцию стационарнойслучайной функции, зная ее спектральную плотность$,(со)==2/я(4 + со«).909. Найти корреляционную функцию стационарногобелого шума—стационарной случайной функции с лосто*янной спектральной плотностью Sjg{io)=^s^.Р е ш е н и е .
Используем формулусосоД?^(т)« f $^(<о)е'^*^ dco«So f e'^^d©.— •(•)—0000Примем во внимание, что ^\ е^^^ d<o»6(T), где б(т)—дель*— 00та-функция. Отсюдаа»1e'^^dco=:2ne(T).(««)Подставив (Ф«) в («), окончательно получим искомую корреляционную функцию kjf(x)=i2jis^^(x).§ 7. Преобразовмм^ стационарной случайной функциистационарной линейной динамичоской системойСтационарной линейной динамической системой называют устроАство, которое описываегся линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами видаfa.Kc«>(0+eiK<'-*>(/)+ .
. . + а « 1 К ( / ) 370где X{t)—входная стационарная случайная функция (воздействие»возмущение), Y (t)—выходная случайная функция (реакция, отклик)»Если динамическая система устойчива, то при достаточно боль*ших значениях /, т. е. по окончании переходного процесса, функциюУ (/) можно считать стационарной.Математическое ожидание выходной функции Y (t) находят поформуле.ту=^{Ьщ/а^тх, где Шх—математическое ожидание вход**ной функции л (/).Б операторной форме уравнение (*) имеет вид«eP"+aiP«-*+. .
. +a„)Y(О^ф^р^+ Ьгр^^-^^ . . .+b„)X(t).(••)Передаточной функцией линейной динамической системы назы»вают отношение многочлена (>тнссительно р при X{t) к многочленупри У (i) в операторном уравнении («•):Частотной характеристикой линейной динамической системыназывают функцию, которая получается заменой аргумента р в передаточной функции на аргумент /(о(а>—действительное число):Ф(|(|>)»-=[Ь^(ШГ+Ь1(Ил)^-^+... +6nil/Iao(«a))«+ai (/а))«-^+ *** + ««]«Спектральные плотности выходной и входной функций связаныравенством Sy((u) = Sx{bai) -\Ф(ш)\^, т. е., что&л найти спектраль^ную плотность выходной функции, надо умножить спектральнуюплотность входной функции на квадрат модуля частотной характе*ристики.
Зная ^ е спектральную плотность выходной функции, можнонайти ее корреляционную функциюky(x)^С 5y((i))e'^®dtt),— ооа следовательно, и дисперсиюOy^ky(Q):=J Sy(0)) dco.910. Ha вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением Y' (/) 4-2К (/) = 5Х'(/) ++ вХ (/), подается стационарная случайная функция X (t)с математическим ожиданием т^^ = 5. Найти математическое ожидание случайной функции Y{t) на выходесистемы в установившемся режиме (после затухания переходного процесса).Р е ш е н н е.
Приравняем математические ожидания левой и правой чаотей заданного дифференциального уравнения:A l f K ' ( 0 + 2 K ( 0 1 « M [ 5 Х ' ( 0 + в Х ( / ) 1 , или М[У'(t)] + 2my^^ЪМ1Х'{1)] + %тх.По условию, X(t) и К (О—стационарные функции, а математическоеожидание производной стационарной функции равно нулю, поэтому3712/rf»s6/nj(. Отсюда искомое математическое ожидание= 5-5«15.т^^Зтх^^91К На вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У (1) + 3Y' (1) + 5У (/) === 4Х' (/) + 10Х (О» подается стационарная случайнаяфункция X (/) с математическим ожиданием т^ = 2: Найтиматематическое ожидание случайной функции Y (t) навыходе системы в установившемся режиме.912.
На вход линейной стационарной динямическойсистемы, описываемой уравнением ЗУ" (/) + Y (/)== 4Х' {t)++ X{t), подается стационарная случайная функция Х(/)с корреляционной функцией /?^р(т)==6е-2^^1 Найти дисперсию случайной функции У (t) на выходе системы вустановившемся режиме.Р еш е н и е. 1. Найти спектральную плотность 5j^((io). Используярешение задачи 88в, при Dx^kx{0)^6и а = 2 , получимSx (<о) =» Da/л (а« + <д*) — 12/п (со*+4)^2.
Найдем передаточную функцию системы. Для этого запишемзаданное дифференциальное уравнение в операторной форме:(Зр + 1) Y(t) = (4/7 + l)X(t).Отсюда 7(0 = [(4р + ЩЗр + 1)] X(t).Следовательно, передаточная функция Ф (/?) = (4р + 1)/(3/7 + 1).3. Найдем частотную характеристику системы, для чего положим^ " ^^*Ф ((01) = (4(01 + 1)/(3<о/+1).4.
Найдем спектральную плотность Sy (со) на выходе системы, для чегоумножим спектральную плотность Sxioi) на квадрат модуля частотнойхарактеристики:5Л<о)==5;,(<о)|Ф((оО|«-(12/я(<о«+4)1И»^ + И*/|Зсо1 ++ 1 I*] = 112/(я (to«^+4))4(l6<o»+ 1)/(9<о*+1)1.5. Найдем искомую дисперсию:ГDy^\^f ^^125,((0)d(0 = ^ .=41f(16(o»-fl)d<o^ _ _ _ ^ ^=(16«)» + 1Н«(©»+4)(9©»+l)'Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейшихдробей:_24 [63}dio7 Г(to 1^'""я L35J (о«+4 35J9(o« + lJвоВыполнив интегрирование, получим искомую дисперсию Dy == (24/я)(5я/12)=10.372913. На вход wiHHeuHOH стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У {t) + ЗУ (t) = X' (/) ++ 4Х (О» подается стационарная случайная функция X (Ос математическим ожиданием т;^.
= 6 и корреляционнойфункцией Л^^(т) = 5е-2 *^i. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию случайной функции У (t) на выходе системы в установившемся режиме.914. На вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У (/) -f 5К' (/) + 6К (/)=== Х'(/) + Х ( / ) , подается стационарная случайная функция с математическим ожиданием m^^^i и корреляционной функцией kjf (х) = е"^ ^ К Найти: а) математическоеожидание; б) спектральную плотность случайной функции К (О на выходе системы в установившемся режиме.915*. На вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У"' (t) 4- бУ (t) Ч+ 11К'(0 + 6К(/) = 7Х"(/) + 5Х(/), подается стационарная случайная функция Х ( 0 с известной корреляционной функцией: а) Лд,(т) = 4е-1 ^<; б) kj, (т) = 2e-i ^ Ц! +1т|).Найти спектральную плотность случайной функции У (t)на выходе вистемы в установившемся режиме.У к а 3 а и tf е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
