В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Использовать задачи 88в и 891. Разложить на линейныемножителизнаменательпередаточнойфункции:(р+1)(Р + 2)(р+3).01в. На вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У (t) '\-y{t) = X (/), поступает стационарная случайная функция Х(0 с постоянной спектральной плотностью s^ (белый шум). Найтидисперсию случайной функции У (/) на выходе системыв установившемся режиме.917. На вход линейной стационарной динамическойсистемы, описываемой уравнением У (t) + 2ЛК' (/) ++ Л*К(/) = Х(/) ( Л > 0 ) , k^h),поступает стационарная случайная функция X (/) с постоянной спектральнойплотностью SQ (белый шум). Найти спектральную плотность случайной функции У (t) на выходе системы в установившемся режиме.018^. Спроектированы две линейные стационарныединамические системы, на вход которых поступает стационарная случайная функция X (t).
Передаточные функциисистем соответственно равны: Ф^ (р) = (4р -Ь1 )/(Зр + 1),^1 (р) = (Р + 0/(Зр + 1 )• Спектральная плотность выходной функции известна: s^.(<i))== 12/п(<1)* + 4). Какая изсистем обеспечивает наименьшую дисперсию выходнойфункции?373ОТВЕТЫГлака первая3. а) Р = 1/90;б)Р = 1/81. 5, а) Р « 1 / 6 ; б ) Я = 1/18; в) Р « 1 / 2 ;г) Р=:г1/18. е. а) 0.384; б) 0.096; в) 0.008. 7. Я « 3 / 4 . 8. Р=г 1/720.10. Я = 1/С1о«1/190.
12. Я=С?в/С?, = 24/91. 13. Я = С5,/СЙв=.0.1.14. а) Я=С5о/С{оо ^ 0,65; б) Я=С?в/С{оо ^^^ 0.00005. 15. Я=гСа/С1=0.3.l6.Я=:l/i4lo«!/720• 18.Я«С2.С2/С1о=0.5. 19. Я =Cit.Cj/CJ*»0,4:20. Я =CS.C1/C?«« 14/55. 21. а) Я = С1.С|/С|«0.6; б)Я«С2/С1=0,3;в) Я = 0 . 9 . 22. Я =1/5*. 24. 1Г=0,9. 25. 180 приборов. 26. Я = 1/2.27.
Я = 1/3. 28- Я=г«//г*. 29. Я=(2а—2г)/(2а)=(а—г)/а. 80. Я == (а—2г)*/а*. 31. Я = ( 6 — 2 ) / 6 = 2 / 3 . 32. Я = (10«—5*)/10«=0,75.33. а) Я = 2/я; б) Я = 3 | ^ / ( 4 я ) . 34. Я = 0,5л/?*/(яЛ*) = 0,5. 36. Возможные значения координат: 0 < J C < L . 0 < ^ < L ; благоприятствующие значения: у—jc < ж. у > JT; Х — у < у, у < х\ р = 1/2.37. Возможные значения координат: 0 < j r < ; L ; 0 < ^ < L ,у^х^благоприятствующие значения координат: у—х < 1/2; р = 0 , 7 5 .38. Возможные значения координат: 0 < j r < L ; 0 < ^ < L ; благоприятствующие значения координат: у—х < L/2. у > х; х—у < L/2,у < х\ р = 0 .
7 5 . 42. Я = 7/16. 43. Возможные значения координат:0 < j r < L . 0 < ^ < L ; 0 < г < £ ; благоприятствующие значения координат: j r < y + 2 , у < z+jc, г<х+у;Я = 1 / 2 . 44. Возможныезначения координат: О < x < 2 j D < ^ < 2 ; благоприятствующие значения координат: 0 < д г < | ^ 2 / 2 , 0 < ^ < | ^ и | Л 2 / 2 < х < 2 ,1 / 2 < ^ < | / ' 2 ; Я = ( 1 + 3]п2)/8£2^0.38.
45. Возможные значения координат: 0 < х < 1 . 0 < ^ < 1 ; благоприятствующие значения координат: 0 , K J C < 0 , 9 , 0 , К ^ < 0 , 9 ; Яс^0,2.Глава вторая47. Я = 1—Cj/Cjo = 5/6. 60. Я = 0 , 1 4 . 51. Я = 0,38. 52. Я = 0 , 7 .б З . Я = 0 . 1 8 . 54. Я=0,432. 55.
Я=0,384. 56. а) Я=0,188; б) Я=0.452;в) Я=0,336. 57. а) Я=0.6976; б) Я=0.9572. 58. а) Я = 1/6»; б) Я == 6(1/6») = 1/36. 59. а) Я=С|.(1/6«.5/6)=5/72; б)^Я = 5/12; в ) Я = 5 / 9 .61. « ^ 5 . 62. а) P=[-i^); в ) ^ ' - 4 ^ - ^ ЛШ—)•вЗ.Я=3!(1/3)'.65. Я=5/100-4/99 = 1/495.67. Я««6/10-5/9*4/8*3/7=374- l / U .
88. a) Р=-1/Б.1/4.1/3=.1/60; б) P = 0 , 1 . 89. P =«20/25-19/24XX18/23—57/115.70. a) P = 1/10-1/9-1/8—1/720;6) P—0,001.81. ^ » 0 . 1 2 6 . 82. P a : 0 , 9 5 . 83. P - 0 , 3 8 8 . 85. Рт0.76. 87. p « 0 , 8 .88. ^ [ { o ^ ! ] Z ' * \ 1 + ^ ' где £(ЛГ1—целая часть числа ЛГ. 90. Р —-=-?Т^91. Р - 0 , 8 9 . 92. Р = 0,85. 93. Р==0,78. 94. Р = 0 , 5 .ztn-x-1)95. pas0.4. 96.
Р—0,87. 98. Вероятнее, что винтовка была без оптического прицела (вероятность того, что винтовка была без оптичесхого прицела, равна 24/43; с оптическим прицелом—19/43).99. Р = 3/7. 100. Р—1/3. 101. Р—5/11. 102. Р ~ 0,47. 104. Рл(В»)=*—1—(0,6+0,3)—0,1. 107. Р = 10/19. 109*. Р=0,039.Глава третья111. а) Вероятнее выиграть одну партию из двух: Рг(1) = 1/2;р . (2) 3=3/8; б) вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех:Р 4 ( 2 ) + Р « ( 3 ) + Р 4 ( 4 ) = 1 - ( Р « ( 0 ) + Р « (1)1 = 11/16: Р , ( 3 ) + Р , ( 4 ) ++ Р , ( 5 ) =8/16. 112.
а) Р = Р,(0)+Р,(1)==3/16; б) Q = l—(Рв(0) ++Р»(1)1 = 13/16.113, а) Р«(3)+Р«(4) =0,1792; б) Р , ( 4 ) + Р , ( 5 ) = 0 , 7 4 .114. а) р»=0,729; б) С1р»д+Cjp« =0,95; в) С1/>»«?«+Ctp*q 4-С»/Л=0,99.115. Искомые вероятности таковы: а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62.118. Р4(2)=С2(2/3)»(1/3)« = 8,/27. 117. Р , (2)=С|(х/о)» [(а—*)/а]».118. P = C j C 5 c 1 C | ( l / 4 ) e . 121. Pioe (75) = 0,04565. 122. Pwo(50) =—0,0782. 123. Р,лг (АО=0,5642/ VN.
124. Р»^;(М+т)=У'ШXХф( V2/Nm). 128. а)Р„ов (1470; 1500)=0,4236); б) Paiee(1470; 2100)=—0.5; в) Р,1в, (0; 1469)=0,5. 127. Р „ (11; 21) =0,95945. 128. Р =— Ф(1)—Ф(—1)=2Ф"(1) = 0,6826. 130. rt = 177, 182. Р = 2 Ф ( 1 , 2 ) =—0,7698. 133. Р = 2Ф (2.31) =0,979.134. Р = 2 Ф (0,877) =0,6196.lS7.n —661.138. л=6147. 140. е = 0 . ( » . 141. е = 0.01.143. 1 5 < : / п < 3 3 .144. 5 < ; т < 2 2 .
146. ;feo=8. 148. ;кф = 17, ;ко+1=18. 161. ко^'Т.153.100<:п<102.154. 2 8 < л < 2 9 .158. 0,625 < р < 0 , 6 5 .158. а) Ав—1; б) Р»(1)=0.41; в) Р=0.0067. 160. а) Р , (2)=0,72;в ) Р , ( 1 ) = 0.26; в)Р4(0) = 0 , 0 2 : г ) Р , ( 1 ) + Р , ( 2 ) = 0 , 9 8 . 1 6 1 . а) Р , ( 3 ) =—0,612;б) Pj(2) =0,329;в) Р,(1) =0,056;г) Р,(0) =0,003;д) Р=1—<?,<7,^,=0.997. 162. а) Р4 (4) = 0.006; б) Р4(3) =0,065;• ) Р4(2)=0,254; г) Р4(1) =0.423; д) Р4(0) = 0,252: е) Р4(0)Н-Р4(1)Ч+Р4(2)=0,929.
163. 0.32Б.Глава четвертая167. X О1234р 0,6561 0,2916 0.0486 0.0036 О.ОООГ1МX О12,7,'•*•р 9/16 6/16 1/16"'•""•'',-а X О 1 2'*•• р 1/4 1/2 1/4*X О 123р О 1/5 3/5 1/5-р 0,2 0.16 0,128 . . . 0.8*-1.0,2 . . . '°> *• = '•"*• ? 0.7 0?24 0.042 O.0I44 ' 177.Р„о* (3)=0.18. 178.Р«о(4)=0.09.180.
a)Piee, (2)=0.224; б) Р,,»» (0)-[-Pieoe (0=0.1992; в) Р^во (к > 2 ) ==0,8768; г) Р=1—Pieoe(0)=0,95. 181. 6) Я=3. 186. а) Р4(3)=0.0256;б) Р4(А< 3 ) = 0.0123; в) Р4 ( * ^ 3 ) = 0,9877. 188. б) М (Л) =0,535.189. 6)A1(Z)=30. 191. jfa=2l; Рв=0,2. 198. р , = 0 , 2 ; р, = 0,3:Ра=0,5.194. iM(.Y) = 3/5.198. Л[(Л) = Л'СЙ'(1/6)" (б/б)"-".375200.Л1(Х) = 50.С!.0.9*.0Л - i 16. 209. D ( Z ) = 61. 211. а) D (Л') 3^8.545;a ( X ) ^ 2,923; 6) D (X) ^ 248,95; a ( X ) ^ 15,78.
214. D(iC) = 0.9.216. D(X) = 0,495.217. P i = 0 , 3 ;Pt==0,7. 219. ^ ^ ^ ^ ^^^3.220. ^ ^]з ^^2 0?5-223. a) M(X)==10; 6) D ( X ) = 9 0 . 229. Vi = 3.9;v , = : 16,5;'v, = 74,1. 231. |ii = 0; |i2 = 0,64; fi, = --0,77; ^i4 = l,33.Глава пятая236. Я ( | Х —iM(X)| < 3 a ) ^ l — a V ( 9 a » ) = 8/9.238.P(|X—M ( X ) | ^ 2 a X a * / ( 4 a 2 ) = l/4. 239. P ( I X — M {X)\ < 0 , 2 ) ^^ 1 —0,004/0,04 = 0,9.
240. e ^ 0 , 3 . 242. a) P (| X—161 < 3) ^ 0 , 6 4 ;6) P (I X — 1 6 1 ^ 3 ) < 0 , 3 6 ^ 2 4 4 . P (IX—2001 < 50) ^ 1 —150/50^ = 0 . 9 4 .246. P (IX—0,441 < V ^ 0 , 4 ) ^ 1—0,0364/0,4 = 0,909. 248. Применима.Математические ожидания X„ конечны и равны — а/(2л-4-1); дисперсии равномерно ограничены числом а*.
249. а) С возрастаниемл дисперсии 0(Хл) = (2п*-4-Зл*-гл)/(2л+1) неограниченно возрастают; . б) нельзя, так как требование равномерно!! ограниченностидисперсий лишь достаточно, но не необходимо. 251. Применима:Л1(Х„)=0; D ( X „ ) = 2 .Глава шестая253. Я (О < X < 1)=1/4. 254. Р(—1 < X < 1)=1/3. 255. Р ( Х ^ Г ) == 1 _ Р ( Х < Г) = 1—Р(0 < X < Г) = 1/е.257.р=Я(0,25<Х<0,75)==0,5;Р4(3)=С|р»<7=*0,25.259. A-i = 2 j / ^ .261. P(jc) =0 при х<3,0,2 при 3 < х < 4 ,263.
/(JC)=:2COS2JC В интерва^1е (0; л/4);= < 0,3 при 4 < j c < 7 ,0,7 при 7 < х< 10,1 при X > 10.вне этого интервала f (х) = 0. 265. Р (1 < X < 2) = (е» — 1 ) / ^ ^ .266. р = Р ( 0 < Х < я / 4 ) = ( л + 2 ) / 4 Г > Р , ( 2 ) = ( 1 ( ^ Ц ^ ) *^""^^4л( Опри JC<0,268.Р(х)==?при 0 < х < л / 2 ,269. F (х) =:•(х) = ' 1—COSX1-еУ1приX > я/2.(Опридс<1,(Опридг^л/б,= ^ (1 /2) (А:*—д:) при 1 < А : < 2 , 270. F(x) = | — cos Зх при л/6<,х<л/3,{1прих>2.ylпридг>л/3.272. С = 1/2.
273. 0 = 1 . 274. С —4/(л— 1п 4). 276. М (X) = 4/3.278. Л! ( Х ) = 0 . 279. а) £:=:3/4; б) .М(Х)= 11/16. 281. iM(X) = I/a.я/2283.Л1(Х*)« [ x«cosжdJC = (я*—8)/4.284. Л1 (X») = 13/40.О287. Мо(Х) = М ( Х ) = Л 1 ^ ( Х ) = 4. 288. а) Моды X не имеет (плотностьраспределе}1ия не имеет максимума); б) М ( Х ) = 0 (кривая распреде*ления. симметрична относительно прямой л'=0). 289.
Л1о(Х) == Г ^^-^J^-^* у^''. 293. a)D(X) = 4,5; б) Р (—3 < X < 1)=0.5 ++ (1/л)ап:8!п (1/3); Р ( 1 < X < 3)=0,5—(1/.п) arcsin (1/3). 296. D (Х)=376=-25/18.208.M(X)-=3xe/2;D (X) =-Здс5/4; a{X)^K^3AV2.300*О(Х«)-=20~.2я*. 302. Л1 ( X ) = ( a + I ) в; 6) / > ( Л ) = - ( а + 1 ) Р ^306. Vt=2/3,Vt = l/2.v,=-^2/5, v j ^ l / 3 : i i i = 0 , | i t = l / 1 8 , 1*3 = —1/135.tt4^i/135. 307. C-=l/(fr—a). 309. a) P (0 < X < 0.04) + P (0J6 << X <P,20)==0.4:6)P(0,05 < X < 0,15)^0,5. 3I0.P(2 < X < 5 ) = 0 .
6 .311.P (0 < X < l/3)-fP (2/3) < X < 1) = 2 / 3 .312.F (x) =i0 при x < a ,= { (jc—a)/(6—o) при < i < x < ^ , 314. Л1(Х) = 5. 310. D{X) = 3;\^1 при X > b.0(X)=: К^З. 317. Af(X) = a (€кривая» распределения симметричнаотносительно прямой х=га); D(X)-=/*/3. 319. Л1 (Х*) = {^ + а)(^* ++ а.,/4; D (ХЗ) ^ - ^ ^ ^ |^ (^ f а) (.^Ч^а^) j ^ ^ ^ ^ ^^^^ ^= (a + ^)/2.(c4-d)/2.==^322. /(jc)==-—1=-е^" <*-^>'/^ 323. / ( х > 2 у 2ле-^*^^»'/^^ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
