В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Использовать свойство 4 взаимной корреляционной функции (гл. XVI, § 1).848. Заданы две стационарные случайные функции:X(t) = cos(t + (p) и K(/) = sin(/ + ф), где ф—случайнаявеличина, распределенная равномерно в интервале (0,2л).Доказать, что заданные стационарные функции стационарно связаны.У к а з а н и е . Использовать задачи 830, 831;Rxy=0,5sin(i2—/i).849. Заданы случайные функции X (t)=Vcos / —— Usint, V{t) = Ucost + Vsint, где U nV—некоррелированные случайные величины, причем их математические ожидания равны нулю, а дисперсии равны 5.Доказать, что заданные функции стационарны и стационарно связаны.850. Заданы стационарные случайные функции:а) X (О = (У sin t + Vcost,У (t) = W sin t + Vcos /, гдеt/, К, W — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными 6; б) X{t) = U cos t + К sin t, Y (/)==^Ucos2t + Vsin2t, где U и V—некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равныминулю, и дисперсиями, равными 3.
Являются ли заданныефункции стационарно связанными?851. Заданы стационарные и стационарно связанныеслучайные функции X{t) = — U sint-j-Vcos /, У (О == Ucost + V s'mt, где U и V—некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными единице. Найтинормированную взаимную корреляционную функцию заданных функций.§ 3.
Корреляционная функция производнойот стационарной случайной функцииКорреляционная функция производной X'(t)==x дифференцируемой стационарной случайной функции X (/) равна второй производной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус:852. Доказать, что если известна корреляционнаяфункция k^ir) дифференцируемой стационарной случайной функции X (/), то корреляционная функция ее производной kj^ (т) == —fe^(т).353Р е ш е н и е .
Известно, что корреляционная функция произволной любой дифференцируемой случайной функции равна второй смешанной' производной от ее корреляционной функции:По условию, X (t)—стационарная функция, поэтому ее корреляционная функция зависит только от разности аргументов: Кх (^i» ^i)^»=^j^ (т). Из соотношения т = /2—^i находимУчитывая равенства (*), получимВидим, что искомая корреляционная функция зависит только от т,поэтому /С.
(/i, /2) = Л. (т). Итак, k. (т) ==— Л;(х).XXX^853. Доказать, что производные любого порядка (еслиони существуют) от стационарной случайной функциитакже стационарны.Р е ш е н и е 1. Докажем, что первая производная стационарна.Из задачи 852 следует, что корреляционная функция первой производной стационарной случайной функции зависит только от разностиаргументов.Остается показать, что математическое ожидание производнойесть постоянная величина. Учитывая, что математическое ожиданиеШх стационарной функции постоянно и что операции нахожденияматематического ожидания и дифференцирования можно менять местами, получимМ IX' (01 ={Л^ IX (0]У^(тхУ =0.Таким образом, математическое ожидание производной есть постоянная величина.Итак, первая производная X'(t)—стационарная функция.2.
Докажем, что вторая производная стационарна. ФункцияX'(t) стационарна, поэтому по доказанному в п.1, ее производнаяХ'^ (/) также стационарна.3. Рекомендуем методом математической индукции доказатьстационарность производной любого порядка от стационарной функции в предположении, что рассматриваемые производные существуют.854. Задана корреляционная функ11ия Л;р(т)=:2е-о.бт«стационарной случайной функции X (i).
Найти: а) корреляционную функцию и дисперсию производной X' (/)=JC;б) отношение дисперсий функции X (t) и ее производной.855. ЗаданакорреляционнаяфункцияЛ'^(т) =z=: De'^^'^^{l+a\x\),( а > 0 ) стационарной случайной354функции X{t). Найти: а) корреляционную функциюпроизводной X'(t); б) доказать, что дисперсия производной пропорциональна параметру D и квадрату параметра а.Р е ш е н и е , а) Используем для отыскания корреляционнойфункции проиэводиоа формулу (см.
задачу 852) ik. (г)»—1^(т).Допустим, что т ^ О и, следовательно» | т | » т ; иылолнии дифференцирование, получим— кж ( T ) « D e - « a « (1 —ат).ПДопустив, что т < 0 и, следовательно, |т|а»—т, аналогичноиа1дем— *ж(т)«1>а«е«*(1 + ат).(••)Объединив (^) и (^^), окончательно получим искомую корреляционную функцию: *• «>х>аЧ~'^*^'(1—в(|тр.0) HataeM дисперсию производной: D [Х' (/)) i»k. (0)»£te*.Таким образом, дисперсия произиодиой пропорциональна D и а*,что и требовалось доказать.856. На ВХОД дифференцирующего устройства подаетсястационарный случайный сигнал X(t)f корреляционнаяфункция которого ikjj (т) яг е-««*»(ch т + 2 sn т).
Найти:корреляционную функцию на выходе устройства;наи&хпьшее ее значение.857. Известна корреляционная функция kjg (т) стацно*нарнЫ! случайной функции X (/). Доказать, что корреляционная функция второй производной kji{'t)^ky{T).SiУ к а з а н и е . Рассмотреть вторую производную как производную от первоЁ производной и использовать зддачу ЫЯ.858*.
Заданы математическое ожидание т^^(/) = 8 икорреляционнаяфункция/к^(т) = 5e''<^l|cos2т +4- 0,5 sin 21т|I нормальной стационарной случайной функции ХШ. Найти вероятность того, что производнаяK(/)esX (О заключена в интервале (О, 10).Р е ш е н и е . По условию, функция X (/) распределена нормально,оозтому ее производная К(/)аДС'(/), как известно, также распределена нормально.
Вероятность попадания нормальной величины Yв интервал (а, 9) (см. гл. VI, § 5)Р (а < К < Р)>Р«Ф [ф—а)/а]—1Ф (а—e)/oJ,(•)где а—математическое ожидание К, а—среднее квадратяческое отклонение К, Ф(/)—функция Лапласа.Таким образом, задача сводится к отысканию параметров а и онормально распределенной случайной величины К.1. Найдем математическое ожидание пронзводной: т^ (i)sznh{t)^«•(Ц'шшО.
Следовательно, параметр a^my{ij^O*3552. Используем для отыскания корреляционной функции производиHoft формулу (см. задачу 852) ку(т)^ — i^jr(T). Допустив, что т^О»найдем— kl (т) =25е~'^ [cos2т—0,5sin2т]*(••)При т < О— k%{x) = 25е- ^ [cos 2т+0,5 sin 2тЬ(•••)Объединив (**) и (*^*), получим корреляционную функцию производной:ку (т) =25е~'^1 [cos 2г—0,5 sin 2|т|].3.
Найдем дисперсию производной: Dy»/?^ (0)»25. Отсюдасреднее квадратическое отклонение Оу=:5.4. Найдем по формуле (*) искомую вероятность того, что производная заключена в интервале (О, 10), учитывая, чтоа=0, a»s=:5,а==0, р = 10:Р(0 < К < 10)«Ф[(10—0)/5]-~Ф[(0—0)/б]—Ф(2)«0,4772.'859. Заданы математическое ожидание т^^^ 12 и корреляционная функция kjc (т) = 4е^>^'Fcos2т + 0,5sin2|т|]нормальной стационарной случайной функции Х(/).Найти вероятность того, что производная У{t)жaX {t)принимает значения, большие, чем УЪ.8в0*.
Заданы математическое ожидание т^^ =: 6 и корреляционная функция kjg (т) = 10е-1 ^»[cos Зт + (1/3) sin 3|т|]нормальной стационарной случайной функции X{t).Найти плотность вероятности производной К(/) = Х'(/).§ 4. Корреляционная функция интегралаот стационарной случайной функцииКорреляционнуюI=^\X(s)dsфункцию и дисперсию интегралаY(t)smот стационарной случайной функции находят соответ-ственно по формулам:/Су(/ь /i)=-J(/i-T)A^(T)dT- J(tt-ti-x)kj,(x)dx+it+ J(^-T)^x(T)dT.0Dy (0-^2\(t-x)k^(T)dx.У'-"'861*. Задана корреляционная функция kj^it) стацио*парной случайной функции X{t). Доказать, что корре356ляционная функция интеграла y(t) = ^X{s)dsои-S(/,-/i-T)-*,(T)dT+S(/,-T)fe,(T)dT.Указание.ИПри отыскании двойного интеграла Ky{tu ^2)*х(«1—«i) ^^xds^ перейти к новым переменным5e5t+«i-равнаНачертитьT=Sa—Si,новую область интегрирования, ограниченную прямыми т = 5, т = — g ,T = g—2/1, т = —£ + 2/2.
и выполнить интегрирование по ^.^уДвойной интеграл по области*OABD вычислить как разностьдвойных интегралов по областямХрОАС и BDC. При интегрировании по области ODE переставить пределы интегрирования пот и перейти к новой переменной интегрирования х'=s== —X (рис. 19).862*. Известна корре? ляционная функция kjg (т)стационарной случайнойфункции X (t). Доказать,что дисперсия интегралаiУ (/) = 5x(s)ds равнаоРис.
19Dy{t) =2l{t-x)kAT)dx.П е р в ы й с п о с о б . Положив /^ = / ^ = т в формуле для вычи«сления корреляционной функции» приведенной в задаче 8в1» получимтребуемую формулу.В т о р о й с п о с о б . Известно, что корреляционная функцияшятеграла К (О » \ X ($) usо«» \ С kxist—si^dsidst.определяетсяформулой К у (/i» /t) ="При /^ss/^as/ получим дисперсию JDy(0»357ssVlifc^(5s—Si)d5id5t. Введем новые переменные: T=St—Sfо оE=sSi+Si. Отсюда 5t = (6—т)/2, S I ~ ( 6 + T ) / 2 . Легко найти, чтоI dsi dsi Iмодуль якобиана 1 ^^ 1 равен - ^ . Учитывая, что новая областьинтегрирования (рекомендуем начертить ее для определения новыхпределов интегрирования) ограничена прямыми т » £ , T ^ S — g ,т==6—2/, т = — £ + 2 ^ , получимс- #2/-То2/+Т-|/>у(0=-уКл^(т)Л J d6+J*^(T)dT J dg IВыполнив интегрирование по S я сделав во втором интеграле замену TS—T^t переставив в нем пределы интегрирования и вновьобозначив переменную интегрирования через т, приняв во внимание, что ifcjrC—T)»ifc^(T), окончательно получимDy(/)-2j'^(/~Ty*^(T)dT.8вЗ.
Найти дисперсию интеграла Y{i) — )x (s) ds, знаякорреляционную функцию стационарной случайной функции X{t): а) Л;,(т)=1/(1+т*);б)Л,(т) = /5е-«1'1(а>0);в) Л,(х) = Об-«1^1(1+а|т|).У к а з а н и е . Использовать задачу ав2.864. Задана корреляционная функция kj^ (T)s:rlOe-«*»i^ixХ(1+0,5|т|). Найти отношение дисперсии случайной величины К=J X (s) ds к дисперсии случайной функции X {i).§ 5. Взаимная корреля1|мрмиая функциядифференцируемой стационарной случайной функциии мНиже предполагается, что T = / I — i f .Взаимные корреляционные функции стационарной случайнойфункции Х ( / ) и ее производных выражаются формулами:358865. Доказать, что взаимная корреляционная функция дифференцируемой стационарной случайной функции Х ( / ) и ее производной X'{t) = x равна первой производной от корреляционной функции kjg{x), взятой сосвоим (противоположным) знаком, если индекс х стоитна втором (первом) по порядку месте: г) fxi (т) = й'х(т);б) rix(T) = - f e ; ( T ) .Р е ш е н и е , а) По определению взаимной корреляционной функции.Операции нахождения математического ожидания и дифференцирования можно переставить, поэтому__dMlMti)Mtt)]__dKAtut2)Так как X(t)—стационарная функция, то /Cx(^i» ^t)=^^x('^)tгде Tss/t—/i, и следовательно, -^p-ssl.
Таким образом,XXdttdidt%^'^'Правая часть равенства зависит только от т; следовательно, и левая часть есть функция от т; обозначив ее через г . (т), получимXX ^ '^Х^'Подчеркнем, что поскольку взаимная корреляционная функциязависит только от т, то стационарная случайная функция и ее производная стационарно связаны.866. Найти взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции Х ( / ) и ее производной,зная корреляционную функцию fejc^==^"'^41+ 1'^!)867. Доказать, что взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции Х ( 0 и ее производной изменяет знак при перемене местами аргументовti и <«.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
