В.Е. Гмурман - Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике (1115340), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Используем задачу 8в5:R^(ti./i) = ^^(T).(•)Изменив порядок следования аргументов во взаимной корреляционной функции» получим R . (/|> ^i)* Индекс х стоит на второмместе; следовательно, kjg{x) надо дифференцировать по аргументу / j ,который расположен на втором месте. Учитывая, что x^t^-^tip359-jp—=— If найдемСравнивая (Ф) И (•«)» окончательно получим /? . (/t, tt)^R. (/s» /i).see. Известная корреляционная функция /^^^(т) стационарной функции X(t).
Найти взаимные корреляционные функции случайной функции Х(/) и ее второй производной.У к а з а н и е . Использовать задачу 807.8в9. Задана корреляционная функцияft^(T)«£te-«i^[l+a|T|+ (aV3)T«J, a > Q ,стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию случайной функции X (/)и ее второй производной.У к а з а н и е . Использовать задачу 868. Рассмотреть два случая: т ^ О и т < 0.870.
Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t)^X(t)-^X'{i),зная корреляционную функциюkjf{T) стационарной функции X(t).Р е ш е н и е . Искомая корреляционная функция (§ 2, теорема 2)^у ^'*' ' 1^ — *д ^^^"^ *i ^'^^^'^жк ^^^ + ''kjf ^^^* ^^®Р^ слагаемое равно— ^дг(т), а сумма третьего и четвертого слагаемых равна нулю(см. задачи 862» 865).
Итак» Ky{tu t%)^kxi'^)^^x('i)* Правая частьравенства зависит только от т; следовательно» и левая часть естьфункция аргумента т: Лу(т) = Л;^(т)—*^(т).871. Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t)^X(t)+ X'(i), зная корреляционную функциюЛ^(т)«•€••*• стационарной функции X(t).Указание.Использовать задачу 870,872. Известна корреляционная функция стационарнойслучайной функции X (t). Найти корреляционную функцию случайной функции К(/), если: а) Y(t) = X(t) +873* Известна корреляционная функция ^х('^)=^^*''^'ххГ1Ч-|т^| + (1/3)т*] стационарной случайной функцииxXt).
Найти корреляционную функцию случайной функ*ОНИ Y{t)^X(i) + X''{t).360874*. Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X{t). Найти корреляционнуюфункцию случайной функции К (/) = X (О + X' (/) + X" (t).875. Известна корреляционная функция стационарнойслучайной функции X (t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее третьей производной.876. Известна корреляционная функция стационарнойслучайной функции X{t). Найти взаимную корреляционную функцию первой и второй производных.Указание.Использовать задачи 852, 853 и 865.§ 6.
Спектральная плотность стационарной случайнойфункцииСпектральной плотностью стационарной случайной функцииX (t) называют функцию Sx (со), которая связана с корреляционнойфункцией kx (т) взаимно-обратными преобразованиями Фурье:0000— 00—00Эти формулы называют формулами Винера—Хинчина. В действительной форме они представляют взаимнообратные косинус-преобразования Фурье:ооо»Sx ((о) == — I kx (т) COS сат dx, kx (т) = 2 i $х (w) cos arc d®.Нормированной спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t) называют отношение спектральной плотностик дисперсии случайной функции:о»*jc норм (со) = Sx {i^)/Dx= Sx (со) 11Sx (CO) dco.Взаимной спектральной плстностью двух стационарных и стационарно связанных случайных функций л (/) и К (/) называютфункцию Sxy (со), определяемую преобразованием Фурье:о»— 00Взаимная корреляционная функция выражается через взаимнуюспектральную плотность с помощью обратного преобразования Фурье;00— 00361877.
Доказать, что спектральная плотность стационарной случайной функции—четная функция.Указание.Использовать формулу«х (®) = " о ~ \* х ('^) с^* ^'^ d^-878. Доказать, что, зная спектральную плотностьстационарной случайной функции X{t), можно найтидисперсию этой функции по формуле 0^=\ Sj^(<o)d(o.— о»Указание.Принять во внимание, что0D— 00879. Найти дисперсию стационарной случайной функции X (О» зная ее спектральную плотность Sj^ (со) == 10/я(1+й)«).880. Доказать, что, зная спектральную плотностьдифференцируемой стационарной случайной функции,можно найти спектральную плотность ее производнойпо формуле Si ((о) == (D*Sj^ (со).Р е ш е н и е . Производная стационарной функции также стационарна (см. задачу 853), поэтому спектральная плотность производнойCD— 00Учитывая, что A J ^ ( T ) = — * * ( т ) ,о»^ j p ( T ) = f s^ (©) e'®t dcD,(••)и предполагая допустимость дифференцирования под знаком интеграла (««) по параметру т, имеемо»Л^(т)=~.А?;(т) = ©* [s^(a))e'««dx==©4^(T),— воПодставив («««) в (^), окончательно получимOD5^ (о>) = « • • -^Г f ** <^> *"'*" d T = © » » ^ (<о),»0О362(•••)881.
Задана спектральная плотность s^^ (со)«а*/(<^'>*++ а*)* ( а > 0 ) дифференцируемой стационарной случай*ной функции X (t). Найти дисперсию производной X' (i).882. Доказать, что, зная спектральную плотностьдважды дифференцируемой стационарной случайной функции X{t)f можно найти спектральную плотность второйпроизводной Х'(/) по формуле s:^(a>)»<o*5«(a>).У к а з а н и е . Использовать задачи 863, 880.883. Найти спектральную плотность стационарнойслучайной функции X (О, зная ее корреляционную функцию kjg{x)^l—I т I при I т I ^ 1; корреляционная функция paBHii нулю при | т | > 1.Р е ш е н и е .
Используя формулут$x{fo)^r;r \ А^ (т) COS шт dT•Чя учитывая, что | т | » т в интервале (О, 1), имеем1.1^0-..Интегрируя по частям» окончательно получим а^ (ф)«>в2а1п* (а1/2)/я»*.884. Найти спектральную плотность стационарнойслучайной функции X (/), зная ее корреляционную функ«цию kjg(x)=l—(1/5)|г|при | т К 5 ; корреляционнаяфункция jpaBHB нулю при | т | > 5 .885. Найти спектральную плотность стационарнойслучайной функции, зная ее корреляционную функцию*^(T)=eHti.Р е ш е н и е . Испбльауем формулу а^ (с») *"-^ \^^{х)tr^tdr.Учитывая, что | т ^ — т при т < О, | т | а т при т > 0 , получим^х(т)«е^ при т < 0 ; при т > 0 i(^(T)»e-^.
Следовательно,Выполнив выкладки, окончательно получим а«(а>)»1/д (!+<»*).886. Найти спектральную плотность стационарнойслучайной функции, зная ее корреляционную функциюik,(T) = Z>e-«bl ( а > 0 ) .363887. Найти спектральную плотность стационарнойслучайной функции, зная ее корреляционную функциюfe^(T) = e'-t^lcosT.Р е ш е н и е . Учитывая, что | т | = — т при т < О» при т:^0| т | в т и используя формулу Эйлера со5Т = (е''^+в"'^/2, имеемк^{х)^(1/2) 1е«+')^+е<1~от] „ри т < О,**W==0/2)[e-«-'>^+e-a+/)T при т ^ ЛСледовательно,о•4„JВыполнив выкладки» получим искомую спектральную плотность:888*. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию kjg (т) ==£>е-«И1со8рт ( а > 0 ) .889*. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию kjg{x) == Z)e"a«^«[cospT+(a/p)sinp|TJl ( а > 0 ) .У к а з а н и е .
Раскрыть скобки и использовать задачу 888;выразить тригонометрические функции через показательные по фор*мулам Эйлера.890*. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию kjg(x)==^У к а з а н и е . Использовать формулу— содополнить показатель степени до полного квадрата в учесть, чтоеоинтеграл Пуассона V e^^^'^'^dz^ ^In»364891*. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию /?^ (х) •'=^= De-«l^i(l+ahl) ( а > 0 ) .Решение.Используем формулу— 00Подставив заданную корреляционную функцию, представим правуючасть равенства в виде суммы двух интегралов:00со5 ^ ( < о ) = ^ f e-atxie-'<«>^dT+^ С | т | e - a l ^'e-^<»i^dT.— 00—>аоОбозначим первое слагаемое через /; производная этого интегралапо параметру а00Ж = ^ 1(-|T|)e-lT.eW«xdx.— 00Следовательно,5^(0)) = / — а ^ .(•)Учитывая, что (см.
задачу 886)и подставив (••) в (*), окончательно получим s^ (со) s=s2Da^M(a*-r ^ ' ) ^892. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию /г^(т)=:= 100е-о-ит| (1+о,1М).Указание.Использовать задачу 891.893*. Найти спектральную плотность стационарнойфункции, зная ее корреляционную функцию й^(т) ==£)е-«1^1(1+а|т| + у-аЧ») ( а > 0 ) .Решение.Первыйс п о с о б . Используем формулу00s*(«)=^ J*,{T)e-'<«dT.Подставив заданную корреляционную функцию, получим00Sj,(a)) = ^f e - a l ^ l ( l + a | T | + ya«T2)e-<»^dT.— 00Представим этот интеграл в виде суммы трех интегралов и выпол365ним выкладки; окончательно имеемВ т о р о й с п о с о б .
Введем обозначение— «DНайдем проиэводяую этого интеграла по параметру окдаОтсюда- » Ж = # 5«lT|e-«i4eW.«dT.Аналогично найдем—•Следовательно,. . .в/ , а« Э*/.,(«)=x/-«^H-3--55J.(•)Учитывая (см. задачу 88в), что /==DaM(a*+fii*), найдя часгд!тные производные - ^ , -g^- и подставив их в соотношение (•), окон*чатеяьно получим искомую спектральную плотность: s^(ai)aДостоинство этого способа состоит в том» что вместо трех ни*тегралов достаточно вычислить только один, причем самый простой.894*.
Найти спектральную плотность случайной функ*ции У {t)^X{t) + X'h), зная корреляционную функциюЛ^(т) = Ое-«1^1(1+а|т|) ( а > 0 ) стационарной дифференцируемой случайной функции X (t).У к а з а н и е . Найдяиспользовать второй способ решения задачи 893:где366895*. Может ли функция й^(т) = е-1^1 (14-|т| + т*)быть корреляционной функцией стационарной случайнойфункции X{t)?Р е ш е н и е . Проверим, выполняются ли все свойства корреляционной функции kjg(x),1.
Свойство кх(т)—четная функция — выполняется: k^d—т) =»« ЛЛт).2. Свойство ^^(0) > О выполняется: kyc(0)==^l > 0.3. Свойство \Kjg{x)Kkx(0) не выполняется: например, ^^(1)=з= 3/е> i^^(0)«b4. Свойство00Sx (®) ^ - ^ J ^х W е~'«^ d x ^ Опри всех значениях со не выполняется. Действительно, допустив,что заданная функция к^^{1) является корреляционной функциейнекоторой стационарной случайной функции X (/), и выполнив выкладки, найдем функцию s^ (ш) = 4 (1 —0}^)/п (1 + (о^); при | ш | > 1функция Sjp((0) < 0.Итак, заданная функция kx(i) не является корреляционнойфункцией никакой стационарной случайной функции.
Разумеется,это заключение можно было сделать, убедившись, что не выполняется хотя бы одно свойство корреляционной функции.896. а) Доказать, что функция Л^^ (т) = 5е-2т« можетбыть корреляционной функцией стационарной случайнойфункции X{t).б) Доказать методом от противного, что не существует такой стационарной функции, корреляционная функция которой сохраняет постоянное значение в интервале (— т^, т^), симметричном относительно начала координат, и которая равна нулю вне этого интервала.897.
Задана спектральная плотность Sj^ ((о) = 10а/я(а* ++ <!)•) ( а > 0 ) стационарной случайной функции. Найтинормированную спектральную плотность.У к а з а н и е . Использовать задачу 878.898. Задана спектральная плотность s^ (со) ==Оа/я (а* 4+ <«>*) ( а > 0 ) стационарной случайной функции. Найтиспектральную функцию 5^^ (со) = J 5^^ (©) dco.— оо899.
Доказать, что спектральная плотность равнапроизводной от спектральной функции: Sje((o)==Si ((о).900. Доказать, что для стационарных и стационарносвязанных случайных функций X (/) и К (/) справедливо367соотношение, связывающее взаимные спектральные плотности: s,|,(—со)»5у^(а)).Р е ш е н и е . По определению взаимной спектральной плотности,т—•Следовательно,ттПоскольку /'ху(т)««Гух(—т) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
