Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Симпсон исходил из предположения, что малые ошибки допускаются чаще, чем большие и также ограничены по абсолютной величине некоторым числом а. Симпсон считал, что ошибки подчинены треугоньному распределению, плотность которого равна 0 в отрезках от— до — а и от а до +; в отрезке ( — а, О) ее уравнение будет х — 2аз у =- а и, наконец, в отрезке (О, а) имеет уравнение х + 2а' у =а. Следует заметить, что как Котс, так и Симпози не рассматривали в сущности гиотности распределения, поскольку оии считали, что ошибки укладываются в арифметическую прогрессию с очень малой разностью и неопределенным числом возможных значений.
Симпсон для избраннопз им распределения доказал, что среднее арифметическое дает лучшую точность, чем кзждое отдельное измерение. Этому результату он придавал большое значение и опубликовал его в работе "0 преимуществе выбора среднего из некоторого числа наблюдений в практической астрономии" (Нп1оз, Тгапз., 1755) . Значительный интерес представляет работа Д. Бернулли (1700 — 1782) **Наиболее вероятное определение по нескольким расходящимсн между собой наблюдениям и устанавливаемое отсюда наиболее правдоподобное заключение", опубликованная 9 13.
Развитие теории ошибок наблюдений 419 в 1778 г. в изданиях ПетербургскоЯ Академии наук. Эта работа интересна тем, что в ней впервые бьш высказан и испольэовал для оценки неизвестного параметра принцип максимального правдоподобия. Д. Бернулли начал свой мемуар с сомнений о целесообразности применения всеобще принятого принципа среднего арифметического. В качестве плотности распределения он принял функцию, определенную равенством - я-а-тг., ~ .
г ' результатам наблюдений. Заслуживает внимания то, что Д. Бернулли не обратил внимания на слелующее обстоятельство: интеграл от принятой им плотности распределения равен — Л» и, следовательно, только прн одном значении )Г может быть плотно- 2 стью распределения вероятностей.
К агой работе Д. Бернулли бьш написан комментарий Л. Эйлером (1707 — 1783), в котором, во-первых, критиковался метод максимального правдоподобия (конечно, тогда этого термина еще не было и в помине) и, во-вторых, предлаганось отбрасывать наблюдения, далекие от истинного значения параметра, поскольку они мало вероятны. Следует отметить работы И. Ламберта (1728 — 1777), который в статьях 1760 и 1765 г. изложил цели творю| ошибок измерений (кстати, ему принадлежит н сам этот термин), свойства ошибок, оценку точности наблюдений и правила подбора кривых по наблюденным точкам, содержащим случайные ошибки, Позднее появилась работа Ж.
Лагранжа (1736-1813), посвященная выяснению роли среднего арифметического при оценке истинного значения измеряемой величины. Дзя П.Люшаса (1749 — 1827) теория вероятностеЯ была не столько математической, сколько естественно-научной дисциплиной. В связи с его занятиями астрономией, он неизбежно должен бьш прийти к вопросам теории ошибок наблюдений и вместе с тем заинтересоваться теориея вероятностей. Лаплас получил ряд важных результатов в теории ошибок наблюдений, которые вошли в практику обработки данных наблюдений. Мы не станем здесь вдаваться в подробности его исследований, поскольку для нас описание теории ошибок измерений не является самоцелью.
Нас интересует ее связи с развитием морин вероятностей. В этом плане особый интерес представляют две идеи П. Лапласа. Первая из них вызвала к жизни значительное увеличение интереса к предельным теоремам для сумм независимых случайных величин. Именно, согласно Лапласу, наблюденные ошибки измерений являются результатом суммирования очень большого числа элементарных ошибок.
Если эти ошибки равномерно малы, то Лаплас предположил, что распределение их суммы должно быть близко к нормютьному. Вторая идея касается оценки измеряемой величины по результатам х,. х„... х„ измерений. В качестве оценки неизвестного значения а измеряемой величины Лаплас л предложил брать то значения а = а(х,,..., хн), при котором обращается в минимум и о сумма Б !хя -а 1 Оказывается, что а при этом равняется эмпирическоЯ медиане, я=| т.е.
тому значению х, слева и справа от которого расположено одинаковое число наблюденных значений. Этот прием не получил в ту пору распространения, поскольку вскоре был предложен другой метод, приводящий к более простым результатам. Разработка зшго нового метода связана с именами Гаусса (1777 — 1855), Лежандра (1752 — 1833) и американского математика Р. Эдрейна (1775 — 1843). Их работы составили в теории ошибок наблюдений настоящую эпоху. Гауссом и Лежандром был предложен и разработан метод наименьших квадрата. Гаусс предложил его второй книге большого трактата "Теория движения небесных тел, вращающихся вокруг солнца по коническим сечениям" (1809).
Лежандр же изложил свои идеи в работе "Новые методы для определения орбит комет" (1806), к которой было сделано специальное дополнение "О методе наименьших квапратов". Сам Гаусс неоднократно 14в Гл. 3. Понятие случайной величины 420 инсат, что он пользовался этим методом, начиная с 1795 г. Гауссом и Эдрейном было показано, что при некоторых весыча широких условиях плотность ошибок измерений й имеет вид п(4) = — ехр( — Аз и'). .,(и Необходимо сказать, что влияние Гаусса, Лежандра и Эпрейиа на развитие науки оказалось весьма различным.
Статья Эдрейна, опубликованная а мало распространенном американском журнале, прошла практически иезамеченой. Работы же Гаусса и Лежандра почти мгновенно стали известны научному миру. Ученые восприняли предложенный ими метод и начали систематически использовать его н своей практической работе. Большой вклад в дальнейшее развитие этой теории внес С. Пуассон (1781-1840). В часпшсти, Пуассон задался вопросом: всегда ли среднее арифметическое дает лучший результат по сравнению с отдельным наблюдением? Ответ оказался отрицательным.
Именно: ему удалось указать распределение, для которого этого правило оши- 1 бочно. Плотность эзопа распределения равна р(х) =, — ( х < и(1 ч ха) Пуассон обнаружил, что сумма двух независимых случайных величин с толька что указанной плотностью распределения имеет с точностью до масштаба такое же распределение.
Далее он обнаружил, что среднее арифметическое нз независимых наблюдений над такой случайной величиной имеет в точности такое же распределение. Через двадцать лет (в 1853 г.) О. Коши (1789 — 1857) повторил эти результаты, после чего указанное распределение получило наименование распределения Коши. Пуассон же, первооткрыватель этих результатов, был забыт. Позцнее теория ошибок измерений привлекала внимание практически всех видных специалистов в области теории вероятностей.П.Л,Чебышев и Л.А. Марков (1856 — 1922) и многие другие уделили внимание как методу наименьших квадратов, так и другим вопросам теории ошибок.
Теория ошибок оказала серьезное влияние на постановки задач и разработку методов математической статистики. Теперь теория ошибок включается в качестве естественной части в математическую статистику. 9 14. Формирование пошпия случайной величины Мы неоднократно говорили о том, что формирование научных понятий проходит длительный и сложный путь, прежде чем войти во всеобщее употребление. Как правило, необходимое понятие еще не введено в научный обиход, а фактически им уже пользуются как при решении практических задач, так и при выводе обшетеоретических закономерностей. Этот путь характерен и для случайной величины — основного понятия теории вероятностей и современного естествознания.
Введение этого понятия связано с именамн многих ученых, которые хотя и не использовали этого термини, на фактически исследовали отдельные его свойства. Действительно, мы уже знаем, что,начиная с Котса, Симпсона и Д. Бернулли, в ХЧП1 веке начала развиваться теории ошибок наблюдений, возникшая в первую очередь под влиянием астрономии. Ошибка измерения в зависимости от случая может принимать различные значения. Эта позиция была высказана Галилеем задолго до работ только что упомянутых ученых.
Он же авел в обиход термин "случайная" и "систематическая ошибка" измерения. Вторая тесно связана с качеством изготовления прибора, мастерством наблюдателя, условиями наблюдений. Первая же зависит от многочисленных причин, влияние которых невозможно учесть и которые изменяются от наблюдения к наблюдению, от измерения к измерению. Теперьмыпсно видим, что ошибка измерения представляет собой случайную величину с каким-то неизвестным нам распределением вероятностей. й 14. Формирование понятия случайной величины 421 Но с понятием случайной величины встречались уже Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
