Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Байес употребляет другой термин "неплотные события" (!псопз!пеп!).Согласно Байес>, "'несколько собьпий являются неплотными. если наступление оцного из ннч исключает наступление других". Формулировка же теоремы сложения дается Байесом в предложении 1, которое состоит в следующем: "Если несколько событий являются неплотными. то вероятность того, что наступит какое-го из них. равно сумме вероятностей каждого из них". В этом предложении мы видим четкую формулировку теоремы сложения вероятностей во вполне современной форме. Точно так же теоремз умножения вероятностей длительный период формировалась на рассмотрении частнь>х примеров и на подсчете числа шансов, благоприятствующих наступлению произведения двух или нескольких сабьпий.
Такого рода попса гы встречаются практически у всех предшественников Я. Бернулли. Я. Бернулли широко использует зги правила при выводе своих знаменитых формул. Широко использовал правила сложения и умножения вероятностей Монмор. Однако формулировки теоремы умножения ни у кого иэ них не встречается. Четкое выделение теоремы умножения было осуществлено лишь Муавром. Во введении к "доктрине шансов" в 6 8 он определил важное понятие независимости случайных событий. А именно он формулирует следующее положение.
"Мы скажем что два события независимы. когда каждое из них нс имеет ннкакога отношения к дру> ому, а появление одного из них не оказывает никакого влияния на появление др>гого." Ешс более определенно им дано определение зависимых собьпий А именно, "цва собьпня зависимы, когда они связаны друг с другом и когда вероятность появления одного из них изменяется при появлении другого". Этн определения Муавр снабдил простеньким примером Пусть имеются две кучки карт одной масти в каждой кучке от двойки до туза.
Тогда вероятность того, что из каждой кучки наудачу удаетси вынуть по тузу будет равна 17!3 . 1713 = 17169.Мы имеем дело с двумя независимыми событиями. Если же мы вынимаем две карты из одной кучки и спрашиваем о вероятности того, чзо при первом вынимании извлечем туз, а при втором . двойку, то здесь вероятность первого события равна 1713, а второго 1712. Таким образом вероятность интересуюшего нас события равна уже 1713 1712 = 1/156, Нам особенно важно привести сейчас следующую формулировку Муавра: "...
вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности появления одного из нпт на вероятность того, что другое должно появиться, если в 9. Основныс теоремы теории вероятностей 4!! первое нз них уже появилось. Это правило может бьнь обобшено на случай нескольких событий". Мы видим, таким образом, что формулировку теоремы умножении вероятностей н введение понятия условной вероятности удалось осуществить только Муавру. Это им было спелано уже в 1718 г.
в первом издании его "Доктрины шансов". О вероятности совместного наступления нескольких событий Муавр писал следующее "... надо обозначить одно из них как первое, другое как второе и т.д Тогда вероятность появления первого должна рассматриваться как независимая от остальных; вторая — в предположении, что первое произошло, третье — в преллоложенни наступления первого и второго и тщ. Следовательно, вероятность наступления всех событий равна произведению всех только что указанных вероятностей". Далее Муавр отметил, что разыскание условных нероятностей, как правило, представляет собой сложное занятие. Общее положение Муавр продемонстрировал на решении ряда задач.
Вот одна нз них. Пусть события А, В и С независимы в совокупности и х, у, означают веронтности их наступления. Тогда хуз есть вероятность наступления всех трех собьгтий, а 1 — !! — х) !1 — у) (! — з) — вероятность настУпления хоти бы одного из событийА, В, С. В упомянутой ранее работе Байеса содержится формулировка теоремы умножения вероятностей (предложение 3): "Вероятность того, что наступят оба взаимосвязанные собьпия, есть соотношение, получающееся от перемножения вероятности первого события на вероятность наступления второго в предположении, что первое наступило".
Мы уже видели, что это предложение было четко сформулировано Муавром и, поскольку произведение Муавра было широко известно, Байес, несомненно, заимствовал его у своего знаменитого предшественника. Единственно, в чем Байес пошел дальше Муавра — это в формулировке следствия о вычислении вероятности Р(В!А) по вероятностнм Р(АВ! и Р (А! . Это предложение дало основание приписывать Байесу формулы, носящие его имя. В действительности ) него их нет, поскольку он не знал формулы полной вероятности.
Результат, приписываемый Байесу, пщвидимому, впервые получил современную формулировку у Лапласа в его "Опыте философии теории вероятностей". В главе "Общие принципы теории вероятностей" он сформулировал принцип Ч!. который относится к вероятности гипотез илн, как писал Лаплас, вероятности причин. Пусть некоторое событие А может произойти с одним из л несовместимых событий В,, В„..., Вл и только с ними; зти события Лаплас называет причинами.
Спрашиваетсн, если известно, что собьпие наступило, чему равна вероятность того, что осуществилась и причина Вг? Вот формулировка ответа, данного Лапласом: "вероятность существования какого-либо нз этих причин равна, следовательно, дроби, числитель которой есть вероятность события, вьпекаюшая иэ этой причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, относящихся ко всем причинам: если эти различные причины. Рассматриваемые а рпоц„не одинаково вероятиы, то вместо вероятности собьпия, вы~екающей из каждой причины, слелует взять произведение этой вероятности на верояшость самой причины".
Легко понять, что Лаплас словесно сформулировал навес."нос *'правило Байсса" и Р (ВГ!А! — Р(В!) Р(А>В)),'~ Е Р(ВУ! ° Р (А!Ву)) У=! Более то о, этот принцип !!апласа содержит и формулу полной вероятности, которой с начала ХНП! века широко пользовались в своих работах многочисленные математики. рабе!авшие в области теории вероятностей Они понимали как использовать принцип, за юженный в формуле полной вероятности, но его не формулиро- вали Гл, 2. Период формирования основ 412 Мы вицим, таким образом, что основные принципы действия с вероятно«гямн вычленялись длительным путем.
Их многократно использовали прн решении отдельных задач н использовали правильно, но не формулировали нх в качестве особых предложений. И потребовалось почти целое столетие, чтобы после введения в пауку понятия вероятности сформулировать для этого понятия систему правил действия с ним.
Как постоянна происходит в истории науки, такие правила широко использовались фактически, но потребности в их формулировании не ошущали. Попутно при этом вводились и дацолнителыгые понятия, которые позволяли глубже вникать в природу вещей. В нашем случае этими понятиям являются понятия несовместимасти и независимости случайных собьший. 1 10. Задача о разорении игрока Несомненна, что задача о разорении игрока в развитии теории вероятностей играла серыэиую роль — она позволяла оттачивать методы решения сложных вопросов и в какой-то мере является исходным пунктом для развитии теории случайных процессов. Действительно именно в этой задаче впервые начали изучать состояние системы в зависимости от времени.
Точнее — положение игроков после заданного числа партий. Задача о разорении игрока была впервые сформулирована Гюйгенсом в книге "О расчетах в азартных играх" (см. 1 5 первой главы настоящего очерка, задача 5). Этой задачей занимались многие выдающиеся математики прошлого— Я. Бернулли, Н. Бернулли, Муавр, Пы!лас и др. Интересно отметить, что Я. Бернулли критиковал Гюйгенса за то, что тот решал и предлагал трудные задачи, ио не в буквенной форме, а в числовом виде и тем самым ограничивал возможности выявления общих закономерностей. Первые подходы к решению запачи о разорении игрока почти одновременно бьизи предложенытремяматематиками — П.
Монмором (1687 — 1719), А. Муавром и Н. Бернулли (1687 — 1759). Ихрезультатыотносились к 1710 — 1711 г. Задачи Гюйгенса в их формулировке слегка преобразилась и приобрела привычный для нас вид: игроки А и В имеют соответственно а и Ь франков и при каждой партии некоторой нгрм один из них выигрывает у другого 1 франк. Вероятность выигрыша игрока А для каждой партии равна р, для игрока В вероятиосп, выигрыша равна ц = ! — р.
Спрашивается, чему равны вероитиости ря и ре того, что игрок А выиграет (соответственно игрок В) игру (т.е. игрок А выиграет все деньги В раньше, чем В выиграет их у А). Муавр опубликовал свои результаты в журнале Рййозорй)со( Тгапгасгюпз за 1711 г. Он нашел, что чае — Ф )'— («г' — ' " еч)"'- и что математическое ожидание числа А! необходимых для завершения игры партий равно бра "РЬ Р вЂ” ч Ему же удалось найти вероятности рв „и ре итого, что игрок А выиграет игру за л партий (соответственно выиграет игру за л партий игрок В). В современных обоз.
начеииях искомая формула имеет следующий взщ: и-Ь М г. и — Ь-2гз — ! ! л-з-2м — ! ! ра,а Е(р и Есп!р — и ! ))- ! ! — Б(р ц Бс„(р с и -! гз+! ! л — Ь вЂ” 2ж — за-! ! я — Ь вЂ” 2гз — 2а — ! ! з я — л 'р')) ! 4!3 В 11. Предельные теоремы теории вероятностей Здесь введено обозначение з = а + Ь; суммирование распространяется на те значе. ния г, при которых все показатели неотрипательны. Вдобавок им был подробно рассмотрен случай, когда а = В 1710 г. формулы для рд „, рь „в случае р = 4 нашел Моимор. Свои соображения он переслал Иоганну Бернулли, который передал письмо своему племяннику Николаю Ответное письмо Николаи Бернулли от 26 февраля 1711 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
