Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 76

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 76)

Бернулли, Н. Бернулли, Монмор, Муавр. В самом деле, Я. Бернулли рассмотрел ч и ел о появлений интересуюшего его события А в л независимых испытаниях. Для нас теперь это случайная величина, способная принимать значения О, 1, 2,..., л с вероятностями, задаваемыми форму. лами Бернулли. Н. Бернулли, Монмор и Муавр, исследуя задачу о разорении игрока, также имели дело со случайной величиной — числом партий, которые необходимы для разорения. Муавр пошел еше дальше — он ввел в рассмотрение нормальное распределение вероятностей.

Однако никто из перечисленных ученых не заметил, что в науку властно посзучалась необходимость введения нового понятия — случайной величины. Первый из них оставался на уровне схемы последовательности случайных событий, остальные же ограничились той частной задачей, которая перед ними стояла. Для Муавра нормальное распределение было лишь аппроксимирующей функцией, дающей хорошее приближение к точному значению искомых вероятностей. Мы говорили, что первоначально считалось, что возможные значения ошибок измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разностью. Затем постепенно от этого предположения отказалнсь и стали представ.

лять себе, что возможные значения, принимаемые ошибками наблюдений, заполняют целый отрезок, вероятности возможных значений определялись посредством плотности распределения. И если Д. Бернулли в отношении плоткости распределения вероятностей допускал еще определенные вольности, то у Лапласа, Гаусса, Лежандра с плотностью распределения было уже все в порядке.

Это была .неотрицательная функция, интеграл от которой по всей прямой равен единице, а вероятность попадания в тот или иной отрезок равнялся интегралу от плотности, взятому по этому отрезку. Лапласу уже была известна формула для разыскания плотности распределения суммы по плотностям распределения слагаемых. В знаменитой книге "Анали.

тнческая теория вероятностей" Лаплас умело оперирует с плотностями распределения, ставит и решает ряд интересных задач, но нигде не вводит понятия случайной величины. Ои либо использует язык теории ошибок измерений, либо нзык математического анализа н не ощущает потребности в новом понятии теории вероятностей. Первая половина Х1Х века принесла новые задачи, которые нуждаются в понятии случайной величины. Прежде всего — это исследования бельгийского естествоиспытателя А. Кетле 11796 — !874), заметившего, что размеры органов животных определенного возраста подчиняются нормальному распределению.

Изучение уклонений снаряда от цели явилось предметом исследования многих ученых; они также привели к выводу о нормальном распределении этой величины. С середины Х!Х века начались замечательные работы Л.К. Максвелла 11831 — 1879) и ряда других ученых по математической теории молекулярной физики газов. И здесь снова нормальное распределение завоевало почетное место.

Заслуживает внимания постановка еще одной задачи Гауссом. Он сформулировал ее 25 октября 1800 г. 1имскно за этот день в его дневнеке под Вт 113 сделана соответствующая запись). Через двенадцать лет он сформулировал ее в письме к Лапласу от 30 января 1812 г. Эта задача относится к интересному, начавшему развиваться лишь в нашем веке разделу математики — метрической теории чисел; одновременно она имеет самое непосредственное отношение к изучению равномерно распределенных случайных величин. В постановке задачи предоставим слово самому Гауссу.

В упомянутом письме к Лапласу ои писал: "... я вспоминаю любопытную задачу, которой я занимался уже ! 2 лет назац, но для которой я не нашел тогда удовлетворяющего меня решения. Быть может, Вы соблаговолите заняться ею несколько минут: в этом случае, я убежден, Вы найдете более полное решение. Вот она. Пусть М вЂ” неизвестная величина, заключенная между пределами 0 и 1, для которой все значения нлн одинаково вероятны или же более илн менее следуют данному закону: предположено, что она 422 Гл 3. Понятие случайной величины разложена в непрерывную дробь М = 17 а + 1)а +.... Че у равна вероятность (1) (2) того, что, отбросив в разложении конечное число членов до а(иэ, следующая дробь Ма(") + 1)а " +... будет заключена в пределах от 0 до х? Я обозначаю ее через (и+ !) Р (л, х) и предполагаю, что для М все значения оцинаково вероятны: Р (О, х) = х." Гипотеза Гаусса состояла в том, что !нл Р(п, х) = 1п(1+ х))йэ2.

и Он писал далее, что при решении этой задачи "усилия, которые я делал,... оказались бесплодными". Решение этой задачи появилось лишь в 1928 г., его дал Р.О. Кузьмин (1891 — 1949). Через год П. Леви (1886 — 1971) дал для этой задачи чисто вероятностное решение, получив для быстроты сходимости к пределу лучшую, чем у Кузьмина, оценку. Позднее было доказано, что результат сохраняется лля любой случайной величины М, для которой Р(0, х) имеет ограниченную производную.

Это замечание делает более ясными неопределенные слова Гаусса о том, что для величины М 'все значения нлн одинаково вероятны или же более илн менее следуют данному закону". Эаслужнвает упоминания то обстоятельство, что функция Р(0, к), также как и Р (и, х), представляет собой функцию распределения. Иы видим, что многочисленные исследования многих крупных математиков подготовили почву для введения понятия случайной величины. По-видимому, пер. вый шаг был сделан Пуассоном в мемуаре 1832 г.

**О вероятности средних результатов наблюдений", Этот факт мне сообщил О.Б. Шейнин. Термина случайная величина у Пуассона еще нет, но он пишет о *'некоторой вещи", которая способна принять значения а„а„..., а), соответственно с вероятностями р„р,,..., РЫ Он рассмотрел также непрерывные случайные величины и их плотности распределения.

Итак, Пуассоном был сделан важный шаг в науке — он ввел в научный обиход новое понятие — случайную вели мну. Его первоначальный термин "вещь" не привился и скоро перестал употребляться. Чебышев в своих мемуарах по теории вероятностей уже использует термин "величина" и автоматически считает все случайные величины, с которыми имеет дело, независимыми. В работах же Ляпунова по теории вероятностей систематически используется термин '*случайная величина" н всюду, где это необходимо, оговаривается, что автор имеет дело с независимыми случайными величинами.

Отметим еще одно обстоятельство. В самом начале 8 4 работы "Об одном предложении теории вероятностей" Ляпунов определил функцию распределения точно также, как мы делаем это теперь. Он привел в этой работе широко используемую формулу Р (а и 1 и Ь) =Р(Ь) — Р(а). Полезно заметнтц что в трактатах по теории вероятностей А. Пуанкаре (1854 — 1912) "Исчисление вероятностей", Э. Бертрана "Исчисление вероятностей", Чубера "Теория вероятностей н математическан статистика" понятие функции распределения не вводи. лось (книги, изданные до !912 г.) Определение случайной величины, данное Пуассоном, теперь уже не может считаться математическим. Это скорее описание реального объекта изучения, обращение к интуиции, полученной в резулыате житейского и научного опыта.

Это описание широко используется и в наши дни на начальных ступенях педагогического процесса, связанного с изложением основ теории вероятностей. Лаже несложный логический 8 15. Закон больших чисел анализ этого определения показывает, что из него совсем не следует правила для действий над случайными величинами — сложения, вычитания, умножения и пр. Для того, чтобы случайная величина приобрела статус полноценного математического понятия, ей необходимо дать строго формализованное определение. Это было сделано в конце двадцатых годов А.Н. Колмогоровым в небольшой статье, посвященной аксиоматике теории вероятностей, а затем в подробностях изложено в его знаменитой книге "Основные понятия теории вероятностей'*.

Подхоп Колмогорова стал теперь общепринятым, поскольку он полноценно включил теорию вероятностей в общий скаль современного изложения, принятый в математике. 6 15. Закон больших чисел Знаменитая теорема Я. Бернулли о сближении при увеличении числа наблюдений вероятности события А с частотой его появления получила первое обобщение лишь в !837 г. в работе С. Пуассона "Исследования о вероятностях в решении судебных дел уголовных и гражданских". Именно в этом мемуаре ои ввел сам термин "закон больших чисел". Пуассон рассмотрел последовательность л независимых испьпаний, в каждом из которых может появиться событие А, но с вероятностью рю зависящей от номера испытания Если через н„обозначить число появлений события А в н последовательных испытаниях, то при любом е > 0 имеет место соотношение: при и По поводу этой теоремы Пуассона в небольшой замепсе 1843 г.

Характеристики

Список файлов книги