Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Чебышев писал: как ни остроумен способ, употребленный знаменитым геометром, он не доставляет предела погрешности, которую пускает этот приближенный анализ, и вследствие такой неизвестности величины погрешности доказательство не имеет надлежащей строгости"(Чебышев П.Л., Собр. соч.
— АН СССР, 1947 — Т. П. — С. 14). Оценку числал, для которого при заданных е и ч имеет место неравенство Чебышев указал в этой заметке. Как ии интересны эти результаты, они не внесли в теорию вероятностей существен. ного прогресса, поскольку в идейном плане они ие выходили за пределы концепции Я. Бернулли. Существенный сдвиг в этом направлении связан с работой ПЗЕ Чебышева "О средних величинах" (1867), опубликованной одновременно на русском и французском языках.
В этой работе он перешел от рассмотрения случайных событий к случайным величинам и тем самым перенес центр тяжести интересов теории вероятностей к изучению случайных величин. Нужно заметить, что Чебышев не упоминал, что он интересуется только независимыми случайными величинами, а, согласно трацициям того времени, считал, что др)тих величин не рассматривают. Теорема Чебышева теперь излагается во всех учебниках теории вероятностей. Она неоднократно позднее служила источником обобщений. В 1909 г.
Э. Борель для р = 0,5 показан, что в случае схемы Бернулли имеет более сильное предложение, чем закон больших чисел. Именно, он доказал, а в 1917 г Гл. 3. Понятие случайной величины 424 это предложение на произвольное Р Распространил итальянский математик Кантелли, что н„ Р 1пп — = Р =1. (л л Зто предложение получило наименование усиленного закона больших чисел.
Широкое обобщение усиленного закона больших чисел была дано А.Н. Колмогоровым в работе 1930 г., а также в 1934 г, в его монографии "Основные понятия теории вероятностей" (1932 г.). Необходимые и достаточные условия для усиленного закона больших чисел были найдены в ряде Работ Ю.В. Прохорова 1958 — 1959 г. (см. "Об усиленном законе больших чисел", Иэв. АН СССР, сер. матем, 14, б. 1958; "Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел", Теория вероятностей и ее применения, т. 1У, вып. 2, 215 — 220, 1959). В 1935 г. А.Я. Хинчии ввел новое понятие относительной устойчивости сумм, которое должно было дать максимально общую форму закона больших чисел для положительных случайных величин.
Пусть 1„1„. — последовательность неотрндательных слУчайных величин. ПРо суммы 5„= 1, + (з +... + („ говоРЯт, что они относительно устойчивы, есля можно найти такие положительные константы Ан > О, что при любом е > 0 и л выполняется соотношение Р (~ — — 1~>е) О.
В случае одинаково распределенных величин („Хинчину удалось найти необходимое и достаточное условие для относительной устойчивости сумм бч. Ученик А.Я. Хинчина А.А. Бобров (р. 1912) распространил этот результат на случай разнораспределенных слагаемых. Закон больших чисел рассматривался вплоть до 1939 г. как особая предельная теорема и рассматривался обособленно от остальных предельных теорем зщя сумм независимых случайных величин. В работе Б.В. Гнеденко, о которой речь пойдет в 8 17, закон больших чисел был включен в общую теорию предельных теорем, когда предельное распределение имеет единственную точку роста в нуле. Точно также теоремы об относительной устойчивости суым являются предельными для того случая, когда предельное распределение имеет единственную точку роста при х = 1. Существенное расширение проблематики, связанной с законом больших чисел, было осуществлено В.И.
Гливенко в работах, относящихся к 1929 — 1933 гг., когда ан начал рассматривать предельные теоремы для случайных величин са значениями в функциональных пространствах. Пожалуй, вершиной его результатов является замечательная теорема о сходимости эмпирических распределений к истинной функдии распределения наблюдаемой случайной величины. Теорема Глнвеико, сразу же после ее опубликования, была названа Кантелли основной теоремой математической статистики.
Теорема Гливенко неоднократно обобщалась. В этом направлении работало большое число исследователей, среди которых отметим лишь фразпуэских ученых Р.форте (р. 1912) и Э. Мурье. й !б. Центральная предельная теорема З 16. Центральная предельная теорема Теорема Муавра о сходимости распределений центрированного и нормированного числа появлений события А в и независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятноспао р, к нормальному распределению долгое время служила образцом для последующих обобщений.
Пожалуй, первое обобщение принадлежит Лапласу и уже формулируется как предельная теорема для сумм независимых случайных величин $ к, каждая из которых равномерно распределена на отрезке ( — й,й). Это было сделано в работе "Мешоке зш !ез арргох!та!юл Вез (отти)ез йо! юп1 1опс1юпз бе 1тез В!алба потЬгез ет заг (еш арр!!сатюп анх рговащ)йбз" (1809) . Лаплас в нем рассматривал дискретные случайные величины с увеличивающимся числом возможных значений. Этим самым давалась аппроксимация непрерывного распределения дискретным.
Лаплас доказал, что для каждого т имеет место такой результат: хг 3„1 2 3 г 1!ю Р ~ — ц — "<з1= /в З х и ( гсгй ) К гсс2гг о илн и бп = Х (к, о' = )ггс3. к=! Заслуживает внимания тот факс, что Лаплас при доказательстве лого резулыата использовал метод характеристических функций, который, естественно, так тогда егце не назывался. Гущественное продвижение исследований по предельной теореме связано с именем Пуассона В знаменитом мемуаре 1837 г. "Кесймсйез зщ !а ргоЬаЬг(йе Вег !щешепгз... "он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разными вероятностями появления события А в каждом из испытаний. Пусть вероятность наступления А при (.-м испьпании равна рк. Пуассон доказал для этого случая локальную теорему: Если ряд 2' рк (1 — рк) расходится, то вероятность (с = 1 того. что в и испытаниях событие появится т раз равна Р (пс = пр — в с г(п гг = — е — (3 + 2в*] е ! вг кв г — в с „' лп 2сгп гггг 1 и 4 и Р= — Л РК с' =2ХРК(1 — РК).
Л вЂ” — Х (2РК вЂ” 1)РКИ вЂ” РК). п к=! .)п К=.! В той же книге Пуассон дал ошибочное обобгцснис этой теоремы на суммы произвольных независимых сдучайных величин, имеющих конечные дисперсии, при условии их центрирования суммами математических ожиданий и нормирования корнем кващ ратным нэ суммы дисперсий слагаемых. 426 Гл. 3. Понятие случайной величины Справедливости ради следует сказать, что в частном случае одинаковой распределенносш слагаемых эга теорема верна, однако строгое ее докшательство пришло значительно позднее и связано с именами наших современников — Лиидеберга, Феллера и Хинчина.
Заметим, что как работы Лапласа, так и рагюты Пуассона и всех последующих исследователей, занимавшихся центральной предельной теоремой, были непосредственно связаны с теорией опшбок измерений. И во всех работах говорилось не о сложении абстрактных случайных величин, а о сложении ошибок. По.видимому, впервые от этой традиции отошел Чебышев. Интерес к нора(альиому распределению в начале Х1Х века возрос в связи с появлением знаменитых исследований Лежандра и Гаусса по формулировке и обоснованию метода наименьших квадратов.
Ф.В. Бессель еще в 18!8 г. в работе '*Еплйашепта Аацопощюе рго аппо 1755 бнзоста ех оЬзегтайопгЬпз чгй шсошроцаЬ!Вз )ашез Вгай!еу ш аресп1а Огепоч!сеш( рго апп!э 1750 — 1762 !пзгйцбз" заметил что наблюдения гринвического астронома Брзцли прекрасно укладываются в схему нормального распределения. Объяснение, которое он предложил этому факту, совпадает с идеей, которую перед этим в течение тридцаш лет вынашивал Лаплас: результирующая большого числа случайных воздействий, каждое из которых оказывается малым по сравнению с суммой остальных, подчиняется общему закону и этот общий закон должен быть нормальным. Эту мысль в озвершенно отчетливой форме повторил Бессель таюяс в работе 1838 г.
(Опгегэнсйопйеп ВЬег б)е Ттайгюйейй1сййей бег ВеоЬасйтопйз!е10егПАещ Ыасйг. — 1838. — С 23!) . Справедливости ради следует сказать, что Бессель обратил внимание на то, что зто правило не является всеобщим и могут у ошибок наблюдений встречаться другие, отличные от нормального распределения. Так, если при измерении углов один источник ошибок превалирует нэд всеми остальными, то плотность распре- 1 деления результирующей ошибки может бытьем) = еъуаэ — х' Та же ковцеппия обоснования нормального закона, как закона распределения ошибок, дважды встречается в известном учебнике А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
