Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 73
Текст из файла (страница 73)
содержало решение и для случая р Ф ц. Это письмо Монмор опубликовал в 1713 г, в трактате "Опыт анализа азартных игр" (Р. Молшогг, База)б'апа1узе )епх амеб). Я. Бернулли также рассматривал задачу о разорении игрока, как в частных случаях (для а = Ь = 2), так и в общем случае. При ее решении он следовал методу ГюйГсиеа И ПОЛУЧИЛ ДОВОЛЬНО ДаЛЕКО ИПУЩИЕ РЕЗУЛЬтатЫ (ДЛЯ ВЕРОятНОСтсй Ра И РЬ). Рассмотрение решений, предложенных Я. Бернулли, Н. Бернулли, Монмором и Муавром, ясно показывают, что все они владели приемами оперирования с вероятностями сложньж собьпий. Практически они безукоризненно точно нслолшоваля теоремы сложения и умножения вероятностей, а также формулу полной вероятности, хотя в ту пору они еше не получили четкой формулировки, Происходило накопление опыта и вьщеление тех правил, которью постоянно необходимы прн подсчете вероятностей сложных событий. 11.
Возникновение предельных теорем теории вероятностей На последующее развитие теории вероятностей огромное воздействие оказала идея, впервые высказанная н осуществленная Я. Бернулли — рассматривать не толь' ко точные решения задач теории вероятностей, но и нх асимптотические постановки при неограниченном увеличении некоторого параметра. Конечно, в первую очередь следует указать в атом плане на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно он послужил источником для различного рода уточнений как в ХЧП!, так и в послы дующие столетии Сам Я.
Бернулли дал формулировку своей теоремы в отличном от принятого теперь виде. Мы приведем его формулировку несколько позднее. Сейчас же отметим, что и принятая им терминологии отлична от современной и связана с демографией. Так, Я. Бернулли использовал для обозначения испытаний, лри которых интересующее нас собьпие происходит, слова **плодовитый", "фертильный", а для противоположных исходов — слово "стерильный". Теперь мы можем перейти к оригинальной формулировке теоремы Я.
Бернулли, которую он лепил и вынашивал по его словам свыше двадпати лег. "Пусть число фертильных случаев к числу стерильных случаев относится точно или г Г приближенно как — или же зто число относится к числу всех случаев как — или же з г+г г г — 1 г+ 1 как — ~) . Последнее отношение находится„следовательно, между — и Г Нужно доказать что можно произвести столь большое число опьпов, что число поя- я. Бернулли счел излишним говорить, что г = г + д Заметим также, что г, г и г г не фиксированы.
а могут принимать любые значения, лишь бы отношение —. имело ! заданное значение. Отсюда следует, что — может быль сделано как угодно малым. Гл, 2. Период формирования основ 4!4 à — 1 вившихся фертильньГх нзблюдений к числу всех опьпов будет больше, чем ,и Г г+1 меныце, чем —— Г Ясно. что эта формулировка лишь словесно отличается от принятой теперь. Мы уже говорили, чго книга "Искусство предположений" Я.
Бернулли была широко известна многим математикам задолго до ее публикации. В частности, она была тшатечыш изучена его ГпеМЯнииКом Н. Бернулли, который в 1709 г. защитил диссертацию пля получения ученой степени лиценциата прав под названием "О применении искусГлва предположений в вопросах прав". Во второй главе "О способе установления вероятности человеческой жизни", исходя из таблиц Граунта, он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста.
Нам сейчас интересно отметить. что он отметил факт, подмеченный из изучения долголетних регистраций рождений, что мальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числа рождений мачьчиков к числу рождения девочек оказывается, как он считал, равным 18; 17, Подробное изучение содержания этой гяавы показывает, что Н. Бернулли принимал вероятность рождения мальчика равной рм = 18: 35 = 0.514 и соответственно вероятность рождении девочки равной р = 17: 35 = 0,486. Далее Н. Бернулли рассмотрел пример, когда имеется 14000 рождений. Тогда, согласно формулам Я.
Бернулли, имеет место равенство (и означает фактическое число рождений мальчиков) Р (! Ц вЂ” 7200 ! < 163) = Р (7037 < и < 7363) = В 6ГаоооР 9 7362, Г Г НГГГо Г-. 7036 Фактическое число рождений мызников зависит от случая, Приведенная формула позволяет вычислять вероятность того, что число рождений мальчиков будет заключено в указанньж границах. Оцнако вычисления. которые при этом необходимо произвести.
сложны. Интересно, что в точности этот пример рассмотрен Лапласом в "Аналитической теории вероятностей" (1-е изд., с. 281) В качестве искомого значения вероятности неравенства 7037 < и < 7363 Лаплас указал величину 0,994303. В цвух последних изданиях книги Муавра "Доктрина шансов" был помещен перевод его статьи 1733 г. "Арргохлпайоп аб зцлнпшп !ептллопшп 81лопш' Га + Ь)" !л зепелелрапэ!з".Согласно словам самого автора "Я помещаю здесь перевод моей работы. написанной 12 ноября 1733 года и сообщенной некоторым друзьям. но никогда не публиковавшейся" (" Доктрина шансов", 1756, с. 242).
В кратком введении Муавр отметил. что для. решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитыа вать суммы Е Р„(т) членов биномиального распределения и что вычисления стано- т=Г вятся громоздкимн при больших значениях числа испытаний и, В результате перед Муавром возник вопрос о разыскании асимптотической формулы Эта задача им была благополучно решена. Основная трудность, которая при этом возникла, сосзояла в оценке факториала т! при больших значениях ш. Муавру удалось доказать, что име. ет место асимптотическое равенство Гл! = ВчГГше ~т, Г.де В - постоянное. При этом оказалось, что !лВ = ! — 1Г!2 е !7360 — 171 260 ч 171680 — ..
Муавр нашел. что приблизительно В = 2,5074, однако это его не удовлетворило и ему хотелось связать эту константу с ранее введенными в математику. Он обратился со своей проблемой к Д. Стирлингу (1692 — 1770) . Стирлинг с успехом разрешил воп- 415 8 12. Контроль качества продукции рос и показал, что В = ч72а м 2,506628 В связи со сказанным хотелось бы о!метить, что известную формулу Стирлинг для приближенного вычисления факоТ,цала в случае больших чисел следовало бы называть точнее формулой М)евра и. самое меньшее — формулой Муавра — Стирлингз. Заметим дополнительно, что Мазар впер вые вычислил и опубликовал таблицу функпии !ол! для значений л о 10 по 900.
Использовав найденную им формулу "Стирлинга", Муавр перно чально ныяснил, что в случае р = 9 = 0,5 грецкий член бинома (172 + 172) " асныптэтически равен 1/х72лярй, а затем доказал локальную теорему, носящую теперь его имя ("Доктрина шансов", с. 243 244). То, что Муавр начал со случая р = 9 = 0.5 вполне естественно, поскольку именно этот случай играет значителен!то роль в простейших задачах демографии.
Далее Ыуавр получил локальную теорему для р; О,» фактически в принятом теперь виде. Имея в руках локальную теорему, Муавр без затру шсний сформулировал и интегральную теорему, правца, только д. я симметрлмы; ~раниц. Впрочем, интегральная теорема, доказанная цля симметричных гранйпц оез труда распространяется и на общий случай. Он оценил важность выражения чблро лля тесош» и предложил цля него специазьное наименование — модуль. Использовав метод приближенного интегрировалнч ,'!ьютола - Ко.са.
Пуавр вычислил для случая р = 4 = 0,5 верояпюсть (1 1 Р ~ — л — чул < и < — л + ч/л,. 2 2 ! Согласно сто подсчетам, она оказалась равноя 0,95428. Теперь, используя таблисцз, несложно проверить его расчеты и убедиться в том, что допущенная нм ошибка невелика, только в четвертой значащей цифре (табличное значение равно 0,95450).
Точно так же он подсчитал вероятность 3 ! 3 Р— л — — ч7н < и < — и + — чул ( . !2 2 2 2 Его результат — 0,99874. Табличное значение с таким жс числом зла ыших цифр— 0,99731. Муавр отметил, что интегралы~ую теорему можно использовать и для оценки неизвестной вероятности р, т.е. для решения обратной задачи — задачи математической статистики. 8 12.
Контроль качества продукции В связи с лерехоцом промышленноши на массовое изготовление изделий, за последние пятьдесят - шестьдесят лет резко увеличился интерес к вопросам проверки качества изделий, входящих в принимаемую партию. Появилась глубокая по содержанию и эначнтелыеая ло своим практическим применениям теория статистю!вских методов приемочного контроля, основанная на широком использовании теории вероятностей. Первым шагом, относящимся к этому кругу идей, по-видимому, следует считать одну из задач, рассмотренных Т.
Симпсоном в книге "Природа и законы случаи*' (1740) . Вот формулировка этой зацачи: имеется данное число вещей различного сорта — л, вещей первого л, — второго,... Наудачу берутся т вещей. Найти вероятность того, чга при этом будет взято т, вещей первого сорта. т лещей второго и т.д. В настоящее время зта задача не представляет труда для студентов, присгупающих к изучению основ теории вероятностей. В ту пору она бьшз предметом серьезного научного трактата, 416 Гл. 2. Период формирования основ Спусти сто с небольшим лет, к этой задаче вновь вернулся М.В.
Остроградский (1801 — 1862) в работе "Об оцном вопросе, касающемся вероятностей" (1846) . В математическом отношении это произведение Остроградского не представляет боль. шого интереса, но глубокое понимание самой практической задачи заслуживает нашего внимании. По.видимому, в этом отношении он имеет приоритет перед всеми исследователями. Во всяком случае Симпсон практических следствий из своих подсчетов не делал, а Остроградский вычислил и необходимые дли практических применений таблицы. Приведем полцинные слова Остроградского. "В сосуде имеются белые и черные шары, общее количество которых нам известно, но мы не знаем, сколько иэ них какого цвета Мы извлекаем некоторое количество шаров, яодсчитав, сколько из ннх белых н сколько черных, снова кладем в сосуд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
