Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Аналомгчным путем Гюйгенс получает длн грскратного бросания кос>и стоимость игры. соспзящсй в том, что,отя бы раз выпадет грань с числом очков 6. Равную 9(а/2!Ь 2(алас он вычислил с>онл>ость подобной игры прн чс>ырсхкратном. лши н шешикра>нем бросании кости. Результаты лол>чились такилти 6714/1296, 4651а/7776, 3103!а/46656. В предложении 1! Гюй>енс рассматриваю! так>ю задачу. *'Най>и во око ько бросании можно обяззться выбросить пвс шсстеркну" 26>я нзс эта формулировка неопределенна. Она должна быль сформулирована зак если лрн бросании цвчх костей и>рок *) Заметим, что это место выглядит убедительно лишь в предположении равносильности игроков.
Однако если из дв>л партий обе выиграл игрок А, то зто наводит на мысль о том, что он играет лучше, чем игрок В. Если же А выиграл 20 партий, а  — 16, то представление об их равносильности становится более убсцительным. Позднее неоднократно рассматривались многочисленныс задачи с учетом неравно- сильности и>7>оков.
Такис задачи затем получали интерпретацию на языке физики и инженерного дела б 5. Работа Х. Гюйгенса выигрывает сумму а. то какую станк> он должен вне~ли цля участия в игре !прн безобидной нгрс) 7 Легко подсчитать. что пена игры при одном бросании должна стоить а?36. при двух бросаниях 71а?1296 и так далее. Палас Гюйгенс сделал такое замечание: "Я нахожу. что тот, кто играет при 24 бросаниях, имеет еше легкую невыгоду и что можно принимать с выгодою партию, играя только минимально прн 25 бросаниях." Мы приведем теперь формулировки остальных грех преллажений работы Гюйгенса. П р е д л о ж е н не 12.
Найти такое число костей, при котором можно обязательно выбросить две шссшрки при первом бросанииз П р с д л о ж е н и е 13. Найти причитающуюся каждому из нас часть обшей суммы прн предположении что я бросил две кости один раз тем условием, что если выпадет 7 очков, то выигрываю я, и что выигрывает мой противник, если выпацает 10 очков.
А если выпадает другое число очков, то мы делим общую сумму поровну. П р е д л о же и не 14. Йрутой игрок и я поочередно бросаем две кости прн условии, что я выигрываю, как гочько я выброшу 7 очков, и он выигрывает, как только выбросит 6 очков, и я предоставляю ему бросить первому. Требуется найти отношение моих Шансов и его.'* Интересно отметить, по в письма к Каркави от 6 июли 1656 г.
Гюйгенс писал, что прецложение 14 его трактата соответствует одной из шести залач Ферма, которые последний сообщил Каркави. Лля полноты картины мы сформулируем все пять задач, предложенных Гюйгенсом читателям для самостоятелышго решения, Их решение он опубликовал лишь в 1665 г.
1. А и В играют двумя костями на следующих условиях А выигрывает. если он выбросит 6 очков, В выигрывает, если выбросит 7 очков. Первым бросае г А один раз, затем В бросает дважды, затем А бросает два раза и т,л., пока кто-нибудь не выиграет. В каком отношении шансы А относятся к шансам В? Ответ: как ',0355 к 12276. 2. Трое игроков берут 12 фишек, из которых 4 белых и й черных, и играю~ ча таких условиях: первый вьпянувший белую фишку побеждает. А тянет первым, В— вторым, а затем С, потом опять А и т.д.
В каком отношении находятся шансы одного против других". 3.А цержит пари против В, что из 40 карс !по . > цнизковог мы.н> он ныбарет такие, что каждан будет различной масти. Здесьвеличина шансовА против В опрелс. ю ых .а«>000 к ЕН>9 4. Имеем, как во второй задаче. 12 фишек. из нс~орых4 бель.хи б еонытб А д ржит пари против В. что в выборе 7 фишек вслепую он будет иметь 3 бсеыы !Прап>ивается, в каком отношении стоят шансы А против Вз Если Гюйгенс имел в виду. зо будут вынуты точно 3 белых фишки. то результат 35: 64; если же по меньшей мере 3.
то 42: 57. 5. А и В, каждый имеющий по 12 монет, играют тремя костями на условиях: если А выбросит 11 очков, то он должен дать В оцну монету, но если он выбросит 14, тогда В должен пать одну монету А. Тот игрок выигрывает, который первым получит все монеты. Здесь шансы А относятся к шансам В как 244!40625 к 282 429 536 4В1. Последнял задача является ничем иным как разновидностью задачи о разорении игрока. Спустя десять лет после кончины известного филосойж Б. Спюшзы (1632 — 1677), в Гааге была опубликована анонимная работа, состолщан из двух частей, далеких друг от друга по содержанию, "Исследование о радуге" и "Заметки о математической вероятности". Проведенные ксследования подтверждают предположение о том, что зтн сочинения были написаны Спинозой.
Во второй части работы содержалось решение первой задачи Гюйгенса и были приведены формулировки остальных четырех. Нас должно заинтересовать то обстоятельство, что в названии работы уже говорится о 400 Гл. 1. Предыстория понятия вероятности математической вероятносэп, но хотя в самой работе вероятность не определяется и рассуждения веду>ся нац числом благоприятствуюших собьпию случаев. Для дальнейшего нам полезно сделать следующее замечание.
В ! 692 г. Д. Арбутнот (1667 — 1735) предпринял издание английского перевода книги Гюйгенса и к этому переводу ои добавил ряд новых задач, в том числе задачу иной природьь Формулировка этой зепачн гакова: на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами, нахадяшимися в опшшении а: Ь: с. Найти отношение шансов выпацения параллелепипеда гранями аЬ, Ьс и са.
К концу ХЧП века завершался длительный период накопления первичных сведений о случайпыч событиях. точно поставленных зацач и поп>одев к их решению. Мно. гис выдающиеся умы заНимались этими вопросами и с разных позИций подходили к количественной оценке возможности наст> пления случайного собыгия. Ферма фактически пользовался понятием математического ожицания, использование которого для решения разнообразных зацач было широко развито Гюйгснсом; Паскаль. Ферма и Гюйгенс использовали представления о теоремах сложения и умножения вероятносжй н подошли вплотную к понятию верояшости, однако его они не ввели.
Казалось бы, что этот шаг - переход от рассмотрения числа возможных исходов, благоприятствуюших наступлению события, к рассмотрению отношения этого числа к числу всех возможных исходов — был естественен Однако никто этого ша>в не сделал. Рассуждения, благодаря этому. были сложны и формулировки задач не очень точны. И если бы поспелова~ели того времени задали себе вопрос, что возможнее при четырехкратном бросании кости хотя бы раз выбросить шестерку или при цвадцатипятикратном бросании двух костей хотя бы раз выбросить на обеих костях шестерки? — оии были бы вынуждены ввести классическое понятие вероятности и далее его испольэовать Однако этого в ХЧ Павке не произошло и введение в науку классического понятия вероя >костей принадлежит лишь ХЧ!Пстолетию.
Однако оно было исследованиями ХЧ П века хорошо подготовлено. Период предыстории завершался и начинался периоц собственно истории теории вероатношей. Для этого уже был создан достаточно прочный фундамент. Ь 6. О первых исследованиях по демографии В следуюшей главе мы узнаем. что одним из толчков для развития основных понятий теории вероятностей сыграли исследования Джона Граунга (1620 — !675) и Вильяма Петти (1623- !687) по демографии или, как тогда говорили. по политической арифметике. Их работы наглядно продемонстрировали каким мощным орудием могут служить для изучения массовых явлений статистические наблюдении, если их соатветствуюшим образом обработать.
Ил книги получили большое распространение, сгарателызо изучались учеными самых разнообразных направлений деятельности, в том числе и математиками. Первой работой, с которой начинается история статистики как области научного знания, следует назвать книгу Д. Граунта, опубликованн>ю а 1662 г, под названием "Гэстествеииые и политические наблюдения, перечисленные в прилагаемом оглавлении и сделанньк над бюллетснямн смертности. По отношению к управлению, религии, торговле, рою>, воздуху, болезням и разным изменениям означенного герона" Нам иет нуждЫ давать описание всего содержания этой книги, но оттенить отдельные мо менты, необходимые для дальнейшего, следует. Основная задача, которая заинтересовала Граунта, состояла в указании метода.
который позволял бы установить с достаточной точностью возрастной состав населения города в результате наблюдений за возрастом умерших С этой цепью им были проанализированы результаты э29250 регистраций смертей в Лонцоне происшедших за 20 лет. Среди этих смертей было отмечено 71124 смерти детей от 0 до 6 лет Прнюг б 6. О периых исследованиях по демографии ны смерти были тщательно перечислены Граунтом. Он специально отметил, что отношение числа смертей детей от 0 до 6 лет к обшему числу смертей за тот же период времени, равное 71124!'229250, приблизительно равняется 1/3. Иными словами Граунт ввел представление о частоте события.
Лля развития теории вероятностей это обстоятельство сыграло огромную роль, как, впрочем, и его замечание; "... мы хотели бы отметить, что некоторые из случайностей имеют постонннос отношение к числу всех похорон" (цитированная книга, с. 32) . Здесь Граунт вплотную подошел к представлению о статистической устойчивости средних.
Он установил, что для Лондона число рождений мальчиков к числу рождений девочек относится как 14: 13. что в среднем на каждые 11 семейств ежегодно умирают 3 их члена, что одна из 2000 женшин умирает от родов, что в среднем на каждые 63 покойника приходится 52 новорожденных. Тем самым численность населения Лондона наполняется систематически за счет провинции. Он установил на основании таблиц смертности, что в Лондоне на каждые 100 мужчин 34 имеют возраст от 16 до 56 лет Так что по его данным в ту пару из 199112 жителей мужского пола 67694 имели возраст от 16 до 56 лет.
Им была составлена первая таблица смертности, которую мы теперь приведем: из каждых 100 новорожденных доживает до 6 лет 64 36 лет 16 бб лет 3 !6 лет 40 46 лет 10 76 лет 1 26 лет 25 56 лет 6 86 лет О. В этой .таблице поражает огромная детская и юношеская смертность: только 64% в ту пору доживапн до 6 лет н только 40% — до ! 6 лет. Граунт прекрасно понимал, что точность ета выводов тем больше, чем больше наблюдений имеется для обработки. Именно в связи с этим ан отметил, что недостаточно ограничиваться обработкой бюллетеней смертности тонька за одну неделю длн получения палнопснных выводов а составе населения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
