Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Но игроки согласнлнсь прекратить игру, не окончив ее, т.е. одному не хватало до вын!рыща трипдатн партий некоторого числа, например, трех партий, а другому, положим, пятнадцати партий, Внесенные ставки длн безобидности, конечно, должны быть разделены между и!раками так, чтобы тот, кому недостает до выигрыша большего числа партий, получил бы меньшую сумму, а противник его большую, именно безобидный раздел требует, побы каждый игрок получил часть внесенной суммы, пропорциональную вероятности своего выигрыша. Итак, нужно найти эту вероятность Паскаль нашел ее, а лотом вопрос де Мере предложил Ферма. Последний немедленно нашел решение н даже для случая более сложного, когда игРа пРоисходит не между двумя только, а между произвольным числом игроков. Замечательно, что имя кавалера дс Мере, человека светского и не имевшего никакого преуспевания на поприще математических наук, остается навсегца в истории этих наук*.
Мы видим теперь, что оценка. данная ролл Паскаля н Ферма Остроградским. несколько завышена. Впрочем. такой жс тачки зрения придерживаются многочисленные 394 Гл. 1. Предыстория понятия вероятности историки науки. Однако в переписке Паскаля с Ферма еще отсутствует понятие ве- роятности, и оба они ограничиваются рассмотрением числа благоприятствующих со- бытию шансов. Конечно, у этих авторов впервые в истории имеется правильное ре- шение задачи о разделе ставки, которая, как мы знаем, отняла много усилий у исследова- тедей в течение длительного времени.
Оба они исходили из одной и той же идеи: раздела ставки а отношении. пропорциональном, как мы теперь сказали бы. вероятностям окончательного выигрыша каждого игрока. В предложенных ими решениях можно увидеть зачатки использования математического ожидания и в весьма несовершен- ной форме теорем о сложении н умножении вероятностей. Точнее сказать не вероят- ностей, а шансов, благопрннтствуюшнх тому илн инол>у событию. Это был серьез. ный шаг в создании предпосылок и интересов к задачам теоретико-вероятностного характера.
Второй шаг бып сделан также Паскалем. когда ои существенно продви- нул развитие комбинаторики и указал на ее значение для зараясдающейся теории вероятностей. Талчкол> к появлению интересов Паскаля к задачам. приведшим к теории ве- роятностеи, послужнлн встречи н беселы с одним нз придворных франпузкого ко.
ролевского двора - шевалье де Мере (1607 — 1648) Пг Мере интересовался фило. софией, лнгсратурой и одновременно был страстным игроком. В этой страсти были истоки шх задач, которые он предложил Паскалю. Вот эти вопросы: 1. Гколько раз надо подбросить две кости, чтобы число случаев, благопринтств>ю- гпих вьлыдснз ю хагя бы раз сраз> двух шестерок. бьшо больше. чем число случаев, когда лн лрн одном бросании не появляются две шестерки одновремснноу 2, Как н>жно разделить с>авку меж«> игроками, когда они лрекразили игр> нс набрав нсоб одимого лля выигрыша числа очков". Це 6!ере претендовал, что первую задач> он решил.
Однако при блнжай>пем ра'- смотрении в с~о ра сужденннх легко обнар>жить ошибку А именно. в олнолз нз писем дс Мере !)аскю>ю содержи)ся гакая фраза: ' Если в одном случае есть один шанс нз >ч в сдннс)венной полы~не и в Лр>гом случае одни шанс изб',, ш огношение соо)вез лвуюшп> чисел сеть >'„Л, Таким обршом, лр. >„=л, Оболыченля н смысл эшй фразы )рсбую~ пояснения. В прнвед ином лн ьмс речь идет о г. сл>юшсм: прн бросании одной кости имеется Л„= о различных исходов н выпадению шестерки благоприягс)вует один из ни.. При бросании дв>х костей сразу выпадению )несгерки на дв>х костях бгга>оприятс)в>с~ лишь один исход из Л*, = 36 возможньм Прн бросании одной кости л, (= 4) раз число благоприятствующих нс;олов л.ш выпадения шсш ркп первое>ели> число благопряятств>юп)их сл>чаев сс ненълигк шя. ( имвслом л, обозначим чнс.ш бросаний дв>х костей.
прл ко)о«ом число благ. лрнятсгвуюши>,. «)аев вьшаления олноарсмснно двух шестерок прев- зойдет чнс.ю благо)~рн»тхтв>юши ° случаев лля их невьшадения нн раз>. Из ирю вила цс Ысре вы)екав), ч)о тже при 24 бросаниях двух костей нас>упьет ин:ерес>ю- щес нас собьпне В дел >вн>ельлостн правило де Мер ошибочно, поскольку вероятность то. о.
по прн чшыр > бросаниях одной косги ни разу не появится шестерка. равна (5'6) '— 625,1296 к значит. искомая вероятность равна ! — 6" ч'1296 = 671 1296 В этом пунк)е че Мере оказался прав. но прн 24 бросаниях двух костей вероятношь ни раз> нс выбросить сразу две шестерки равна (35,36)" = 0.509. а искомая вероятность хотя бы рзз выбросить дне шестерки сразу есть 1 — (35/36)'4 = 0.49! . Легко понять. по дваллати четырех бросаний ешс недостаточно. а нужна по меньшей мере двад- цать пять бросаний дв>х кошей.
ч)обы вероятность выпадения ораз> двух шестерок превосходила 0,5. При изложении мы воспользовались современным языком и употребляли поня- тие всроятностн Пол>од де Мере бы., обычным для гого времени и о>раничнвался шпнь подсчетом числа благоприягствуюпшх чому ш>и иному событию шансов. 395 й 4. Вклад Б. Паскаля и П. Ферма Основное сопержание писем Паскадя и Ферма посвящено раздену станки.
Решение, пр дложеинос Паскапеьк в подробностях изложено в письме от 29 июль "Вот примерно. что я делаю для определения стоимости каждой партии, когда два игрока играют, наприлгер, на трн партии и каждым вложено по 32 пистоля. Прецпопожим, что один выиграл две партии, а другой одну. Оин играют сше одн! партию. и сели выигрывает первый, то ои получает всю сумму в 64 пистоля. вложенную в игру; если же эту партию выигрывает второй, то каждый игрок будет иметь по э выигранных партии, и.
следовательно. еспи они намерены произвести раздел, каждый должен получить обратно евай вклад в 32 пистоля. Примите жс во внимание. монсеньер, что если первый выиграет, го ему причигаекя 64: есчи он прошраег, то ему причитается 32. Если жс игроки нс намерены рисковатг, на эту партию и хотят произвести раздел. то первый должен скаэхтьс *'Я имею 32 пистоля верных, ибо в с.!! чае проигрыша я и, также получил бы. но остальные 3' пистоля могут бьиь получены либо мной, либо Вами, случайности равны. Разделим же эти 3з пистоля попонам, и дайте мне, кроме ~ого. бесспорную сумму в 3 писш ш". Далее Паскаль рассмотрен другой случай, когда первый игрок выиграл две партии. а второй ни одной н третий, когда. первый игрок выигр и одн! партию. а второй ни одной.
В обоих случаях рассуждения при решении подобны тем. которые уже были проведены, Опасть! же. предпоженныс Паскалем, таковы: в первом едуча один игрок должен подучить 56, а второй Я пистолей: во втором же 44 и 20. Решение, которос !тля задачи Пасказа предложил Ферма, дошло цо нас только по изпожению, которос содсржгыся в письме Паскаля от 24 ангусга. Письмо же Ферма с орнгинапьным текстом це сохранилась. Пусть до вьгигрыша игроку А недостает двух парений. а игроку В трех партий Тогда для завершении игры достаточно сьп ° Рать сше марксом м чатыр партии Их «озможные исходы представлены в виде следу юше и ш ба»пы: Таблица 20 Партии Возможные исходы партий А ВВА ВВВА ВА ВА ВВАВ ВВАА В.4 ВВ 4 .4 ВВВ ВВВВ АААА А.4АВ А 4 ВА .4 А В В АВАА ВААВ ВААА А ВА В .4 доспе четыре . партий А после трех партий игра вынг- А после рана игроком дв!.х партий В после трех или четыр- ехх партий В этой табпицс символом А обозначен выигрыш соответствуюшей партии игроком А.
югмволом В - игроком В. Номера партий идут до строкам. В первых одиннадпати исходах ныигрывае ~ игрок А, в последних пяти — игрок В. Таким образом ставка между игроками А и В должна быль разделена в отношении 11 к 5.Иными словами игрок А подучит 11 !6, а игрок  — 5!!6 ставки Сонершенво очевидно.что Ферма, также как и Паскаль. делит ставку пропорпионю!ьно вероятностям выигрыша каждым из юреков всей игры. Но этого понятия в нх руках еше не~ и они вынуждены .,екать иныс способы выражения своих идей, В результате они сами ие замечают.
396 Гл. 1. Предыстория понятия вероятности что их исходные позиции одинаковы. Это отчетливо видно нз письма Паскаля от 27 октября, в котором он писал. "Сударь, я очень доволен Вашим последним письмом, я любуюсь методом в отношении партий, тем более, что я его хорошо понимаю, он полностью Ваш, ничего общего не имеет с моим и легко приводит к той же самой цели".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
