Б.В. Гнеденко - Курс теории вероятностей (1115334), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Можно считать что теории вероятностей с этого момента начала свою историю, До этого же была предыстория, которая подготовляла почву для формировании основных понятий и задач теории вероятностей. Я. Берн>лли обдумывал свое "Искусство предположений" долгие годы, по его словам, по меныпей мере двадцать лег. Но свет оно увидело лишь в 1713 г, восемь лет спустя после смерти автора. Однако содержание этого произведения многие годы до его публикации уже было известно научной общественности по рукописи, которая стала доступна многим.
Об этом говорится, в частности, в публикациях Фонтенеля и Сорена, посвященных заслугам покойного и вышедшим в свет соответственно в 1705 и !706 годах. На эти публикации позднее ссылался П. Монмор (1687- !719) в своей книш '*Обзор анализа азартных игр" (!.е иэд. 1706 гп 2-е и|д. - 17!3 г.): а также сделал подробный анализ содержания *'Искусства предположений".
Таким образом трактат Я. Бернулли оказывал влияние на развитие теории веронгностей задолго до его опубликования. Об этом позднее мы скажем еще по другому поводу. Монмор в упомянутой книге использовал понятие вероятности и применил его к решению достаточно сложных задач. В частности, Монмор рассмотрел н правильно решил следующую задачу; имеется л предметов, пронумерованных числами о| 1 до л, Спрашивается, чему равна вероятность того, что прн последовательном вынимании этих предметов наудачу (без возвращения) хотя бы один предмет будет вынут так, что номер вынимания совпадет с присвоенным ему номером.
Эта вероятнос|ь оказалась равной 1 — 172! + 1)3! —... + (- !)" /л). Мы знаем, по этой задачетеперьприлаются различные формулировки. А. Муавр воспринял классическое определение вероятности, данное Бернулли, н вероятность события определил пепи в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: "Следова|елыщ мы строим дробь. числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления." После этого определении Муавр привел в точности пример, о 405 8 8.
Понятие геометрической вероятности котором мы упоминали при рассказе о вкладе Берн>лли, а именно: '*если какое-~о событие имеет 3 благоприятстнуюшнх шанса, 2 неблагоприятсгвуюпзих. дробное выражение 375 будет точно говорить о вероятности его появления и может рассматрившься как сс мера" ('*Доктрина шансов" ). Обратим внимание на то, что Муавр, как и Я Бернулли.
не оттенял го обшоятельство, что шансы должны бьжь равновероятными. Зто замечание впервые было нведено в определение классической вероятности лишь П. Лапласом в его "Аналитической теории вероятностей". Лагранж об этом еше не задумывался 0 данил опрецслснис вероятносги в точности по Муавру. По-видимому.
на Лапласа ловлиялэ дискуссия, начатая Д*Аламбером. который при решении задачи о вероятности выпадения (при бросании двух монет) герба на одной из монет и решки . иа другой, определил ес равной 1/3. Это ои мотивировал тем, что имею~си лишь три возможности: 1) на обои~ монетах выпадает герб; 7) на обоих моне!ахх выпадает решка; 3) на оцной монс ге ныпадает герб, а на другой — решка б 8. О формировании понятия геометрической вероитности Уже в первой половине ХЧ!П века выяснилось. что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений н возникают ситуации, когда оно не дейсгвутп а ~!отому необходимо какос-го се(созванное его расширение.
Обычно считают. что ~эким шлчком посл)жили рабогы французского есзествоиспьпателя Ж. Бюффона (1707 - 1788) . в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил сс решение. Зто утверждение требует поправки. поскольку исгорически оно неверно. Дело в том. что задолго до рождения Бюффона появилась работа. в которой фак~ически уже был поставлен вопрос о нахождении щомегричсской вероятности. Правда. в ту пору еще не было и определсни» вероятною и. В 1692 к в Лондоне был опубликован английский перевод книги Х. Гюйгенса "О расчегал в азартных играх", выполненный Д.
Арбутногом (1667- 1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована запача совсем иной природы. по сравнению с гоми. которые были рассмотрены великим за~аром. Ои назвал зту задачу трудной и помесгил сс в дополнении *'для того, чтобы она была решена ~сми. кто считает такого рода проблемы достойными внимании". Эацэчэ.
предложенная Арбутнотом. ссктоиз в следующем: иа плоскость науцачу бросаешься прямоугольный параллелепипед с ребрами, равнымн а, Ь, с. (прашиваетсн как час~о параллелепипед будет выпадать гранью ай? Сам Арбутноз пе сделал даже донники решения придуманной им задачи. Это было осуществлено значигсльно позднее П Симпсоном (17!О. 1761) в книге "Природа и законы случая" (1740), где задач» была приведена поц номером ХХЧП.
Идея решения. предложенная Симпсоном. состоит в сэыцуюшем: опишем около параллелепипеда сферу и спроскгирусм из цеигра иа поверхность сс вес ребра, боковыс грани и основания. В рс~улыатс поверхность сферы разобьется на шесть непересекэющихс» областей, соотвсгыь>ющих граням пэрэлл лелилсда.
Далее Симпсон !вписал: "Нетрудно замети ш ь. что определенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией. описанной таким образом рш(нутом, булез находиться в таком жс соогношолии к общей площади поверхности, кэк всроятноаь появления некоюрой грани к единице"'. В ~ом, что было у~ лько что сказано. н полной мере заключены принципы разыскания геометрических вероятностей: анели~си мера множества благоприягствующнх соб!л~ию случаев и берется сс огношсннс к мсрс множества всех возможных случаев.
В нашем случае полная мера своди~си к площади поверхггосгн нуара. Заме~им. что ( импсон ни шщнз нс скгюал о физической интерпретации решения. Ведь для гого. чтобы параллелепипед упал на плоскость определенной гранью. необходимы чтобы его Гл. 2. Период формирования основ центр тяжести находился над ее проекцией на плоскость падения. Однако в решении Симпсона это требование соблюдено. Введем дли дальнейшего обозначения: В» = а' + Ь* + с*, Р ь.
Рьс, Р .„— вероятности выпадения на какую-то определенную грань соответственно аЬ, Ьс, са. Вероятности выпадения на какую-то из граней аЬ (соответствеино Ьс л са) должны быть увеличены вдвое. Формулы, о которых идет речь, должны быть таковы: аь 1 Ьс Раь = — агс(й —, Рьс = — агс(й —, и сЯ' а аВ' ! ас Рси — агссй— л ь)( Бюффон дважды публиковал работы. посвяшенныс геометрическим вероятностям.
Первая его публикации на эту тему относится к 1733 г., когда он сделал в Парижской акалемии наук доклад. напечатанный под называнием 3 Ием»ар об игре франк-карро" (Чемузр об и»7»е прямо в клетку) . Позднее. в 1777 г. этот мемуар был целиком включен в "Опыт нравственной арифметики", являвп»сйся дополнением к »ому 1)! его "Естественной истории".
Цель, которую ставил перед собой Бюффон, состояла в том. чтобы показать, ч»о "геометрии может быть использована в качестве аиалигического инсгрумснга в области »сории веров!нос!ей". в »о время как до тех лор "геометрия казалось мало пригодной цдя этих целей '. поскольку дли пи . использовалась »ольке арифметика. Игра франк-карро состоит в слелующем пол разграфлен иа одннаковыс фшуры На пол бросается монета, ое диаметр 2» меньше каждой нз с»оран и монета целиком укладывается внутрь фигуры.
Чсх»1 равна в рох»ность »ого. что брошсннаи на! чач! монета пересече! одну или цве стороны фи!.эры) Лля определенности рассмозрим искры!ие пл !ск! сги прчмоуголышками со» горо нами а и Ь, Ь > 2г. а > 2г. Легко подсчизать, чш г »с»шаль и. ц!сы между основным прямоугольником со сторонами. параллельными «шронзм сн» еноте !и расс»охнии г о! каждой из его сторон и целиком расположенного вн! !рц основного. равна 2г(а + Ь вЂ” »г ). Легко попить.
что цен гр монеты, попав вн! грь мзлшо прхпо! вольпи кз. не только не перссечш. ио паже не косне »ся сторон основного Знсшн !. вероятно! ! ь того, что моне!а пересечет цо меныпсй мере оцн! из с!орои основного прамоуголыш а+Ь - 2г кз равна 2г аЬ Вц»рая задача. сферы»лир »вши»в и рсшеннах Бюффоном, сосгои! в .лсц»юшем. плоскость разграфлс ! р!цп,ю!лезшими параллельными црлмыми На плоско !ь наудачу бросастси игы.
О шч игр и. у,верх!»»с». что и»ла лсрсссчс! ецну из параллсгшных примы ...»Ругай ч!о» нс !„р:сече! Опрс»сли!ь веров»цошь выигрыша кзж лого и! игроков. Рсшснн э»ой ззцэчн м роцв! и шсс;шч и исг исобхолнмоши приводи»ь го здесь. Менее изв с!иа за»мы Бюфф,им об п»р«. когда ш»ы бросастси на плоскость, разграфленную !ы кв».,ра!ы. В рсшшши лей ицз и Бюффон допус»ил ошибку.
позднее исцравл»ни»ю Л»п.!зсо»!. Именно Бюфф,»е с»и!ь,!. ч!о нскомах вс. а — г 2а — г рох!ность равна 2г — — . тогда кзк в ъсй»»м »спи »с!и цз, шг. аа »и После Бюффона задачи на !:оме»ричсские вереи!иш !и »чэ !и гш !»»з!ич«ки включатьсх в трактаты и учебники по !сории верех!нос!ен )зк. в ш. »»г!»и!» ю !,и! Лапласа 'Аналитическах т орла всроитцос»сй' бы »н вк,!х»чаны и ио»»р оцо !»»сомо!- репы вес задачи Бюффона. Но Ллиыс нс счел нужным о»мс»и»ь, отк»ца онн бы »и заим с!воланы н к! о »В»ор эю»х задач ((зсл)с! отме»и!ь ч!о гсрминоло»ии 11зц.мса цз.!ска о! совершенства. Гзк длл примера. он писем что 7йг ранние»сх сумме все сл»чаев.
в коц»рьг»и»»ы цсрссскас! оди! или »»рую ю цараллсльныс линии" н что 2аа равно "числ! лссх возы»»жных комбн. 8 8. Понятие геометрической вероятности наций". Здесь 2г означает длину иглы з а - расстояние межд> параллельными прямыми. Во второй зацаче, рассмотренной Лапласом, плоское>ь раз>рафлена цвумя системами параллельных прямых, прецшавчяюшп ничго нное как систему координатных линий на плоскости. Расстояние межа> .>иннами пс! вой системы равно а, второй системы - Ь. На плоскость бросаются игла длины >г (2г < а, 2г < Ьц Чему равна вероятность топ>, что игла пересечет хот» бь п>у линию? Решение. предложенное Лапласом, предполагает, что дело илп с .
сыма> взаимно перпендикулярных прямых. Это Лапласом не оговорено В рсолызю вычисления — числа благоприятствующих и "числа всех возможных сл>.оев' Лаплас определил, что вероятность а+Ь вЂ” г пересечения одной нз линий брошенной иглой равна 4г —. — —. паЬ В прекрасном для своего времени учебнике "Основании математической теорин вероятностей' (>846> В.Я. Г»няковско~о (1804 — 1889) имеется довольно большой раздел. посвященный геометрической вероятности.
В него включена задача Бюффона о бросании нгль: и частный сз>чай игры франк-карро, когда плоскость разбита на равнобедренные треугольники. С современных позиций терминология Буняковского дю>ока от совершенства. Пример такого словоупотребления мы сейчас и приведем: ", . иногда вз гречаюгся такие ситуации, в которых число благоприятствующих статочностей, а равно л всех возможных бывает бесконечное Искомая вероятность определится тогда отношением этих двух бесконечных чисел... '. Оиа будет "числом коночных> н совершенно определенным".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
